\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°1}
\lfoot{}
\cfoot{Généralités sur les fonctions.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Mercredi 23 Septembre.}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1}
Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item
$\sqrt{x^2-2x+5}=x-3$
\item
$\frac{1}{x-1}<\frac{2}{x+3}$
\item 
$e^x \geq x + 1$
\item $|2x+1| + |x -2 | = 4$. 
\end{qmulti}

\section*{Exercice 2}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$$\forall x\in\R,\ f(x)=(x^2-x-1)e^x+e$$
On admet que $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0$

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.
\item Étudiez le signe du trinôme $x^2+x-2$.
\item Déterminez $a$, $b$ et $c$ tel que $f(x) = x^2 \left( a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2} \right) e^x + e$. 
\item En déduire $\li_{x \to + \infty} f(x)$. 
\item Déterminer le tableau de variations de $f$. 
\item En déduire que $\forall x\in\R,\ f(x)\geq 0$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
On considère la fonction $f(x)=\ln\pare{e^x+e^{-x}}$.

\begin{enumerate}
\item
Déterminer le domaine de définition de $f$.
\item
Montrer que $f$ est paire.
\item
Tracer le tableau de variations de $f$. 
\item
Montrer que $\forall x \in \R, f(x) - x = \ln(1 + e^{-2x})$.
\item
En déduire $\li_{x \to + \infty} f(x) - x$ et $\li_{x \to - \infty} f(x) - x$. 
\item 
Montrer que : $\forall x\in\R, f(x)>x$.
\item
Résoudre l'inéquation $f(x)<x+1$.
\item
Tracer sur un même graphique les courbes représentatives de $f$, $y=x$ et $y=x+1$.
\end{enumerate}


\end{document}