\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°4 bis}
\lfoot{}
\cfoot{Préparation au Sigma n°1.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A faire en autonomie}
\end{center}
\vspace{30pt}


\section*{Exercice 1 - Calculs de Sommes et de Produits}
Soit $n\in\N^\star$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que: $\ds\sum_{k=1}^n k(2k^2-1)=\frac{n(n+1)(n^2+n-1)}2$.
\item Soit $(x_k)_{k\in\llbracket1,n\rrbracket}$ une famille de réels. Montrer que: $\ds\prod_{k=1}^ne^{x_k}=\exp\left({\sum_{k=1}^n x_k}\right)$.
\item Pour tout $n\in\N$, $n\geq3$, calculer les sommes suivantes:
$$\text{(1)}\sum_{k=2}^{n-1} (4^{2-k}+5^k6^{n-k+1}),\hspace{60pt}
\text{(2)}\sum_{k=3}^{n+1} 2^{3k+2}\binom n{k-1}.$$
\item Montrer que: $\ds\prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}=\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}$.
\end{enumerate}


\section*{Exercice 2 - Matrice}
Soit les matrices $A=\begin{pmatrix} a & b &b &b \\b&a&b&b\\b&b&a&b\\b&b&b&a\end{pmatrix}$, $J=\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1
\end{pmatrix}$ et $I$ la matrice identité d'ordre 4.
\begin{enumerate}
\item Trouver deux scalaires $\alpha$ et $\beta$ vérifiant $A=\alpha I+ \beta J$.
\item Calculer $J^2$, puis $J^p$ pour tout entier naturel $p$.
\item En déduire $A^2$ puis $A^3$ en fonction de $I$ et $J$.
\item \begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N^\star$, établir que $\ds\sum_{k=1}^n\binom nk 4^{k-1}b^k(a-b)^{n-k}=\frac14\left((a+3b)^n-(a-b)^n\right)$.
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, $A^n$ en fonction de $I$ et $J$.
\end{enumerate}
\item Exprimer $A^2$ en fonction de $A$ et $I$. En déduire sous quelle(s) condition(s) $A$ est inversible et donner, lorsque $A$ est inversible, $A^{-1}$ en fonction de $A$ et de $I$.
\item Dans les conditions du (5), calculer $A^{-1}$ en fonction de $I$ et $J$ et vérifier que la formule obtenue en (4)(b) s'étend à $n=-1$.
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 - Probabilités}
On considère deux urnes $A$ et $B$ contenant toutes deux des boules blanches et des boules noires. Soient $a$ et $b$ dans $]0,1[$ tels que la proportion de boules blanches dans $A$ (resp. $B$) soit $a$ (resp. $b$).\\
On effectue $N$ tirages successifs en suivant le protocole suivant:
\begin{itemize}\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item chaque tirage se fait avec remise dans l'urne d'où provient la boule,
\item la première urne est choisie au hasard,
\item si on tire une boule blanche, on tire la boule suivante dans la même urne; si on en tire une noire, on change d'urne pour le tirage suivant.
\end{itemize}
Pour tout $n\in\llbracket 1,N\rrbracket$, on note:\\
$p_n=P(Bl_n)$ la probabilité d'obtenir une boule blanche au $n$-ème tirage,\\
$q_n=P(A_n)$ la probabilité que la $n$-ème tirage soit effectué dans l'urne $A$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_1$, $q_2$ et $p_2$.
\item Déterminer une relation liant $q_n$ et $q_{n-1}$ pour tout $n\in\llbracket 2,N\rrbracket$.
\item En déduire l'expression de $q_n$, puis de $p_n$, en fonction de $a$, $b$ et $n$.
\end{enumerate}


\section*{Exercice 4 - Inspiré EDHEC 2001}


\begin{center}
{\bf Partie 1}
\end{center}
On pose, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $\displaystyle v_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un script Scilab permettant de demander à l'utilisateur d'entrer un nombre $n$ et qui renvoie $v_n$. (On pourra écrire $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$).
\item Montrer que : $\forall k > 1, \dfrac{1}{k} \leq ln (k) - ln (k - 1)$ (Indication : pensez aux intégrales)
\item En déduire que : $\forall n \in \N^*,\; v_n \leq ln(n) + 1.$
\end{enumerate}

\begin{center}
{\bf Partie 2} 
\end{center}
On considère une suite $u$ définie par son premier terme $u_0 = 1$ et par la relation suivante, valable pour tout entier $n$ :
$$ u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n} .$$
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif.
	\item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate} 
	\item Pour tout entier $k$, exprimer $u^2_{k+1} - u^2_k$ en fonction de $u^2_k$.
	\item En déduire que : $\forall n \in \N^* $: $\displaystyle u^2_n = 2n + 1 + \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{u_k^2}$.
	\item Montrer que : $ \forall n \in \N^*$, $u^2_n \geq 2n + 1$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
	\item A l'aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 :
$$ u^2_n \leq 2n + 2 + \dfrac{1}{2} v_{n-1}. $$
	\item En utilisant la partie 1, établir que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 :
$$ u^2_n \leq 2n + \frac{5}{2} + \frac{\ln(n-1)}{2} .$$
	\end{enumerate}	 
\end{enumerate}



\end{document}