\input{../preambules/preDM.tex}

\usetikzlibrary{shapes}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°6}
\lfoot{}
\cfoot{Limites et Variables aléatoires.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Mercredi 9 Décembre}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 - ECRICOME 2013 ECT}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R_+^*$ par :
$$
\forall x \in \R_+^*, \quad f(x) = 2x + \dfrac{3\ln(x)}{x^2}
$$
$$
\forall x \in \R_+^*, \quad g(x) = 2x^3 -6 \ln(x) + 3
$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$. 

\subsection*{I- \'Etude du signe de $g$}
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ lorsque $x \in \R_+^*$. 
\item Déterminer $a,b,c$ tel que $x^3 - 1 = (x-1)(ax^2 + bx +c)$.  
\item En déduire que l'équation $g'(x) = 0$ admet une unique solution $p$ que l'on précisera.
\item Calculer $\li_{x \to 0} g(x)$ et $\li_{x \to +\infty} g(x)$. 
\item Construire le tableau de variation de $g$. 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ lorsque $x \in \R_+^*$.  
\end{enumerate}

\subsection*{II- Représentation graphique de $f$}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition de $f$.  
\item Déterminer que : $\forall x \in \R_+^*, \quad f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$. 
\item Déterminer les limites $\li_{x\tos 0} f(x)$ et $\li_{x \to +\infty} f(x)$. 
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R_+$.
\item On note $a= \li_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ et $b = \li_{x \to + \infty} f(x) - ax$. Calculer $a$ et $b$. 
\item On note $(D)$ la droite d'équation $y = ax + b$. Déterminer quand la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessous de $(D)$.
\item Tracer sur un même dessin la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $(D)$.
\end{enumerate}

\subsection*{III- \'Etude d'une équation. (Obligatoire uniquement par les groupes 1 à 4)}
Soit $n \geq 1$ un entier naturel non nul, on considère l'équation 
$$
(E_n) : f(x) = 2n
$$
\begin{enumerate}
\item Prouver que l'équation $(E_n)$ admet une unique solution (que l'on ne cherchera pas à calculer). On note $x_n$ cette solution. 
\item Calculer puis classer par ordre croissant les réels $f(x_n)$, $f(1)$ et $f(n)$. En déduire l'encadrement :
$$
\forall n \geq 1, \quad 1 \leq x_n \leq n.
$$
\item Justifier que : $\forall n \geq 1, \; 1 - \dfrac{x_n}{n} = \dfrac{3\ln(x_n)}{2n (x_n)^2}$.
\item Prouver que : $\forall n \geq 1, \; 0 \leq \dfrac{\ln(x_n)}{n (x_n)^2} \leq \dfrac{\ln(n)}{n}$. 
\item En utilisant le théorème des gendarmes, déduire $\li_{n \to + \infty} \dfrac{x_n}{n}$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Variables aléatoires (Groupes 8 à 10)}

{\bf Exercice 12A (cours)} \\
On considère une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs 0,1,2 ou 3. On donne 
$$ P(X = 0) = \dfrac{1}{6} \quad \text{et} \quad P(X = 1) =\dfrac{1}{2} .$$
\begin{enumerate}
\item Sachant que les événements $(X = 2)$ et $(X = 3)$ sont équiprobables, déterminer $P(X = 2)$ et $P(X = 3)$.
\item Donner la loi de $X$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 12B (Application)} \\
On tire successivement 2 dés à 6 faces. On note $X$ la valeur absolue de la différence des deux numéros obtenus.
\begin{enumerate}
\item Donner $X(\Omega)$ et la loi de $X$.
\item Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
\end{enumerate}

{\it On donne les résultats suivants : $18^2 = 324$, $29^2 = 841$ et $105 \times 18 = 1890$}
 
{\bf Exercice 13A (cours)} \\
On tire successivement et avec remise 6 cartes d'un paquet de 32 cartes. Dans les cas suivants, déterminer en le justifiant la loi de $X$, son espérance et sa variance. 
\begin{enumerate}
\item On note $X$ le nombre de valets obtenus. 
\item On note $X$ la variable aléatoire valant 1 si l'on a que des figures (rois, dames et valets) et 0 sinon. 
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers. 
\item On note $X$ la variable aléatoire valant $1$ si un coeur tombe, $2$ si un carreau tombe, $3$ si un trèfle tombe et $4$ si un pique tombe. 
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 - Fonctions et Variables aléatoires (Groupes 3 à 7)} %ESCP 2002 revu et adapté

Terrassé par la perte de son fidèle ami Osorno emporté par la déesse Mapuche, et chassé du Villarica par les flammes noires de sa récente éruption, notre jeune condor Puyehue décida de réaliser un voyage initiatique à travers les Andes. Celui-ci  l'amena à rencontrer une jeune condor nommée Chiloé. Et aujourd'hui il songe à sa descendance. Il faut savoir que le condor se reproduit de la manière suivante, il a 2 descendants avec probabilité $p\in]0,1[$, et 0 descendant avec probabilité $1 - p$. On note $X_n$ le nombre de descendants de Puyehue à la $n-ieme$ génération. On s'intéresse à $P(X_n = 0)$, c'est à dire à la probabilité que la lignée de Puyehue soit éteinte à la $n-ieme$ génération.
\begin{enumerate}
\item
Soit $f(x)=px^2+1-p$ une fonction définie sur $[0,1]$ et soit $(u_n)_n$ la suite définie par $\begin{cases}
u_0=0\\
u_{n+1}=f(u_n)
\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item
Tracer le tableau de variations complet de $f$.
\item
En déduire par récurrence que $\forall n\in\N, u_n\in[0,1]$.
\item
Montrer par récurrence que la suite $(u_n)_n$ est croissante.
%\item
%En déduire que $(u_n)_n$ converge. On note $\ell$ sa limite. 
%\item
%Montrer que si $p\leq 1/2$, $\ell=1$.
%\item
%Montrer que si $p>1/2$, $\ell=\frac{1}{p}-1$ (on pourra au préalable montrer que si $p>1/2,u_n\leq \frac{1}{p}-1,\forall n\geq 0$).

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item
On remarque que $X_0=1$. Déterminer la loi de $X_1$ et $X_2$.
\item
Montrer que $(X_1=0,X_1=2) $ est un système complet d'événements. 
\item
Justifier que $P_{X_1=2}(X_{n+1}=0)=P(X_n=0)^2$.
\item
Montrer en utilisant la FPT que 
$$
P(X_{n+1}=0)=1-p+pP(X_n=0)^2.
$$
%\item
%En déduire alors $\lim\limits_{n\to+\infty}P(X_n=0)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section*{\textsc{Problème } - \'Evolution des intentions de vote (Groupes 1 et 2)}


Dans une élection à venir, deux candidats $A$ et $B$ se présentent. Un groupe d'électeurs est composé de $m$ individus, avec $m\geq 2$. 

Initialement, au jour appelé << jour~$0$ >>, le nombre d'individus préférant le candidat $A$ vaut $a$ (il y en a donc $m-a$ préférant le candidat $B$).
Ensuite, chaque jour, un des individus au hasard dans le groupe en rencontre un autre, au hasard également, et il lui parle des élections. Si leurs intentions de vote différent, il le convainc de voter comme lui.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $X_{n}$ le nombre d'individus du groupe ayant l'intention de voter pour le candidat $A$ le soir du $n$-ième jour. Ainsi, $X_{n}$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\entier{0,m}$.

On remarque que $X_{0}$ est une variable aléatoire certaine : $P(X_{0}=a)=1$.




\subsection*{Partie I -\  Un cas particulier : $m=4$ - Inspiré ESSEC 2011}


Dans cette partie, on étudie le cas d'un groupe formé de quatre électeurs. 



\begin{enumerate}
\item Soit $i$ et $j$ deux entiers dans $\entier{ 0,4}$. On note $p_{i,j}$ la probabilité pour qu'il y ait exactement $j$ personnes dans le groupe ayant l'intention de voter pour $A$ un jour donné, sachant qu'il y en avait $i$ la veille. C'est à dire 

\begin{enumerate}
\item Justifier : $p_{0,0}=p_{4,4}=1$.
\item Justifier : si $i$ et $j$ dans $\entier{ 0,4}$ sont tels que $\abs{i-j}\geq 2$, alors $p_{i,j}=0$.
\item \'Etablir : $\ds p_{1,0}=p_{1,2}=\frac{1}{4}$ et $\ds p_{{1,1}}=\frac{1}{2}$.

\item De la même fa\c con, donner pour tout $(i,j)\in\entier{ 0,4}^{2}$ la probabilité $p_{i,j}$.

On présentera les résultats sur le diagramme suivant, à reproduire et à compléter, et on justifiera quelques cas.



\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=stealth,x=2.5cm,y=4.0cm]

\node[draw,diamond,aspect=1] (Z0) at (0,0) {0};

\node[draw,diamond,aspect=1] (Z1) at (1,0) {1};
\node[draw,diamond,aspect=1] (Z2) at (2,0) {2};
\node[draw,diamond,aspect=1] (Z3) at (3,0) {3};
\node[draw,diamond,aspect=1] (Z4) at (4,0) {4};
\draw[->] (Z0) to[out=25, in=155] (Z1);
\draw[->] (Z1) to[out=25, in=155] (Z2);
\draw[->] (Z2) to[out=25, in=155] (Z3);
\draw[->] (Z3) to[out=25, in=155] (Z4);
\draw[->] (Z4) to[out=-155, in=-25] (Z3);
\draw[->] (Z3) to[out=-155, in=-25] (Z2);
\draw[->] (Z2) to[out=-155, in=-25] (Z1);
\draw[->] (Z1) to[out=-155, in=-25] (Z0);

\draw[->] (Z1) to[out=-55,in=-125,loop] (Z1);
\draw[->] (Z2) to[out=-55,in=-125,loop] (Z2);
\draw[->] (Z3) to[out=-55,in=-125,loop] (Z3);
\draw[->] (Z0) to[out=-145, in=145,loop] (Z0);
\draw[->] (Z4) to[out=35, in=-35,loop] (Z4);
\draw (1,-0.32) node{\small $1/2$};
\draw (1.5,0.17) node{\small $1/4$};
\draw (0.5,-0.17) node{\small $1/4$};
\draw (-0.48,0) node{\small $1 $};
\draw (4.48,0) node{\small $1 $};




\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{enumerate}

\item On définit la matrice { $M=\begin{pmatrix}
1/2& 1/3&0\\
1/4& {1}/{3}& {1}/{4}\\
0&{1}/{3}& {1}/{2}
\end{pmatrix}$}, et pour tout entier naturel $n$, la matrice colonne~$U_{n}=\begin{pmatrix}
P(X_{n}=1)\\
P(X_{n}=2)\\
P(X_{n}=3)\\
\end{pmatrix}$.

Pour tout entier naturel $n$, établir la relation : $U_{n+1}=MU_{n}$.

En déduire pour tout entier naturel $n$, l'égalité  $U_{n}=M^{n}U_{0}$.

\end{enumerate}



\subsection*{Partie II -\  Le cas général}


On revient dans cette partie au cas général d'un groupe de $m$ électeurs.
	
On note $\pi_{n,k}=P(X_{n}=k)$, la probabilité pour qu'il y ait exactement $k$ électeurs envisageant de voter pour $A$ à l'issue du $n$-iéme jour.


\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel.

\begin{enumerate}
\item établir les trois relations :
$$\ds \forall k\in\entier{ 0,m-1},\quad P_{(X_{n}=k)}(X_{n+1}=k+1)=\frac{k(m-k)}{m(m-1)}\ ;$$
$$\ds \forall k\in\entier{ 1,m},\quad P_{(X_{n}=k)}(X_{n+1}=k-1)=\frac{k(m-k)}{m(m-1)}\ ;$$
$$\ds \forall k\in\entier{ 1,m-1},\quad P_{(X_{n}=k)}(X_{n+1}=k)=1-\frac{2k(m-k)}{m(m-1)}\ .$$



\item En déduire la relation, si $k\in\entier{ 1,m-1}$ :

\smallskip

{\small $ \ds\pi_{n+1,k}=\frac{(k-1)(m+1-k)\pi_{n,k-1}+[m(m-1)-2k(m-k)]\pi_{n,k}+(k+1)(m-1-k)\pi_{n,k+1}}{m(m-1)}.$}


\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ et pour tout $k\in\entier{ 1,m-1}$,
$$\ds \pi_{n,k}\leq \left(\frac{m(m-1)-2}{m(m-1)}\right)^{n}.$$

\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n}=X_{n+1}-X_{n}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier : $Z_{n}(\Omega)=\{-1,0,1\}$.
\item  Exprimer $P(Z_{n}=1)$ en fonction des probabilités $\pi_{n,k}$ avec $k\in\entier{ 1,m-1}$.
\item Comparer $P(Z_{n}=-1)$ et $P(Z_{n}=1)$.
\item En déduire que $E(Z_{n})=0$.
\item Montrer que la suite $\Big(E\left(X_{n}\right)\Big)_{n\in \N}$ est constante  et déterminer cette constante en fonction de $a$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}