\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°8-bis}
\lfoot{}
\cfoot{Préparation Sigma n°2B.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A Faire en autonomie}
\end{center}
\vspace{30pt}

\renewcommand{\P}{P}

\section*{Exercice 1}


On d\'{e}signe par $n$ un entier naturel non nul et l'on se propose
d'\'{e}tudier les racines positives de l'\'{e}quation $e^{x}=x^{n}$que l'on
note $(E_{n}).$ A cet effet on introduit la fonction $f_{n}$d\'{e}finie par 
\[
f_{n}(x)=1-x^{n}e^{-x}. 
\]

\begin{enumerate}
\item  Etude des racines positives des \'{e}quations $\left( E_{1}\right) $
et $\left( E_{2}\right) $

\begin{enumerate}
\item  Etudier et repr\'{e}senter sur $[0,+\infty [$ les fonctions $f_{1}$
et $f_{2}$

\item  Etudier l'existence de racines positives pour les \'{e}quations $%
\left( E_{1}\right) $ et $\left( E_{2}\right) $.
On rapelle que $2<e<3$

\item \'Ecrire un script scilab permettant de représenter les fonctions $f_1$ et $f_2$ sur $[0;5]$ avec un pas $h=0.01$.

\end{enumerate}

\item  Etude des racines positives de l'\'{e}quations $\left( E_{3}\right) $

\begin{enumerate}
\item  Etudier et repr\'{e}senter sur $[0,+\infty [$ la fonction $f_{3}$. On
donne les valeurs approch\'{e}es : $e^{2}\simeq 7,4;\;e^{3}\simeq
20,1;\;e^{4}\simeq 54,6;\;e^{5}\simeq 148,4$

En d\'{e}duire que l'\'{e}quation $\left( E_{3}\right) $ admet deux racines
positives $u$ et $v$ telles que $1<u<v$ , et encadrer chacunes d'elles par
deux entiers cons\'{e}cutifs.

\item  Soit la suite d\'{e}finie par la relation $y_{n+1}=3\ln (y_{n})$ et
la condition initiale $y_{0},$o\`{u} $y_{0}$ est un nombre r\'{e}el
strictement sup\'{e}rieur \`{a} $u.$

\begin{itemize}
\item  Montrer que si $u<y_{0}\le v$, alors pour tout entier naturel $%
n,\;u<y_{n}\le v$.

\item  Montrer que si $v\le y_{0}$, alors pour tout entier naturel $n,\;v\le
y_{n}$.

\item  \'Etudier le signe de $y_{n+1}-y_{n}$ en fonction du signe de $%
y_{n}-y_{n-1}$
\end{itemize}

En d\'{e}duire selon la position de $y_{0}$ par raport \`{a} $v,$ le sens de
variation de la suite $\left( y_{n}\right) .$

\end{enumerate}

\item  Etude des racines positives de l'\'{e}quation $\left( E_{n}\right) $
pour $n\ge 3$.

\begin{enumerate}
\item  Etudier sur $[0,+\infty [$ la fonction $f_{n}.$ En d\'{e}duire que
l'\'{e}quation $\left( E_{n}\right) $ admet deux racines positives $u_{n}$
et $v_{n}$ telles que $1<u_{n}<v_{n}$.

\item  D\'{e}terminer pour $n\ge 4,$ le signe de $f_{n}(u_{n-1})$.
D\'{e}duire des variations de la fonction $f_{n},$ le sens de variation de
la suite $(u_{n})$ puis prouver la convergence de celle-ci.

\item  Montrer que $u_{n}=\exp (u_{n}/n)$. En déduire que la limite de $(u_n)$ est $1$. 

\item  D\'{e}terminer, pour $n\ge 4$ le signe de $f_{n-1}\left( v_{n}\right)
.$ D\'{e}duire des variations de la fonction $f_{n},$ le sens de variation
de la suite $(v_{n}),$..

\item  On pose pour tout r\'{e}el $x>1:g\left( x\right) =x-\ln \left(
x\right) .$ Montrer (\`{a} l'aide d'un th\'{e}or\`{e}me dont on rapellera
l'\'{e}nnonc\'{e}) que $g$ r\'{e}alise une bijection de $\left] 1,+\infty
\right[ $ sur $\left] 1,+\infty \right[ .$

\'Etablir que $g\left( v_{n}/n\right) =\ln \left( n\right) ,$ montrer \`{a}
l'aide de $g^{-1}$ (bijection r\'{e}ciproque de $g$) que $v$ tend vers $%
+\infty ,$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
Soit $a$ et $b$ des réels avec $0<a<b$. Soit $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ deux suites définies par $u_0=a$, $v_0=b$ et, pour tout $n\in\N$,
\vspace{-5pt}$$u_{n+1}=\frac{u_n^2}{u_n+v_n}\text{ et }v_{n+1}=\frac{v_n^2}{u_n+v_n}.$$
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$. Montrer que $u_n$ et $v_n$ existent bien et que $u_n$ et $v_n$ sont deux réels strictement positifs.
\item \'Ecrire un script Scilab demandant à l'utilisateur les variables $n$, $a$ et $b$ et affichant les valeurs de $u_n$ et $v_n$.
\item Soit $n\in\N$, On pose $\ds x_n=\frac{u_n}{v_n}$ et $y_n=u_n-v_n$.\begin{enumerate}
\vspace{-5pt}\item Soit $n\in\N$. Montrer que $\ds x_n=\left(\frac ab\right)^{2^n}$.
\item Montrer que la suite $(y_n)_{n\in\N}$ est constante.
\end{enumerate}
\item \'Etudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.
. 
\item Soit $x\in]0,1[$. On suppose ici que $a=x$ et $b=1$.\\
Soit $n\in\N$. On note $\ds P_n=\prod_{k=0}^n\left(1+x^{2^k}\right)$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $k\in\llbracket0,n\rrbracket$. Calculer $\ds\frac{v_k}{v_{k+1}}$ en fonction de $k$ et $x$.
\item En déduire une expression de $P_n$ en fonction de $v_{n+1}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section*{Problème - Inspiré EDHEC}


Un mobile se d\'{e}place sur les points \`{a} coordonn\'{e}es enti\`{e}res
d'un axe d'origine $O$. Au d\'{e}part, le mobile est \`{a} l'origine.

Le mobile se d\'{e}place selon la r\`{e}gle suivante : s'il est sur le point
d'abscisse $k$ \`{a} l'instant $n$, alors, \`{a} l'instant $\left(
n+1\right) $ il sera sur le point d'abscisse $\left( k+1\right) $ avec la
probabilit\'{e} $p$ ($0<p<1$) ou sur le point d'abscisse $0$ avec la
probabilit\'{e} $1-p$.

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, on note $X_{n}$ l'abscisse de ce point \`{a}
l'instant $n$ et l'on a donc $X_{0}=0$.

On admet que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ $X_{n}$ est d\'{e}finie sur un
espace probabilis\'{e} $\left( \Omega ,\mathcal{A},\mathrm{P}\right) $.

Par ailleurs, on note $T$ l'instant auquel le mobile se trouve pour la premi%
\`{e}re fois \`{a} l'origine (sans compter son positionnement au d\'{e}part).

Par exemple, si les abscisses successives du mobile apr\`{e}s son d\'{e}part
sont $0$, $0$, $1$, $2$, $0$, $0$, $1$, alors on a $T=1$. Si les abscisses
successives sont: $1$, $2$, $3$, $0$, $0$, $1$, alors on a $T=4$.

On admet que $T$ est une variable al\'{e}atoire d\'{e}finie sur $\left(
\Omega ,\mathcal{A},\mathrm{P}\right) $

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $k$ de $\mathbb{N}^{*}$, exprimer l'\'{e}v\'{e}nement $%
\left( T=k\right) $ en fonction d'\'{e}v\'{e}nements mettant en jeu
certaines des variables $X_{i}$.

\item Donner la loi de $X_{1}$, son espérance et sa variance.

\item En d\'{e}duire $\mathrm{P}\left( T=k\right) $ pour tout $k$ de $%
\mathbb{N}^{*}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer par r\'{e}currence que, pour tout entier naturel $n$, $%
X_{n}\left( \Omega \right) =\entier{ 0,n }$

\item Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{*}$, utiliser le syst\`{e}me complet d'%
\'{e}v\'{e}nements $\left( X_{n-1}=k\right) _{0\le k\le n-1}$ pour montrer
que : $\mathrm{P}\left( X_{n}=0\right) =1-p$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item \'{E}tablir que : $\forall n\in \mathbb{N},\;\forall k\in \left\{
1,2,\dots n+1\right\} ,\;\mathrm{P}\left( X_{n+1}=k\right) =p\,\mathrm{P}%
\left( X_{n}=k-1\right) $

\item En d\'{e}duire que : $\forall n\in \mathbb{N}^{*},\;\forall k\in
\left\{ 0,1,2\dots ,n-1\right\} $, $\mathrm{P}\left( X_{n}=k\right)
=p^{k}\left( 1-p\right) .$

En d\'{e}duire \'{e}galement la valeur de $\mathrm{P}\left( X_{n}=n\right) $%
. Donner une explication probabiliste de ce dernier r\'{e}sultat.

\item V\'{e}rifier que $\displaystyle
\sum_{k=0}^{n}\mathrm{P}\left( X_{n}=k\right) =1$.
\end{enumerate}

\item Dans cette question et dans cette question seulement, on prend $%
\displaystyle
p=\frac{1}{3}$.

Compl\'{e}ter le programme suivant pour qu'il simule l'exp\'{e}rience al\'{e}%
atoire \'{e}tudi\'{e}e et affiche la valeur prise par $X_{n}$ pour une
valeur de $n$ entr\'{e}e par l'utilisateur.

\begin{verbatim}
n = input("Entrez un entier n")
X = 0
p = 1/3
for k = ...........
    u = rand()
    if ............ then 
        X = X+1
    else
        X = .....
    end
end
disp(X)
\end{verbatim}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\displaystyle
\forall n\ge 2,\;\sum_{k=1}^{n-1}k\,p^{k-1}=\frac{\left( n-1\right)
p^{n}-n\,p^{n-1}+1}{\left( 1-p\right) ^{2}}$

\item En d\'{e}duire que $\displaystyle
E\left( X\right) =\frac{p\left( 1-p^{n}\right) }{1-p}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer, en utilisant la question 3a), que : $\forall n\in \mathbb{N}%
,\,E\left( X_{n+1}^{2}\right) =p\left( E\left( X_{n}^{2}\right) +2E\left(
X_{n}\right) +1\right) $.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $\displaystyle
u_{n}=E\left( X_{n}^{2}\right) +\left( 2n-1\right) \frac{p^{n+1}}{1-p}$

Montrer que $\displaystyle
u_{n+1}=p\,u_{n}+\frac{p\left( 1+p\right) }{1-p}$

\item En d\'{e}duire l'expression de $u_{n}$, puis celle de $E\left(
X_{n}^{2}\right) $ en fonction de $p$ et $n$.

\item Montrer enfin que: $V\left( X_{n}\right) =\frac{p}{\left( 1-p\right)
^{2}}\left( 1-\left( 2n+1\right) p^{n}\left( 1-p\right) -p^{2n+1}\right) $
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}