\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°14}
\lfoot{}
\cfoot{Devoir maison n°14}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 14 Avril 2021}
\end{center}
\vspace{30pt}

\renewcommand{\P}{P}

\section*{Exercice 1 - Obligatoire pour les groupes 6 à 9}
On considère l'ensemble $E = \left\{ \begin{pmatrix}
3y + z \\
2y \\
-z
\end{pmatrix}, \; y,z \in \R \right\} \subset \mathcal{M}_{3,1}(\R)$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel. 
\item Déterminer 2 vecteurs $u$ et $v$ tel que $E = vect(u,v)$.
\item Montrer que les vecteurs $u$ et $v$ forment une famille libre. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Obligatoire pour les groupes 1 à 5}
On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 6 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}$ et l'ensemble $F = \left\{ X \in \mathcal{M}_{3,1}(\R), AX = 0 \right\}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est un sous espace vectoriel de $\mathcal{M}_{3,1}(\R)$
\item \'Ecrire $F$ sous la forme $vect(u,v)$ avec $u$ et $v$ deux vecteurs de $\mathcal{M}_{3,1}(\R)$. \\
({\it Indication : Résoudre le système $AX = 0$}).  
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Obligatoire pour tous les groupes}

On note $f:\left] 1,+\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R}$ l'application d%
\'{e}finie par : 
\begin{equation*}
\forall x\in \left] 1,+\infty \right[ ,\;f\left( x\right) =\frac{1}{x\ln
\left( x\right) }
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier les variations de $f$ et tracer sa courbe repr\'{e}%
sentative.

\item Montrer, pour tout entier $k$ tel que $k\ge 3$ : 
\begin{equation*}
f\left( k\right) \le \int_{k-1}^{k}f\left( x\right) dx\le f\left( k-1\right)
\end{equation*}

\hspace{-1cm}Pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq 2$, on note $S_{n}=%
\displaystyle \sum_{k=2}^{n}f\left( k\right) $

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer, pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 2:$

\begin{equation*}
S_{n}-\frac{1}{2\ln \left( 2\right) }\le \int_{2}^{n}f\left( x\right) dx\le
S_{n}-\frac{1}{n\ln \left( n\right) }
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire, pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 2$ :

\begin{equation*}
\ln \left( \ln \left( n\right) \right) -\ln \left( \ln \left( 2\right)
\right) \le S_{n}\le \ln \left( \ln \left( n\right) \right) -\ln \left( \ln
\left( 2\right) \right) +\frac{1}{2\ln \left( 2\right) }
\end{equation*}

\item \'{E}tablir : $ \li_{n \to +\infty} \dfrac{S_n}{\ln ( \ln(n))} = 1$
\end{enumerate}

\hspace{-1cm}Pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 2$, on note 
\begin{equation*}
u_{n}=S_{n}-\ln \left( \ln \left( n+1\right) \right) \; \text{et}%
\;v_{n}=S_{n}-\ln \left( \ln \left( n\right) \right)
\end{equation*}

\item En utilisant le r\'{e}sultat de la question 2., montrer que les suites 
$\left( u_{n}\right) _{n\ge 2}$ et $\left( v_{n}\right) _{n\ge 2}$ sont
adjacentes. On note $\ell $ leur limite commune.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer, pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 2$ : 
\begin{equation*}
0\le v_{n}-\ell \le \frac{1}{n\ln \left( n\right) }
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de $\ell $ \`{a} $10^{-2}$ pr%
\`{e}s et donner le script Scilab permettant d'obtenir cette valeur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 - Obligatoire pour les groupes 1 à 4é}
On consid\`{e}re, pour tout entier naturel $n$, l'application $\varphi _{n}$
d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : 
\[
\forall x\in \mathbb{R},\quad \varphi _{n}\left( x\right) =\left( 1-x\right)
^{n}e^{-2x} 
\]
ainsi que l'int\'{e}grale : 
\[
I_{n}=\int_{0}^{1}\varphi _{n}\left( x\right) \,dx 
\]

On se propose de d\'{e}montrer l'existence de trois r\'{e}els, $a$, $b$, $c$
tels que : 
\[
I_{n}=a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\varepsilon \left(
n\right) \quad \text{avec\quad }\lim_{n\rightarrow +\infty }\varepsilon
\left( n\right) =0 
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$.

\item \'Etudier la monotonie de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}%
}$.

\item D\'{e}terminer le signe de $I_{n}$ pour tout entier naturel $n$

\item Qu'en d\'{e}duit-on pour la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in \mathbb{N%
}} $ ?

\item Majorer la fonction $g:x\rightarrow e^{-2x}$ sur $\left[ 0,1\right] $

\item En d\'{e}duire que : 
\[
\forall n\in \mathbb{N}^{*},\quad 0\le I_{n}\le \frac{1}{n+1} 
\]

\item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, montrer que : 
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad 2I_{n+1}=1-\left( n+1\right) I_{n} 
\]

\item En d\'{e}duire la limite de la suite $\left( n\,I_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( n\left( n\,I_{n}-1\right)
\right) _{n\in \mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item Donner alors les valeurs de $a$, $b$, $c$.
\end{enumerate}



%On considère la fonction définie par $F(x) = \ds \int_0^x \dfrac{dt}{1+t^2}.$ 
%\begin{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Déterminer l'ensemble de définition de $F$, et préciser son signe.
%\item \'Etudier la parité de $F$. (Penser à un changement de variable)
%\item Justifier que $F$ est $C^1$ sur $\R$, puis donner son sens de variation. 
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item En justifiant que $\forall t \in \R^+$, $\dfrac{1}{1+t^2} \leq \dfrac{2}{(1+t)^2}$, montrer que $\forall x \geq 0, \; F(x) \leq 2$. 
%\item En déduire que la fonction $F$ admet une limite $L$ en $+\infty$ et que $L \leq 2$. 
%\end{enumerate}
%\item Montrer que $\forall x \geq 0$, $F(x) \geq \ds \int_0^x \dfrac{dt}{(1+t)^2}$ et en déduire que $L \geq 1$. 
%\item Montrer que l'équation $F(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une et une seule solution sur $[0, + \infty[$.
%\item On pose $G(x) = F(x) + F \left(\dfrac{1}{x}\right)$. 
%\begin{enumerate}
%\item Justifier que $G$ est dérivable sur $\R_+^*$ et calculer $G'$. 
%\item En déduire que $\forall x \in \R$, $G(x) = 2 F(1)$. 
%\item En faisant tendre $x$ vers $+\infty$ dans $G$, montrer que $L = 2 F(1)$. 
%\end{enumerate}  
%\end{enumerate}



%\section*{Exercice 5}
%Les parties sont toutes indépendantes 
%
%\subsection*{Partie I}
%
%
%Un joueur joue au jeu TETRIS et passe les niveaux $1$, $2$, $\ldots$, $n$, $\ldots$ jusqu'à ce qu'il échoue. Il a une probabilité $\dfrac{1}{n}$ de réussir le jeu de niveau  $n$. Soit $X$ le numéro du dernier niveau réussi. (Il finit toujours par échouer et la réussite des niveaux sont indépendants).
%\begin{enumerate}
%\item Donnez $X(\Omega)$. Trouver la loi de $X$. 
%\item Montrer que l'on a $E(X) = e-1$.
%\item A l'aide du théorème de Transfert, montrer que 
%$$
%E((X-1)(X+1)) = e
%$$
%En déduire que $X$ admet un moment d'ordre 2 et calculer sa variance. 
%\end{enumerate} 
%
%\subsection*{Partie II}
%
%Un établissement bancaire comporte 5 guichets numérotés de 1 à 5. Le nombre $N$ de personnes arrivant à la banque en une journée suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$. On suppose que les clients choisissent leur guichet au hasard, indépendamment les uns des autres. On note $X$ le nombre de clients arrivant au guichet n°3 en une journée.
%\begin{enumerate}
%\item Donner $E(N)$ et interpréter la valeur $\lambda$.
%\item Calculer $P_{(N=n)}(X = k)$ pour tout $k  \in \entier{0; n}$ puis pour $k > n$.
%\item En utilisant la formule des probabilités totales, déterminer $P(X = k)$.
%\item Déduire la loi de $X$, son espérance et sa variance.
%\end{enumerate}
%
%\section*{Exercice 6}
%
%	\noindent On dispose d'une pièce de monnaie amenant Pile avec la probabilité $\dfrac 23$ et Face avec la probabilité $\dfrac 13$.
%	
%	\subsection*{Partie I~: \'Etude d'une première variable aléatoire}
%	
%		\noindent On effectue une succession de lancers avec cette pièce et on définit la variable aléatoire $X$ prenant la valeur du nombre de Face obtenus avant l'obtention du deuxième Pile.
%		
%		\begin{enumerate}
%			\item 
%			\begin{enumerate}
%				\item Décrire les événements $[X = 0]$, $[X=1]$, $[X=2]$ puis calculer leurs probabilités.
%				\item Montrer~: $\forall n \in \N, P{[X=n]} = (n+1) \dfrac{4}{3^{n+2}}$.
%			\end{enumerate}
%		\end{enumerate}
%		
%	\subsection*{Partie II~: \'Etude d'une expérience en deux étapes}
%	
%		\noindent On effectue une succession de lancers avec la pièce précédente jusqu'à l'obtention du deuxième Pile~; puis en fonction du nombre $n$ de Face obtenus, on place $n+1$ boules dans une urne, les boules étant numérotées de 0 à $n$ et indiscernables au toucher, et enfin on pioche au hasard une boule dans cette urne.
%		
%		\noindent On note toujours $X$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face obtenus, et on note $U$ la variable aléatoire prenant la valeur du numéro de la boule obtenue. On pose $V = X-U$.
%		
%		\begin{enumerate}
%			\item 
%			\begin{enumerate}
%				\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $U$.
%				\item Déterminer, pour tout $n$ de $\N$, la loi conditionnelle de $U$ sachant $[X = n]$.
%				\item En déduire, pour tout $k$ de $\N$~:
%					$$P{[U=k]} = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{1}{n+1} P{[X=n]} \quad \textrm{puis} \quad P{[U=k]} = \frac{2}{3^{k+1}}.$$
%				\item Montrer que $U$ admet une espérance et une variance et les calculer.
%			\end{enumerate}
%			\item 
%			\begin{enumerate}
%				\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable $V$.
%				\item Déterminer, pour tout $n$ de $\N$, la loi conditionnelle de $V$ sachant $[X=n]$.
%				\item En déduire la loi de $V$.
%			\end{enumerate}
%		\end{enumerate}
%		
%	\subsection*{Partie III~: \'Etude d'un jeu}
%		
%		\noindent Dans cette partie, $p$ désigne un réel de $]0; 1[$.
%	
%		\noindent Deux individus $A$ et $B$ s'affrontent dans un jeu de Pile ou Face dont les règles sont les suivantes~:
%		\begin{itemize}
%			\item le joueur $A$ dispose d'une pièce amenant Pile avec la probabilité $\dfrac 23$ et lance cette pièce jusqu'à l'obtention du deuxième Pile~; on note $X$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus~;
%			\item le joueur $B$ dispose d'une autre pièce amenant Pile avec la probabilité $p$ et lance cette pièce jusqu'à l'obtention d'un Pile~; on note $Y$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus~;
%			\item Le joueur $A$ gagne si son nombre de Face obtenus est inférieur ou égal à celui de $B$~; sinon c'est le joueur $B$ qui gagne.
%		\end{itemize}
%		\noindent On dit que le jeu est équilibré lorsque les joueurs $A$ et $B$ ont la même probabilité de gagner.
%		
%		
%		\begin{enumerate}
%		 \item \textbf{Simulation informatique}
%			\begin{enumerate}
%				\item \'Ecrire une fonction Scilab d'en-tête {\tt function x = simule\_X()} qui simule la variable aléatoire $X$.
%				\item On suppose que l'on dispose d'une fonction {\tt simule\_Y} qui, prenant en argument un réel $p$ de $]0;1[$, simule la variable aléatoire $Y$. Expliquer ce que renvoie la fonction suivante~: 
%			
%				\hrulefill
%				\begin{verbatim}
%1. function r = mystere(p)
%2.	r = 0
%3.	N = 10^4
%4. 	for k = 1:N
%5.		x = simule_X()
%6.		y = simule_Y(p)
%7.		if x <= y then
%8.			r = r + 1/N
%9.		end 
%10.	end
%11. endfunction
%				\end{verbatim}
%				\hrulefill
%				
%				\item On trace, en fonction de $p$, une estimation de la probabilité que $A$ gagne et on obtient le graphe suivant~:
%				
%					\begin{center}
%						\includegraphics[scale=0.75]{EML2018-Ex3-q6c}
%					\end{center}
%
%					\`A la vue de ce graphe, conjecturer une valeur de $p$ pour lequel le jeu serait équilibré.
%			\end{enumerate}
%			
%			\item \textbf{\'Etude de la variable aléatoire $Y$} \\
%				On note $Z$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de lancers effectués par le joueur $B$.
%			
%			\begin{enumerate}
%				\item Reconnaître la loi de $Z$ et préciser son(ses) paramètre(s), son espérance et sa variance.
%				\item Exprimer $Y$ à l'aide de $Z$ et en déduire l'existence de l'espérance et de la variance de $Y$ et préciser leurs valeurs.
%				\item Montrer~: $\forall n \in \N, \quad P{[Y \geq n]} = (1-p)^n$.
%			\end{enumerate}
%			
%			\item 
%			\begin{enumerate}
%				\item Montrer~: $P{[X \leq Y]} = \ds \sum_{n=0}^{+\infty} P{[X = n]} P{[Y \leq n]}$.
%				\item Déduire des résultats précédents~: $P{[X \leq Y]} = \dfrac{4}{(2+p)^2}$.
%				\item Déterminer la valeur de $p$ pour laquelle le jeu est équilibré.
%			\end{enumerate}
%
%		\end{enumerate}

\end{document}