\input{../preambules/preDM.tex}
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\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\Pro}{\text{P}}
\def\ccl#1{\[ \boxed{#1}\]}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°7}
\lfoot{}
\cfoot{Systèmes linéaires et continuité.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Vendredi 18 Décembre}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 (Les questions sont indépendantes) -Obligatoire pour les Groupes 8 à 10}

{\bf Exercice 14A (cours)} \\
Résoudre  les systèmes suivants 
\begin{qmulti}{2}
\item $\quad\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&4y& 1\\
x&+&3y&3
\end{array}\right.$
\item $\quad\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&y& 0\\
6x&+&3y&0
\end{array}\right.$
\end{qmulti}


{\bf Exercice 14B (Application)} \\
Résoudre les systèmes suivants :
\begin{qmulti}{2}
\item
$\quad\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&y&-&2z& 1\\
2x&+&3y&-&z& 2\\
2x&-&y&+&2z& 0
\end{array}\right.$


\item

$\quad\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&3y&-&2z& 0 \\
x&+&2y&-&3z& 0 \\
3x&+&4y&-&z& 0
\end{array}\right.$
\end{qmulti}


{\bf Exercice 15A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item Inverser la matrice $A = \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$ en utilisant les opérations élémentaires sur les lignes. 
\item  Montrer que la matrice $B={\begin{pmatrix}{4} & {-2} & {1}\\
{2} & {1} & {1}\\
{10} & {-7} & {2}
\end{pmatrix}}$ n'est pas inversible.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 15B (Application)} \\
 Montrer que la matrice $C={\begin{pmatrix}{2} & {-3} & {2}\\
{1} & {2} & {-1}\\
{1} & {-1} & {1}
\end{pmatrix}}$ est inversible et déterminer $C^{-1}$.



\section*{Exercice 2 (Inverse de matrice et résolution de système) - Obligatoire pour les groupes 3 à 7}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice $C={\begin{pmatrix}{1} & {2} & {0}\\
{1} & {0} & {0}\\
{0} & {2} & {0}
\end{pmatrix}}$ n'est pas inversible
\item {}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'inverse de la matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1\\
1 & -1 & 1\\
2 & -4 & 5
\end{array}\right)$. 
\item En déduire les solutions du système linéaire: $\begin{cases}
3x+2y-z & =5\\
x-y+z & =1\\
2x-4y+5z & =-3
\end{cases}$.
\end{enumerate}
\item On considère le système $(E_{\lambda }):\left\{ 
\begin{array}{l}
{-2x-2y+z=\lambda x } \\ 
{-2x+y-2z=\lambda y} \\ 
{x-2y-2z=\lambda z}%
\end{array}%
\right. $ où $\lambda \in \mathbb{R}.$

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $\lambda $, le système $(E_{\lambda })$ est-il de
Cramer ?

\item Résoudre le système selon les valeurs de $\lambda $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 1 - Inspiré EDHEC 1995 - Obligatoire pour les groupes 1 et 2}
$p$ désigne un réel élément de $]0,1[$. On pose $q=1-p$.\\
Un mobile se déplace sur un axe d'origine $O$; à chaque instant, il est soit en $O$, soit en $A$ d'abscisse 1, soit en $B$ d'abscisse $-1$.\\
Si à un instant donné, il est en $O$, alors, à l'instant suivant, il sera en $A$ avec la probabilité $p$ ou en $B$ avec la probabilité $q$.\\
Si à un moment donné, il est en $A$ ou en $B$, alors, à l'instant suivant, il sera à coup sûr en $O$.\\
On suppose qu'à l'instant 0, le mobile est en $O$.\\
Pour tout entier naturel $n$ et pour tout $i\in\{-1,0,1\}$, on note $E_{n,i}$ l'événement: \og à l'instant $n$, le mobile est au point d'abscisse $i$\fg.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\Pro(E_{n,i})$ pour tout $n\in\llbracket 0,1 \rrbracket$ et pour tout $i\in\{-1,0,1\}$.
\item\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$. Pour tout couple $(i,j)$ d'éléments de $\{-1,0,1\}$, calculer
$$\Pro_{E_{n,j}}(E_{n+1,i}).$$
\item En déduire que pour tout $n\in\N$
\begin{align*}
&\Pro(E_{n+1,-1})=q\Pro(E_{n,0}),\\
&\Pro(E_{n+1,0})=\Pro(E_{n,-1})+\Pro(E_{n,1}),\\
&\Pro(E_{n+1,1})=p\Pro(E_{n,0}).
\end{align*}
\end{enumerate}
\noindent Pour $n\in\N$, on pose $U_n=\begin{pmatrix}\Pro(E_{n,-1})\\\Pro(E_{n,0})\\\Pro(E_{n,1}) \end{pmatrix}$.
\item\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$. Justifier que $U_{n+1}=MU_n$ où M est une matrice carrée réelle d'ordre 3 que l'on précisera.
\item Montrer que pour tout $n\in\N$, $U_n=M^nU_0$.
\item En déduire un script Scilab demandant à l'utilisateur d'entrer $n$, $p$ et $q$ et affichant la matrice $U_n$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $Q=\begin{pmatrix}q & 1 & q \\ -1 & 0 & 1 \\ p & -1 & p \end{pmatrix}$.\\
Montrer que $Q$ est inversible et déterminer $Q^{-1}$.\\
Soit $D=\begin{pmatrix}-1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 &0 &1 \end{pmatrix}$.
\item Montrer que $M=QDQ^{-1}$.
\item Montrer que pout tout $n\in\N$, $M^n=QD^nQ^{-1}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Donner, pour tout $n\in\N$, la valeur de $\Pro(E_{n,-1})$, $\Pro(E_{n,0})$ et $\Pro(E_{n,1})$.
%\begin{align*}
%&\Pro(E_{n,-1})=q\frac{1-(-1)^n}2\\&\Pro(E_{n,0})=\frac{1+(-1)^n}2\\&\Pro(E_{n,1})=p\frac{1-(-1)^n}2
%\end{align*}
\item Calculer $\Pro(E_{2n,0})$. Aurait-on pu prévoir ce résultat?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}