\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°13}
\lfoot{}
\cfoot{Devoir maison n°13}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 24 Mars 2021}
\end{center}
\vspace{30pt}

\renewcommand{\P}{P}

\section*{Exercice 1 - Obligatoire groupe 6 à 10}
On note $(u_n)_{n \in \N^*}$ la suite définie pour tout entier $n$ strictement positif par :
$$
u_n = \int_0^1 \dfrac{x^{n-1}}{1+x} dx
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer le premier terme $u_1$ de la suite.
\item Montrer que $(u_n)_{n \in \N^*}$  est une suite de réels positifs.
\item Montrer que $(u_n)_{n \in \N^*}$  est une suite décroissante.
\item Montrer que l'on a, pour tout entier $n$ strictement positif : $ u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n}$. 
\item En déduire une fonction Scilab qui prend un entier $n$ strictement positif et qui renvoie $u_n$, le $n$-ième terme de la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$.
\item \'Etablir, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, la double inégalité :
$$
\dfrac{1}{n} \leq 2 u_n \leq \dfrac{1}{n-1}
$$
En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$.
\item À l'aide de l'inégalité précédente, déterminer $\li_{n\to +\infty} n u_n$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Obligatoire Groupe 5 à 10}
On consid\`{e}re, pour tout entier naturel $n$, l'application $\varphi _{n}$
d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : 
\[
\forall x\in \mathbb{R},\quad \varphi _{n}\left( x\right) =\left( 1-x\right)
^{n}e^{-2x} 
\]
ainsi que l'int\'{e}grale : 
\[
I_{n}=\int_{0}^{1}\varphi _{n}\left( x\right) \,dx 
\]

On se propose de d\'{e}montrer l'existence de trois r\'{e}els, $a$, $b$, $c$
tels que : 
\[
I_{n}=a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\varepsilon \left(
n\right) \quad \text{avec\quad }\lim_{n\rightarrow +\infty }\varepsilon
\left( n\right) =0 
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$.

\item \'Etudier la monotonie de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}%
}$.

\item D\'{e}terminer le signe de $I_{n}$ pour tout entier naturel $n$

\item Qu'en d\'{e}duit-on pour la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in \mathbb{N%
}} $ ?

\item Majorer la fonction $g:x\rightarrow e^{-2x}$ sur $\left[ 0,1\right] $

\item En d\'{e}duire que : 
\[
\forall n\in \mathbb{N}^{*},\quad 0\le I_{n}\le \frac{1}{n+1} 
\]

\item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, montrer que : 
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad 2I_{n+1}=1-\left( n+1\right) I_{n} 
\]

\item En d\'{e}duire la limite de la suite $\left( n\,I_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( n\left( n\,I_{n}-1\right)
\right) _{n\in \mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item Donner alors les valeurs de $a$, $b$, $c$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3} 

Cet exercice étudie deux jeux de un dés avec des d\'{e}s équilibrés \`{a} six faces.
\subsection*{I. Étude du premier jeu. - Obligatoire pour tous}
Dans ce jeu on lance simultanément deux dés équilibrés, si les deux donnent le même résultat alors le joueur marque $1$ point, sinon il ne marque pas de point.\\
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p$ de l'événement $A$: <<\,\, Les deux dés donnent le même résultat\,>>.
\item Le joueur répète $n$ fois le même jeu et on note alors $Y_n$ le nombre de points obtenus par le joueur après ces $n$ parties.
\begin{enumerate}
\item Reconnaitre la loi de $Y_n$ (\textit{une justification soigneuse est attendue}).\\
Donner explicitement $P(Y_n=k)$ pour les valeurs $k$ prises par $Y_n$.
\item Donner la valeur de l'espérance $E(Y_n)$ de la variable aléatoire $Y_n$ et sa variance $V(Y_n)$.
\end{enumerate}
\item Le joueur joue maintenant jusqu'à ce qu'il marque un point pour la première fois.\\
On note alors $Z$ la variable aléatoire représentant le nombre de parties effectuées par le joueur. \\
\begin{enumerate}
\item Reconnaitre la loi de $Z$ (\textit{une justification soigneuse est attendue}).\\
Donner explicitement $P(Z=k)$ pour les valeurs $k$ prises par $Z$.
\item Donner la valeur de l'espérance $E(Z)$ de la variable aléatoire $Z$ et sa variance $V(Z)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{II. Étude d'un deuxième jeu. - Obligatoire groupes 1 à 7}

Pour ce jeu, effectuer une partie consiste \`{a} lancer successivement deux d%
\'{e}s \'{e}quilibr\'{e}s. ({\it On rappelle $5^3 = 75$ et $12^3 = 1728$.}) \\

\noindent On note :

\begin{itemize}
\item $D_{1}$ le r\'{e}sultat du premier d\'{e} et $D_{2}$ le r\'{e}sultat
du deuxi\`{e}me d\'{e}

\item $E_{1}$ l'\'{e}v\'{e}nement : $\left( D_{1}<D_{2}\right) $, $E_{2}$ l'%
\'{e}v\'{e}nement : $\left( D_{1}=D_{2}\right) $ et $E_{3}$ l'\'{e}v\'{e}%
nement : $\left( D_{1}>D_{2}\right) $\\
\end{itemize} 

\noindent Lors d'une partie,

\begin{itemize}
\item si l'\'{e}v\'{e}nement $E_{1}$ se produit alors le joueur ne marque
pas de point,

\item si l'\'{e}v\'{e}nement $E_{2}$ se produit alors le joueur marque 2
points,

\item si l'\'{e}v\'{e}nement $E_{3}$ se produit alors le joueur marque 1
point.\\
\end{itemize} 

%\subsection*{I. Etude de parties successives.}

%Soit $n$ un entier naturel non nul. Le joueur joue successivement $n$
%parties.
\noindent Le joueur répète $n$ fois ce jeu. Pour tout entier naturel $i\geq 1$, on note :

\begin{itemize}
\item $X_{i}$ la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant le nombre de points
marqu\'{e}s lors de la $i^{\grave{e}me}$ partie ;

\item $S_{i}$ le nombre de points marqu\'{e}s apr\`{e}s $i$ parties.
\end{itemize}



\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit\'{e} de chacun des \'{e}v\'{e}nements $E_{1}$, $%
E_{2}$ et $E_{3}$ (\textit{On démontrera notamment que $\displaystyle P(E_1) = \frac{5}{12}$}).

\item Soit $i\in \left \{ 1,2,\dots ,n\right \} $, d\'{e}terminer la loi de la
variable al\'{e}atoire $X_{i}$ puis calculer son esp\'{e}rance et sa
variance.

\item Trouver la loi de la variable al\'{e}atoire $S_{1}$.

\item Préciser les valeurs prises par la variable al\'{e}atoire $S_{2}$ et donner sa loi.

\item
\begin{enumerate}
\item Pr\'{e}ciser les valeurs
prises par la variable al\'{e}atoire $S_{3}$.

\item En utilisant un système complet d'évènement associé à $S_2$, calculer $P(S_3 = 2)$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Ecrire $S_{n}$  en fonction des variables al\'{e}atoires $X_{1}$, $%
X_{2}$, ..., $X_{n}$.\newline
En d\'{e}duire l'esp\'{e}rance math\'{e}matique $E(S_n)$ de $S_{n}$.

\item En moyenne, combien de parties au minimum doit faire le joueur pour
obtenir plus de $10$ points?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4
 - Obligatoire groupes 1 à 4} % Sigma 3B 2018-2019

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.\newline
Une urne contient une boule noire non numérotée et $n-1$ boules blanches, dont $n-2$ portent le numéro $0$ et une porte le numéro $1$. On extrait ces boules au hasard, une à une, sans remise, jusqu'à l'apparition de la boule noire. \newline
Pour chaque $i$ de $\llbracket 1,n-1 \rrbracket$, on note $B_i$ l'événement :  le $i$-ème tirage donne une boule blanche, on pose $\overline{B_i} = N_i$ et on note $X$ la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la boule noire.\\

\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs que peut prendre la variable $X$.
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout $i$ de $\llbracket 2,n-1\rrbracket$, justifier que $P_{B_1\cap \ldots \cap B_{i-1}}(B_i) = \dfrac{n-i}{n-i+1}$.
\item Utiliser la formule des probabilités composées pour trouver $P(X=k)$, pour tout $k$ de $X(\Omega)$.
\item Reconnaître la loi de $X$ et donner son espérance et sa variance.
\end{enumerate}
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la boule numérotée $1$ a été piochée lors de l'expérience précédente, et qui vaut $0$ sinon.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $k$ de $X(\Omega)$, montrer, toujours grâce à la formule des probabilités composées, que :
\[ P\Big([X=k]\cap [Y=0]\Big) = \dfrac{n-k}{n(n-1)} \]
\item En déduire $P(Y=0)$.
\item Reconnaître la loi de $Y$ et donner son espérance et sa variance.
\end{enumerate}
\item Simulation informatique.\newline
On rappelle / apprend qu'en \texttt{Scilab}, la commande \texttt{grand(1,1,'uin',a,b)} simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\llbracket a,b \rrbracket$.
\begin{enumerate}
\item Compléter le script \texttt{Scilab} suivant afin qu'il simule l'expérience aléatoire décrite dans cet exercice et affiche la valeur prise par la variable aléatoire $X$.\newline
On admettra que la boule noire est codée tout au long de ce script par le nombre \texttt{nB+1}, où \texttt{nB} désigne le nombre de boules blanches.
\begin{center}
\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\begin{verbatim}
1. n=input('entrez une valeur pour n : ')
2. nB=n-1
3. X=1
4. u=grand(1,1,'uin',1,nB+1)
5. while u<nB+1
6.     nB=------
7.     u=grand(1,1,'uin',1,------)
8.     X=------
9. end
10.disp(X,'la boule noire est apparue au tirage numéro')
\end{verbatim}
\end{minipage}
\end{center}
\item Compléter les lignes $4$ et $8$ ajoutées au script précédent afin que le script qui suit renvoie et affiche, en plus de celle prise par $X$, la valeur prise par $Y$.
\begin{center}
\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\begin{verbatim}
1.  n=input('entrez une valeur pour n : ')
2.  nB=n-1
3.  X=1
4.  Y=------
5.  u=grand(1,1,'uin',1,nB+1)
6.  while u<nB+1
7.      nB=------
8.      if u==1 then 
9.          Y=------
10.     end
11.     u=grand(1,1,'uin',1,------)
12.     X=------
13. end
14. disp(X,'la boule noire est apparue au tirage numéro')
15. disp(Y,'la valeur de Y est')
\end{verbatim}
\end{minipage}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}