\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°10}
\lfoot{}
\cfoot{Devoir maison n°10}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 10 Février 2021}
\end{center}
\vspace{30pt}

\renewcommand{\P}{P}

\section*{Exercice 1 - Obligatoire pour tout les groupes}

On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par :
\begin{center}
$u_0 = a$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n(2-u_n)$, 
\end{center}
où $a$ est un réel tel que $0 < a <1$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $f : x \to x(2-x)$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que , pour tout entier $n$, $0 < u_n < 1$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 
\item En déduire que la suite est convergente. Déterminer sa limite. 
\end{enumerate}
\item On considère la suite numérique $(v_n)_{n \in \N}$ définie sur $\N$ par :
\[ v_n = 1 - u_n \]
\begin{enumerate}
\item Exprimer pour tout entier $n$, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
\item En déduire (par récurrence), que pour tout $n \in \N$, on a $v_n = (1-a)^{2^n}.$
\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$. Retrouver la limite de la suite $(u_n)$. 
\end{enumerate}
\item On considère le temps de vie d'une machine à café. En sortant de l'usine (au temps $t=0$), la machine à café à une probabilité $a$ d'être cassé ($0 < a < 1$). On notera $A_n$ l'événement "la machine est cassé au temps $t=n$" et $p_n = p(A_n)$. Si la machine est cassé au temps $t= n$ elle reste cassé au temps $t = n+1$. Si la machine est en état de marche au temps $t=n$, elle a la probabilité $p_n$ d'être cassé au temps $t = n+1$. 
\begin{enumerate}
\item Calculez $p_1$.
\item \'Ecrire $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ (en justifiant votre résultat). 
\item En déduire $p_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n$. Que pensez vous de ce résultat ?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Obligatoire pour tous les groupes}

Soit $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ la suite d\'{e}finie par $u_{0}=1$ et
pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, $u_{n+1}=\ln \left( 1+u_{n}^{2}\right) $%
.\bigskip

\begin{enumerate}
\item  \'Ecrire un script Scilab permettant d'afficher le $n$ème terme de la suite $u_n$, $n$ étant donné par l'utilisateur. 

\item \'{E}tablir pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, l'encadrement
suivant : $0\leq u_{n}\leq 1$.\bigskip

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $\left[ 0,1%
\right] $, \`{a} valeurs r\'{e}elles, telle que $f\left( x\right) =\ln
\left( 1+x^{2}\right) -x$.\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$ puis d\'{e}terminer le
signe de $f\left( x\right) $ sur l'intervalle $\left[ 0,1\right] $.\medskip

\item En d\'{e}duire que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ est
d\'{e}croissante. \medskip

\item Montrer que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ est
convergente. \bigskip
\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}
\item Justifier pour tout r\'{e}el $x\geq 0$, l'in\'{e}galit\'{e} : $%
\ln \left( 1+x\right) \leq x$.\medskip\

\item Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, \'{e}tablir l'in\'{e}galit%
\'{e} : $u_{n+1}\leq u_{n}^{2}$.\medskip

\item En d\'{e}duire pour tout entier $n\geq 1$, l'in\'{e}galit\'{e} $%
u_{n}\leq \left( \ln 2\right) ^{n}$.\medskip\

\item  D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( u_{n}\right)
_{n\geq 0}$. \medskip

\item \'{E}tablir pour tout entier $n\geq 2$, l'in\'{e}galit\'{e} $%
\ds \sum\limits_{k=0}^{n-1}u_{k}\leq \dfrac{1-\left( \ln 2\right) ^{n}}{1-\ln 2}
$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\section*{Exercice 3 - Obligatoire pour les groupes 1 à 4}

Soit $a\in]0,+\infty[$. Soit de plus $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_0\in]0,+\infty[$ et, pour tout $n\in\N$,
$$u_{n+1}=\frac12\left(u_n+\frac a{u_n}\right).$$
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$. Montrer que $u_n$ existe bien et est strictement positif.
\item Soit l'application $f:]0,+\infty[\to\R$, $x\mapsto\ds\frac12\left(x+\frac ax\right)$. Montrer que pour tout $x\in]0,+\infty[$, on a $f(x)\geq\sqrt{a}$.
\item\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in\N^\star$, $u_n\geq\sqrt{a}$.
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est monotone à partir du rang 1.
\item En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\in[\sqrt{a},+\infty[$.
\item Déterminer $\ell$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$. Montrer que $\ds\frac{u_{n+1}-\sqrt{a}}{u_{n+1}+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}\right)^2.$
\item Soit $n\in\N$. Montrer que $\ds\frac{u_{n}-\sqrt{a}}{u_{n}+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{document}