\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°15}
\lfoot{}
\cfoot{Devoir maison n°15}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 19 Mai 2021}
\end{center}
\vspace{30pt}

\renewcommand{\P}{P}


\section*{Exercice 1 - Obligatoire pour tous les groupes}
Les parties sont toutes indépendantes 

\subsection*{Partie I}


Un joueur joue au jeu TETRIS et passe les niveaux $1$, $2$, $\ldots$, $n$, $\ldots$ jusqu'à ce qu'il échoue. Il a une probabilité $\dfrac{1}{n}$ de réussir le jeu de niveau  $n$. Soit $X$ le numéro du dernier niveau réussi. (Il finit toujours par échouer et la réussite des niveaux sont indépendants).
\begin{enumerate}
\item Donnez $X(\Omega)$. Trouver la loi de $X$. 
\item Montrer que l'on a $E(X) = e-1$.
\item A l'aide du théorème de Transfert, montrer que 
$$
E((X-1)(X+1)) = e
$$
En déduire que $X$ admet un moment d'ordre 2 et calculer sa variance. 
\end{enumerate} 

\subsection*{Partie II}

Un établissement bancaire comporte 5 guichets numérotés de 1 à 5. Le nombre $N$ de personnes arrivant à la banque en une journée suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$. On suppose que les clients choisissent leur guichet au hasard, indépendamment les uns des autres. On note $X$ le nombre de clients arrivant au guichet n°3 en une journée.
\begin{enumerate}
\item Donner $E(N)$ et interpréter la valeur $\lambda$.
\item Calculer $P_{(N=n)}(X = k)$ pour tout $k  \in \entier{0; n}$ puis pour $k > n$.
\item En utilisant la formule des probabilités totales, déterminer $P(X = k)$.
\item Déduire la loi de $X$, son espérance et sa variance.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

	\noindent On dispose d'une pièce de monnaie amenant Pile avec la probabilité $\dfrac 23$ et Face avec la probabilité $\dfrac 13$.
	
	\subsection*{Partie I~: \'Etude d'une première variable aléatoire - Obligatoire pour tous les groupes}
	
		\noindent On effectue une succession de lancers avec cette pièce et on définit la variable aléatoire $X$ prenant la valeur du nombre de Face obtenus avant l'obtention du deuxième Pile.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Décrire les événements $[X = 0]$, $[X=1]$, $[X=2]$ puis calculer leurs probabilités.
				\item Montrer~: $\forall n \in \N, P{[X=n]} = (n+1) \dfrac{4}{3^{n+2}}$.
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}
		
	\subsection*{Partie II~: \'Etude d'une expérience en deux étapes - Obligatoire pour les groupes 1 à 6}
	
		\noindent On effectue une succession de lancers avec la pièce précédente jusqu'à l'obtention du deuxième Pile~; puis en fonction du nombre $n$ de Face obtenus, on place $n+1$ boules dans une urne, les boules étant numérotées de 0 à $n$ et indiscernables au toucher, et enfin on pioche au hasard une boule dans cette urne.
		
		\noindent On note toujours $X$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face obtenus, et on note $U$ la variable aléatoire prenant la valeur du numéro de la boule obtenue. On pose $V = X-U$.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $U$.
				\item Déterminer, pour tout $n$ de $\N$, la loi conditionnelle de $U$ sachant $[X = n]$.
				\item En déduire, pour tout $k$ de $\N$~:
					$$P{[U=k]} = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{1}{n+1} P{[X=n]} \quad \textrm{puis} \quad P{[U=k]} = \frac{2}{3^{k+1}}.$$
				\item Montrer que $U$ admet une espérance et une variance et les calculer.
			\end{enumerate}
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable $V$.
				\item Déterminer, pour tout $n$ de $\N$, la loi conditionnelle de $V$ sachant $[X=n]$.
				\item En déduire la loi de $V$.
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}
		
	\subsection*{Partie III~: \'Etude d'un jeu - Obligatoire pour les groupes 1 à 3}
		
		\noindent Dans cette partie, $p$ désigne un réel de $]0; 1[$.
	
		\noindent Deux individus $A$ et $B$ s'affrontent dans un jeu de Pile ou Face dont les règles sont les suivantes~:
		\begin{itemize}
			\item le joueur $A$ dispose d'une pièce amenant Pile avec la probabilité $\dfrac 23$ et lance cette pièce jusqu'à l'obtention du deuxième Pile~; on note $X$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus~;
			\item le joueur $B$ dispose d'une autre pièce amenant Pile avec la probabilité $p$ et lance cette pièce jusqu'à l'obtention d'un Pile~; on note $Y$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus~;
			\item Le joueur $A$ gagne si son nombre de Face obtenus est inférieur ou égal à celui de $B$~; sinon c'est le joueur $B$ qui gagne.
		\end{itemize}
		\noindent On dit que le jeu est équilibré lorsque les joueurs $A$ et $B$ ont la même probabilité de gagner.
		
		
		\begin{enumerate}
		 \item \textbf{Simulation informatique}
			\begin{enumerate}
				\item \'Ecrire une fonction Scilab d'en-tête {\tt function x = simule\_X()} qui simule la variable aléatoire $X$.
				\item On suppose que l'on dispose d'une fonction {\tt simule\_Y} qui, prenant en argument un réel $p$ de $]0;1[$, simule la variable aléatoire $Y$. Expliquer ce que renvoie la fonction suivante~: 
			
				\hrulefill
				\begin{verbatim}
1. function r = mystere(p)
2.	r = 0
3.	N = 10^4
4. 	for k = 1:N
5.		x = simule_X()
6.		y = simule_Y(p)
7.		if x <= y then
8.			r = r + 1/N
9.		end 
10.	end
11. endfunction
				\end{verbatim}
				\hrulefill
				
				\item On trace, en fonction de $p$, une estimation de la probabilité que $A$ gagne et on obtient le graphe suivant~:
				
					\begin{center}
						\includegraphics[scale=0.75]{EML2018-Ex3-q6c}
					\end{center}

					\`A la vue de ce graphe, conjecturer une valeur de $p$ pour lequel le jeu serait équilibré.
			\end{enumerate}
			
			\item \textbf{\'Etude de la variable aléatoire $Y$} \\
				On note $Z$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de lancers effectués par le joueur $B$.
			
			\begin{enumerate}
				\item Reconnaître la loi de $Z$ et préciser son(ses) paramètre(s), son espérance et sa variance.
				\item Exprimer $Y$ à l'aide de $Z$ et en déduire l'existence de l'espérance et de la variance de $Y$ et préciser leurs valeurs.
				\item Montrer~: $\forall n \in \N, \quad P{[Y \geq n]} = (1-p)^n$.
			\end{enumerate}
			
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Montrer~: $P{[X \leq Y]} = \ds \sum_{n=0}^{+\infty} P{[X = n]} P{[Y \leq n]}$.
				\item Déduire des résultats précédents~: $P{[X \leq Y]} = \dfrac{4}{(2+p)^2}$.
				\item Déterminer la valeur de $p$ pour laquelle le jeu est équilibré.
			\end{enumerate}

		\end{enumerate}
		
\end{document}