\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°3}
\lfoot{}
\cfoot{Matrices et probabilités.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Vendredi 16 Octobre}
\end{center}
\vspace{30pt}


\subsection*{Exercice 1 - Probabilités et suites}

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ ainsi que d'une pièce de monnaie
non truquée.\newline
Initialement, l'urne $U_{1}$ contient une boule blanche et deux boules
noires et l'urne $U_{2}$ contient deux boules noires.\newline
On considère l'épreuve $\mathcal{E}$ suivante :

\begin{itemize}
\item on lance la pièce

\item si l'on obtient pile, on tire une boule de $U_{1}$, sinon on tire une
boule de $U_{2}$

\item si la boule tirée est noire, elle est remise dans la même urne, sinon
elle est remise dans l'autre urne.
\end{itemize}
Pour $n$ entier naturel non nul, on désigne par $A_{n}$ l'évènement%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$A_{n}$ : " la boule blanche se trouve dans l'urne $U_{1}$ \textbf{à l'issue}
de la $n^{i\grave{e}me}$ répétition de l'épreuve $\mathcal{E}$ " \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
et par $B_{n}$ l'évènement 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$B_{n}$ : " la boule blanche se trouve dans l'urne $U_{2}$ \textbf{à l'issue}
de la $n^{i\grave{e}me}$ répétition de l'épreuve $\mathcal{E}$ " \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on effectue une seule fois l'épreuve $\mathcal{E}$%
.

\begin{enumerate}
\item La notation $PiB_{1}$ signifiant: \textquotedblleft la pièce a donné
pile et on a tiré la boule blanche de $U_{1}$" (on l'a donc remise dans $%
U_{2}$), calculer la probabilité de l'événement $\{PiB_{1}\}$.

\item En utilisant la même notation, décrire les résultats possibles de l'é%
preuve $\mathcal{E}$.

\item Calculer la probabilité des évènements $A_{1}$ et $B_{1}$
\end{enumerate}

\item On répète maintenant l'épreuve $\mathcal{E}$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que : \quad $\forall n\geqslant 0,\quad P_{A_{n}}(A_{n+1})=%
\dfrac{5}{6}$ et $P_{A_{n}}(B_{n+1})=\dfrac{1}{6}$

\item Calculer également $P_{B_{n}}(A_{n+1})$ et $P_{B_{n}}(B_{n+1})$

\item On notera $a_n = P(A_n)$ et $b_n = P(B_n)$. En déduire $a_{n+1}$ puis $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.

\item Que vaut la somme $a_n + b_n$ ? En déduire que $\forall
n\geqslant 0,\quad \left\{ 
\begin{array}{c}
a_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{6}\medskip \\ 
b_{n+1}=\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{6}%
\end{array}%
\right. $

\item Déterminer, en fonction de $n,$ les expressions de $a_n$ et $%
b_n.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 - Matrices et suites}

Soit $a,b,c,d$ des réels et soit $E$ l'ensemble des matrices carrées $M = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}$
d'ordre 2 qui vérifient les 2 conditions : $a+d = 0$ et $ad - bc = 0$. 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Les matrices de $E$ sont-elles inversibles. 
\item Vérifier que les deux matrices $\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & -1
\end{pmatrix}$
et 
$\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$
appartiennent à $E$. 
\item En déduire que la somme et le produit de 2 matrices de $E$ n'appartiennent pas nécessairement à $E$. 
\item Soit $M = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}$ une matrice de $E$. Déterminer la matrice $M^2$ et en déduire pour tout entier $n \geq 2$, la matrice $M^n$. 
\end{enumerate}
{\it Dans la suite de l'exercice, on pose $A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-2 & 5
\end{pmatrix}$
et on note $I = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$ la matrice identité.}
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que $A$ est inversible et donner son inverse. 
\item On pose $K = A - 3I$. Vérifier que la matrice $K$ appartient à $E$. 
\item Déterminez $\alpha$ et $\beta$ tel que $A^2 + \alpha A + \beta I = 0$. 
\item Retrouver le fait que $A$ est inversible et que $A^{-1} = \dfrac{2}{3} I -  \dfrac{1}{9} A$. 
\item Montrer par récurrence qu'il existe une suite de réels $a_n$ et $b_n$ telle que $A^n = a_n A + b_n I$.
\item Déterminer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ puis $A^n$. 
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\subsection*{Exercice 3 - Matrices et probabilités}
Dans cet exercice, on considère la matrice suivante :
$$M=\begin{pmatrix}
1&2&0\\1&3&1\\3&0&4
\end{pmatrix}
$$
et l'on sait que pour tout $n \in \N$,
$$
M^n  = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}
5^n + 9 -4 \times 2^n & 5^n -9 + 8\times 2^n & 5^n + 3 -4\times 2^n \\
2\times 5^n - 2\times 2^n & 2 \times 5^n + 4 \times 2^n & 5^n -2 \times 2^n \\
3 \times 5^n -9 +6\times 2^n & 3 \times 5^n +9 -12\times 2^n & 3 \times 5^n -3 +6\times 2^n
\end{pmatrix}
$$
{\it(Dans le sujet de concours initial, il s'agissait de montrer cette relation dans la première partie du problème)} \\

\noindent Les trois sports du triathlon sont : la natation, le cyclisme et la
course à pied.\\
Un athlète décide de pratiquer un sport par jour pour s'entraîner
au triathlon. Il commence son entraînement par la natation, au jour 0.\\
Son entraînement obéit ensuite aux règles suivantes (valables pour tout
entier naturel $n$) :
\begin{itemize}
\item si l'athlète a pratiqué la natation le jour $n$, alors il
pratiquera au jour $n+1$ :
	\begin{itemize}
	\item la natation avec probabilité 1/5
	\item le cyclisme avec probabilité 1/5
	\item la course à pied avec probabilité 3/5
	\end{itemize}
\item si l'athlète a pratiqué le cyclisme le jour $n$, alors il
pratiquera au jour $n+1$ :
	\begin{itemize}
	\item la natation avec probabilité 2/5
	\item le cyclisme avec probabilité 3/5
	\end{itemize}
\item si l'athlète a pratiqué la course à pied le jour $n$, alors
il pratiquera au jour $n+1$ :
	\begin{itemize}
	\item le cyclisme avec probabilité 1/5
	\item la course à pied avec probabilité 4/5
	\end{itemize}
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$, on désigne par :
\begin{itemize}
\item $A_n$ l'évènement \og l'athlète s'entraîne à la natation le
jour $n$ \fg{} et par $a_n$ la probabilité de $A_n$.
\item $B_n$ l'évènement \og l'athlète s'entraîne au cyclisme le
jour $n$ \fg{} et par $b_n$ la probabilité de $B_n$.
\item $C_n$ l'évènement \og l'athlète s'entraîne à la course à pied le
jour $n$ \fg{} et par $c_n$ la probabilité de $C_n$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Que valent $a_0$, $b_0$, $c_0$, $a_1$, $b_1$, $c_1$ ?
\item À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que pour
tout entier naturel $n$ on a :
$$a_{n+1}=\frac{1}{5}a_n+\frac{2}{5}b_n.$$
Exprimer de même les probabilités $b_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction
des probabilités $a_n$, $b_n$ et $c_n$.
\item Déterminer alors la matrice $A$ telle que, pour tout entier
naturel $n$ :
$$\begin{pmatrix}
a_{n+1}\\b_{n+1}\\c_{n+1}
\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}
a_n\\b_n\\c_n
\end{pmatrix}$$
et exprimer $A$ en fonction de la matrice $M$ de la partie I.
\item Établir que pour tout entier naturel $n$ :
$$\begin{pmatrix}
a_n\\b_n\\c_n
\end{pmatrix}=\frac{1}{5^n}M^n\begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}$$
\item En déduire alors l'expression de $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en
fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
\end{enumerate}

\end{document}