\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°12}
\lfoot{}
\cfoot{Devoir maison n°12}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 10 Mars 2021}
\end{center}
\vspace{30pt}

\renewcommand{\P}{P}

\section*{Exercice 1 - Série - Obligatoire pour les groupes 6 à 10}

\begin{enumerate}
\item Calculer en justifiant soigneusement leur convergence les séries suivantes : 
$$
A = \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{ 2^{2n}}{5^{n+1}}, \qquad B = \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{2^{n-1}}{n!}, \qquad C = \sum_{n \geqslant 0} (n^2 - n) 2^{-2n}. 
$$
\item Donner (en justifiant) la nature des séries :
$$
D = \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n^3}, \qquad
E = \displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{1}{\sqrt{n} - 1}, \qquad
F = \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{n^5}, \qquad
$$
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

\subsection*{Partie I : \'Etude de deux suites - Obligatoire pour tous les groupes}
\par \medskip \noindent
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : \quad $u_n=\ds \sum_{k=1}^n \dfrac1k - \ln(n)$ \quad et \quad $v_n=u_n-\dfrac1n$.

\begin{enumerate}
\item
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^{+*}$ par $f(x)=\dfrac1{x+1}+\ln(x)-\ln(x+1)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\ds \lim_{x  \to 0} f(x)$ et $\ds \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^{+*}$ et dresser son tableau de variations.
\item Démontrer que : \quad $\forall n \in \N^*, \quad u_{n+1}-u_n=f(n)$.
\item En déduire la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in \N^*}$.
\item \'Ecrire une fonction d'en-tête : {\tt function y=u(n)} \quad qui prend en argument un entier naturel $n$ non nul et qui renvoie la valeur de $u_n$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que : \quad $\forall n \in \N^* \quad v_{n+1}-v_n=\dfrac1n - \ln \left(1+\dfrac1n\right)$.
\item  Montrer que pour tout réel $x$ positif : \qquad $\ln(1+x) \le x$.\\
En déduire que la suite $(v_n)_{n \in \N^*}$ est croissante.
\item Montrer que pour tout réel x positif, 
$$
 x - \ln(1+x) \leq \dfrac{x^2}{2}
$$
\item En déduire que la série de terme général $v_{n+1}-v_n$ est convergente. on note $\gamma = \ds \sum_{n=1}^{+\infty}(v_{n+1}-v_n)$. 
\item Pour $n \ge 2$, simplifier la somme partielle : \quad $\ds \sum_{k=1}^{n-1} (v_{k+1}-v_k)$.\\
En déduire que la suite $(v_n)_{n \ge 2}$ converge vers $\gamma$.
\end{enumerate}\bigskip

\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $\ds \lim_{n \to \infty} u_n$.
\item Montrer que  \quad $\forall n \in \N^* \quad v_n \le  \gamma \le u_n$ \qquad puis que $\quad \forall n \in \N^* \quad |u_n - \gamma| \le \dfrac1n$
\item On rappelle que l'instruction {\tt floor(x)} renvoie la partie entière d'un réel $x$ et on suppose que la fonction {\tt u} de la question 1) e: a été correctement programmée. Expliquer l'intérêt et le fonctionnement du script ci-dessous :
\begin{verbatim}
eps=input('Entrer un réel strictement positif : '}
n=floor(1/eps)+1
disp(u(n))
\end{verbatim}
\end{enumerate}
\end{enumerate}\bigskip
\noindent

\subsection*{Partie II: \'Etude d'une série - Obligatoire groupes 1 à 5}
\par \medskip \noindent
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \quad $a_n=\dfrac1{n(2n-1)}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que $\forall n \in \N^*, a_n \leq \dfrac{1}{n^2}$
\item En déduire que la série de terme général $a_n$ converge.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que : \qquad $\ds \forall  n \in \N^*, \quad \sum_{k=1}^n \dfrac1{2k-1}=\sum_{k=1}^{2n} \dfrac1k - \sum_{k=1}^n \dfrac1{2k}$.
\item Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : \qquad $\forall n \in \N^*, \quad a_n=\dfrac{\alpha}n +\dfrac{\beta}{2n-1}$.
\item En déduire que : \qquad $\forall n \in \N^*, \qquad \ds \sum_{k=1}^n a_k=2 \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac1k$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que :\qquad $\forall n \in \N^*, \quad \ds \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac1k=u_{2n}-u_n+\ln(2)$\\
où $(u_n)_{n \in \N^*}$ est la suite définie dans la partie I.
\item Calculer alors \quad $\ds \sum_{k=1}^{+\infty} a_k$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Montrer que : \quad $\forall n \in \N^*, \quad \ds \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}                                               = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\dfrac{k}{n}}$.
\item Retrouver alors le résultat de la question 3) b.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{Exercice 3 - Issue de ESSEC - Groupe 1 à 4}

\bigskip
Dans cette partie on consid\`{e}re un ensemble fini \ $%
\mathcal{K}$. $\mathcal{P}(\mathcal{K})$ {\ d\'{e}signe l'ensemble de toutes les parties de $\mathcal{K}$ et pour tout $A\in \mathcal{P}(\mathcal{K})${, on note }$\bar{A}${\ le compl\'{e}mentaire de \ }$A$%
{\ \ dans $\mathcal{K}$}.

\bigskip

Soient \ $P$ et $Q$ deux probabilit\'{e}s sur \ $\mathcal{K}$. Pour tout $%
k\in \mathcal{K}$ , on pose \ $p_{k}=P\left( \left\{ k\right\} \right) $ et
\ $q_{k}=Q\left( \left\{ k\right\} \right) $. On rappelle que pour tout \ $%
k\in \mathcal{K},$ $p_{k}\ge 0$ , \ avec $\displaystyle
\sum_{k\in \mathcal{K}}p_{k}=1$. \ De plus toute probabilit\'{e} \ \ $P$ \
est enti\`{e}rement d\'{e}termin\'{e}e par la donn\'{e}e de \ $\left(
p_{k}\right) _{k\in \mathcal{K}}$ puisque pour tout $A\in \mathcal{P}(\mathcal{K}),\;%
\displaystyle
P\left( A\right) =\sum_{k\in A}p_{k}$

On d\'{e}finit la \ distance en variation
entre les probabilit\'{e}s \ $P$ \ et \ $Q$ \ par 
\begin{equation}
D\left( P\mathrm{,}Q\right) =\frac{1}{2}\sum_{k\in \mathcal{K}}\left|
p_{k}-q_{k}\right|  \tag{(i)}
\end{equation}

\subsection*{{\ \textsf{\textbf{Partie 1}} \ \ \ \ \ \textit{Exemples de distance avec la loi uniforme}. }}

\bigskip

Dans cette première partie, on va calculer la distance en variation entre des probabilités connues. 
\begin{enumerate}
\item On lance des pièces de monnaie et on observe si on tombe sur pile (0) ou sur face (1). L'univers est donc $\mathcal{K} = \{0,1\}$. On lance d'un côté une pièce non truqué qui suit une loi de probabilité uniforme noté $P$. D'un autre côté, on lance une pièce truquée qui a la loi de probabilité $Q$ définie par $Q(\{0\}) = q_0  = \dfrac{1}{4}$ et $Q(\{1\}) = q_1 = \dfrac{3}{4}$. Rappelez ce que vaut $p_0$ et $p_1$ et calculez $D(P,Q)$. 
\item On lance maintenant des dés et on note la face sur laquelle on tombe. L'univers est $\mathcal{K} = \entier{1,6}$. On lance d'un côté un dé non truqué muni de la loi uniforme $P$. D'un autre côté, on lance un dé truquée qui a la loi de probabilité $Q$ définie par 
$$Q(\{1\}) = q_1  = \dfrac{1}{12}, \quad  q_2 = \dfrac{1}{6}, \quad q_3 = \dfrac{1}{4}, \quad q_4 = \dfrac{1}{12}, \quad  q_5 = \dfrac{1}{6}, \quad q_6 = \dfrac{1}{4}. $$
 Rappelez ce que vaut $p_k$ (pour $k \in \entier{1,6}$) et calculez $D(P,Q)$. 
 \item On considère $n = 2p$ un nombre pair. Dans les deux expériences suivantes, on tire des boules numérotées de 1 à n dans une urne et on regarde le numéro sur lequel on tombe. L'univers est donc $\mathcal{K} = \entier{1, n}$. Dans la première urne, il y a 1 boule portant chaque numéro (il y a donc $n$ boules en tout). On associe à cette expérience la loi de probabilité P. 
 \begin{enumerate}
 \item Donner la loi de probabilité de $P$.
\end{enumerate}  
Dans la seconde urne, il y a 1 boule portant le numéro 1, 2 boules portant le numéro 2, ..., n boules portant le numéro n. On associe à cette expérience la loi de probabilité Q.
	\begin{enumerate}
	\item[(b)] Combien y a-t-il de boules dans l'urne pour cette expérience ?
	\item[(c)] En déduire $q_k = Q(\{k\} )$ pour tout $k \in\entier{1,n}$ 
	\item[(d)] Montrez que $D(P,Q) = \dfrac{n}{4(n+1)}$.
	({\it Indication : Découpez la somme en $\displaystyle \sum_{k=1}^n = \sum_{k=1}^p + \sum_{k=p+1}^{2p}$.})
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{{\ \textsf{\textbf{Partie 2}} \ \ \ \ \ \textit{Distance en variation}. }}


\begin{enumerate}
\item  \ Lorsque \ \ $\mathcal{K=}\left\{ 0;1\right\} $ \ exprimer \ $%
D\left( P\mathrm{,}Q\right) $\ \ \ en fonction de \ $p_{1}$ et \ $q_{1}$.

\item  V\'{e}rifier que pour tout \ $A\in \mathcal{P}(\mathcal{K}),\mathcal{\;}\left|
P\left( A\right) -Q\left( A\right) \right| \in \left[ 0,1\right] $.

\item  Montrer que pour tout \ $\displaystyle
A\in \mathcal{P}(\mathcal{K}),\mathcal{\;}2\left| P\left( A\right) -Q\left( A\right)
\right| =\left| \sum_{k\in A}\left( p_{k}-q_{k}\right) \right| +\left|
\sum_{k\in \bar{A}}\left( p_{k}-q_{k}\right) \right| $

\item  En d\'{e}duire que pour tout $A\in \mathcal{P}(\mathcal{K}),\mathcal{\;}$%
\begin{equation}
\left| P\left( A\right) -Q\left( A\right) \right| \le D\left( P\mathrm{;}%
Q\right)   \tag{(ii)}
\end{equation}
\ 

\item  Montrer que la partie \ $A=\left\{ k\;|\;k\in \mathcal{K}\text{ et }%
q_{k}\ge p_{k}\right\} $ r\'{e}alise l'\'{e}galit\'{e} dans $\left(
ii\right) $, c' est \`{a} dire que 
\[
\left| P\left( A\right) -Q\left( A\right) \right| =D\left( P\mathrm{;}%
Q\right) 
\]

\item  D\'{e}montrer la formule \ 
$$D\left( P\mathrm{;}Q\right) =1-\sum_{k \in \mathcal{K}} \left( \min(p_{k} ; q_{k})\right) .$$
\end{enumerate}



\end{document}