\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°11}
\lfoot{}
\cfoot{Devoir maison n°11}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 19 Février 2021}
\end{center}
\vspace{30pt}

\renewcommand{\P}{P}

\section*{Exercice 1 - Obligatoire pour les groupes 5 à 10}


On consid\`{e}re l'application
\[
f:\R  \rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto f\left(
x\right)  = x  e^{x^2-1}.
\]


\subsection*{Partie I : \'{E}tude et repr\'{e}sentation graphique de $f$}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ admet-elle une parité ? Qu'en déduit-on graphiquement ?

\item Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\R$. On
note $f^{\prime}$ sa fonction d\'{e}riv\'{e}e. Calculer $f^{\prime}\left(
x\right)  .$

\item En d\'{e}duire le sens de variation de $f$.

\item Dresser le tableau de variation de $f$, comprenant les limites de $f$ en $+\infty$ et $- \infty$.

\item Résoudre pour $x \in \R$, l'équation $f(x) - x = 0$

\item Résoudre pour $x \in \R$, l'inéquation $f(x) - x > 0$

\item Donnez le développement limité à l'ordre 1 de la fonction $f$ au point $x = 0$. 

\item Tracer l'allure de $C$. On pr\'{e}cisera la tangente au point d'abscisse
$0.$ On tracera sur le même graphique la droite d'équation $y = x$. 
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II : \'{E}tude d'une suite r\'{e}currente associ\'{e}e \`{a} $f.$}

On consid\`{e}re la suite r\'{e}elle $\left(  u_{n}\right)  _{n\in \mathbb{N}}$
d\'{e}finie par $u_{0} \in \R^+$ et, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n+1}=f\left(
u_{n}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $u_0 \in ]0;1[$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n} \in ]0;1[$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est alors décroissante. 
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. Déterminer sa limite. 
\end{enumerate}


%\item On suppose dans cette question que $u_0 =e$. 
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que pour tout $ x > 2$, $xe^{x^2 - 1} \geq x+1$. (On rappelle que $e \approx 2,7$). 
%\item \'{E}tablir, par r\'{e}currence :\qquad$\forall n\in \mathbb{N},\quad
%u_{n}\geq 2+n$.
%\item En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n \in \N}$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.
%\end{enumerate}

\item On suppose enfin que $u_0 > 1$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n$, $u_n > 1$. 
\item Déterminer la monotonie de la suite $(u_n)_{n \in \N}$. 
\item En déduire que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est divergente. 
\end{enumerate}

\item Dans cette question $u_0 = e$. \'{E}crire un programme Scilab qui calcule et affiche le plus
petit entier naturel $n$ tel que $u_{n}\geq10^{20}.$
\end{enumerate}


\section*{Exercice 2 - Obligatoire pour tous les groupes}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définie sur $]0; + \infty[$ par : 
$$
\forall x \in ]0; + \infty[, \quad f(x) = 2 - \dfrac{1}{2} \ln(x) \quad \text{et} \quad g(x) = f(x) - x.
$$
On considère aussi la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par : 
$$
u_0 = 1 \quad \text{et} \quad \forall n \in \N, \quad u_{n+1} = f(u_n)
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites suivantes : $\li_{x \tos 0} g(x)$ et $\li_{x \to +\infty} g(x)$. 
\item Calculer $g'(x)$ pour tout $x \in ]0; + \infty[$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur $]0 ; + \infty[$. 
\item Prouver que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$. On la note $\alpha$. 
\item Justifier que $\alpha \in [1, e]$ et $f(\alpha) = \alpha$. 
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0; + \infty[$ et préciser la monotonie de la fonction $f$. 
\item Démontrer par récurrence que : 
$$
\forall n \in \N, \quad 1 \leq u_n \leq e. 
$$
\item Vérifier que : 
$$
\forall x \in [1,e], \quad |f'(x)| \leq \dfrac{1}{2}.
$$
\item En déduire que :
$$
\forall n \in \N, \quad |u_{n+1} - \alpha | \leq \dfrac{1}{2} |u_n - \alpha |
$$
\item Démontrer par récurrence que : 
$$
\forall n \in \N, \quad | u_n - \alpha| \leq \dfrac{e - 1}{2^n} . 
$$
\item Prouver que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ converge et préciser sa limite. 
\item {\bf \'Etude Scilab.} 
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire une fonction Scilab prenant en argument d'entrée un nombre réel $x$ et permettant de calculer $f(x)$. 
\item \'Ecrire un script permettant de tracer avec Scilab la fonction $f$ entre $1$ et $e$. (On prendra un minimum de 1000 points pour tracer la courbe)
\item \'Ecrire une fonction Scilab prenant en argument d'entrée un entier $n$ et donnant le résultat de $u_n$. 
\item Démontrer que si $n = \left\lfloor \dfrac{\ln(10^5 (e-1))}{\ln(2)} \right\rfloor + 1$ alors $|u_n - \alpha | \leq 10^{-5}$. 
\item \'Ecrire un script permettant de déterminer (en utilisant la suite $(u_n)$) une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-5}$ près.  
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Obligatoire pour les groupes 1 à 4}


Soit $a$ un r\'{e}el strictement positif. On consid\`{e}re la fonction $f_{a}
$ d\'{e}finie pour tout r\'{e}el $t$ strictement positif par :

\begin{equation*}
f_a(t)=\dfrac 12(t+\dfrac{a^2}t)
\end{equation*}
ainsi que la suite $(u_n)_{n\epsilon \mathbb{N}}$ de nombre r\'{e}els d\'{e}%
termin\'{e}e par son premier terme $u_0>0$ et par la relation de r\'{e}%
currence : 
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N\qquad }u_{n+1}=f_a(u_n)
\end{equation*}

\subsection*{Etude des variations de la fonction $f_a$ .}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la limite de $f_a(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty $.
Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de $+\infty $ et
donner la position de la courbe repr\'{e}sentative de $f_a$ par rapport \`{a}
cette asymptote.

\item D\'{e}terminer la limite de $f_a(t)$ lorsque $t$ tend vers $0$ par
valeurs positives. Interpr\'{e}ter graphiquement cette limite.

\item Donner l'expression de la fonction d\'{e}riv\'{e}e de $f_a$ sur $%
\mathbb{R}^{*+}$ et dresser le tableau de variation de $f_a$.

\item En d\'{e}duire que : 
\begin{equation*}
\forall t>0\qquad f_{a}(t)\geq a
\end{equation*}
\end{enumerate}

\subsection*{Etude de la convergence de la suite $(u_n)_{n\protect \epsilon 
\mathbb{N}}$..}

\begin{enumerate}
\item Que dire de la suite $(u_n)_{n\epsilon \mathbb{N}}$ dans le cas
particulier o\`{u} $u_0=a$?

\item Dans la suite on revient au cas g\'{e}n\'{e}ral $u_0>0$.\newline
D\'{e}montrer que : 
\begin{equation*}
\forall t>a\qquad 0<f_a^{\prime }(t)<\frac 12
\end{equation*}

\item Montrer que pour tout entier $n$, non nul : 
\begin{equation*}
\left. u_{n}\geq a\right.
\end{equation*}

\item Prouver alors que pour tout entier $n$ non nul : 
\begin{equation*}
0\leq u_{n+1}-a\leq \dfrac{1}{2}\left( u_{n}-a\right)
\end{equation*}%
Puis que : 
\begin{equation*}
\left \vert u_{n}-a\right \vert \leq \left( \dfrac{1}{2}\right)
^{n-1}\left \vert u_{1}-a\right \vert
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire la convergence de la suite $(u_n)$ et indiquer sa
limite.

\item En utilisant ce qui pr\'{e}c\`{e}de, \'{e}crire un programme en
langage Scilab permettant d'afficher les $100$ premiers termes d'une suite $%
(u_n)$, de premier terme $1$, convergeant vers $\sqrt{2}$.
\end{enumerate}



\end{document}