\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°2}
\lfoot{}
\cfoot{Suites et récurrences.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 7 Octobre}
\end{center}
\vspace{30pt}

\subsection*{Exercice 1 - Démonstration par récurrence}
Les questions suivantes sont indépendantes :
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que $\forall n \in \N, 4^n \geq 1 + 3n$. 
\item On considère la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{2} \ln(u_n)$. Montrer que pour tout $n \in \N$, $1 \leq u_n \leq e$. 
\item La suite de Fibonacci $(u_n)$ est défini par $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ et $u_0 = u_1 = 1$. Démontrer par récurrence (forte) que $\forall n \in \N, u_n \in \N$. 
\end{enumerate}
{\it Attention, la dernière récurrence est une récurrence forte, c'est à dire qu'il faut démontrer que $\mathcal{P}_0$ et $\mathcal{P}_1$ sont vraies puis supposer que $\mathcal{P}_n$ et $\mathcal{P}_{n+1}$ sont vraies et on démontre que $\mathcal{P}_{n+2}$ est vraie}. 

\subsection*{Exercice 2 - Fonctions et suites}

Note importante : La partie 1 n'est pas à traité puisque vous l'avez faite lors du premier DM. Par contre, vous pouvez utiliser des résultats de la partie 1 pour la partie 2. 

\subsubsection*{Partie 1}

On considère la fonction $f(x)=\ln\pare{e^x+e^{-x}}$.

\begin{enumerate}
\item
Déterminer le domaine de définition de $f$.
\item
Montrer que $f$ est paire.
\item
Tracer le tableau de variations de $f$. 
\item
Montrer que $\forall x \in \R, f(x) - x = \ln(1 + e^{-2x})$.
\item
En déduire $\li_{x \to + \infty} f(x) - x$ et $\li_{x \to - \infty} f(x) - x$. 
\item 
Montrer que : $\forall x\in\R, f(x)>x$.
\item
Résoudre l'inéquation $f(x)<x+1$.
\item
Tracer sur un même graphique les courbes représentatives de $f$, $y=x$ et $y=x+1$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie 2}

Etude de la suite définie par 
$\begin{cases}
u_0=0\\
u_{n+1}=f(u_n) = \ln(e^{u_n} + e^{-u_n})
\end{cases}$
\begin{enumerate}
\item
Justifier que la suite est bien définie et montrer que  pour tout $n\in\N, u_n\geq0$.
\item
Déduire de la partie A que la suite $u$ est croissante. 
\item
A l'aide de la partie A montrer que $\forall n\in\N, u_{n+1}<u_n+1$.
\item
En déduire que $\forall n\in\N, u_n<n+1$.
\item
Montrer que $\forall n\in\N, u_n\leq \ln(n+1)$.

\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 - Scilab}
Les deux questions sont indépendantes
\begin{enumerate}
\item On considère le programme 
\begin{verbatim}
a = input('Entrez un réel')
b = 4*a^2
a = b - 4*a
a = a +1
disp(a) 
\end{verbatim}
\begin{enumerate}
\item Que fait le programme ci dessus ?
\item Qu'affiche ce programme si l'utilisateur entre la valeur 2 ?
\item Pour quelles valeur de $a$ l'ordinateur renvoie la valeur $4$ ?
\end{enumerate}
\item Au 18 Aout 2020, le taux de change entre l'euro et les dollars américains, les livres sterling ou les roupies indiennes sont les suivants
\begin{itemize}
\item 1 EUR = 1,1960 USD
\item 1 EUR = 0,9042 GBP
\item 1 EUR = 89,2231 INR
\end{itemize}
Recopiez et complétez le programme suivant afin que lorsqu'un utilisateur entre une somme en euro et la monnaie dans laquelle il veut le change, il obtienne l'argent changé. 
\begin{verbatim}
eur = input("Entrez la somme en euros")
change = input ("Entrez 1 si vous souhaitez obtenir le change en dollar. Entrez 2 
si vous souhaitez obtenir le change en livres. Enfin, entrez 3 si vous souhaitez 
obtenir le change en roupies."

USD = ............
GBP = ............
INR = ............

if change == ......... then
    disp("Avec " + str(....) + " euros, vous obtenez " + str(USD) + " dollars") 
elseif change == ......... then
    disp("Avec " + str(....) + " euros, vous obtenez " + str(GBP) + " livres") 
else
    disp("Avec " + str(....) + " euros, vous obtenez " + str(INR) + " roupies") 
end
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\end{document}