\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{2C}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{SIGMA n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
%{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

\bigskip\bigskip

{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA n°2C 2020}}

%\bigskip

{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

\bigskip

{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Jeudi 9 Janvier 2020 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}
\\

\vspace{40pt}
\hrule

\vspace{40pt}
{\bf
Important : Vous devez faire un et un seul exercice du même thème, c'est-à-dire portant le même numéro (exemple Exercice 1A ou Exercice 1B). Si deux exercices sont fait, un des deux ne sera pas corrigés. \\

Indiquez bien à chaque fois sur votre copie le numéro de l'exercice traité. 
}

\newpage

\section*{Exercice 1 - Manipuler les racines carrées}

{\bf Exercice 1A (cours)} \\
Résoudre l'équation et l'inéquation suivante : 
\begin{qmulti}{2}
\item $\sqrt{x-4} = 2$
\item $\sqrt{x^2+1} \geq 1$
\end{qmulti}

{\bf Exercice 1B (Application)} \\
\begin{enumerate}
 \item  Résoudre l'inéquation : $\sqrt{x^2-1} \geq 3$
 \item Résoudre l'inéquation : $\sqrt{x + 5} \geq -2$
 \item Simplifiez l'expression suivante en utilisant la quantité conjuguée : $$
 A = \dfrac{x^2}{x - \sqrt{x^2+2}}
 $$ 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Résoudre une équation}

{\bf Exercice 2A (cours)} \\
 Résoudre les équations suivantes.
 
 \begin{qmulti}{2}
 \item $\dfrac{x+3}{3x-4} = 1$
 \item $4x^2 - 4x +1 = 0$
 \end{qmulti}
  
{\bf Exercice 2B (Application)} \\
  Résoudre les équations suivantes.
 \begin{qmulti}{2}
 \item $ x^3 - 4x^2 + 4x = 0$
 \item $ x \ln(x+3) = x$
 \end{qmulti}

\section*{Exercice 3 - Utiliser les formules de $\ln$ ou de $\exp$}

{\bf Exercice 3A (cours)} \\
Résoudre les équations suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $\ln(x+4) + \ln(x-4) = 0$
\item $e^{2x} +2e^x - 3 = 0$ 
\end{qmulti}
  
{\bf Exercice 3B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item Simplifier les expressions suivantes:
\begin{qmulti}{3}
\item $A = e^{-3 \ln(4)}$.
\item $B = \ln(\sqrt{e^4}) - \ln(\sqrt{e})$.
\item $C = \ln(\sqrt{\exp(- \ln(e^2))})$.
\end{qmulti}
\item Résoudre l'équation suivante  : $e^{2x} +2e^x - 3 = 0$ 
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 4 - Tracer des courbes}

{\bf Exercice 4A (cours)} \\
Tracer sur un même graphique les courbes d'équations
\begin{qmulti}{3}
\item $y = -2$
\item $y = -2x +3$
\item $y = e^x$
\end{qmulti}

{\bf Exercice 4B (Application)} \\
Tracer sur un même graphique les courbes d'équations
\begin{qmulti}{3}
\item $y = 3x +1$
\item $y = x^2 -4x +3$
\item $y = \dfrac{1}{x}$
\end{qmulti}

\section*{Exercice 5 - Manipuler des valeurs absolues}

{\bf Exercice 5A (cours)} \\
Résoudre dans $\R$ les équations ou inéquations suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $ |x+1| = 1$
\item $ |x +4| - | 1 - 2x| =  2$.
\item $|x| >3$
\end{qmulti}

{\bf Exercice 5B (Application)} \\
Résoudre dans $\R$ les équations ou inéquations suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $|x| >3$
\item $|4x-2| < |x+3|$
\item $|x^2 - 4| = |2x -1|  $
\end{qmulti}

\section*{Exercice 6 - Montrer qu'une suite est minorée ou majorée}

{\bf Exercice 6A (cours)} \\
Soit $u$ la suite telle que $u_0 = 2$ et : $\forall n \in \N, u_{n+1} \geq 3 u_n$. Montrer par récurrence que : $ \forall n \in \N, \; u_n \geq 2 \times 3^n$. \\

{\bf Exercice 6B (Application)} \\
On considère une suite $(u_n)$ vérifiant $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \ln(4+u_n)$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est bien définie et est minorée par $1$. 
\item On considère que la suite $(u_n)$ vérifie l'inégalité 
$$
\forall n \in \N, \; \left| u_{n+1} - 2 \right| \leq \dfrac{1}{4} \left| u_n - 2 \right|
$$
Montrer par récurrence que l'on a 
$$
\forall n \in \N, \; |u_n - 2 | \leq \left( \dfrac{1}{4} \right)^n 
$$
\end{enumerate}

\section*{Exercice 7 - Déterminer la probabilité d'une union finie.}

{\bf Exercice 7A (cours)} \\
Dans une urne, il y a 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire successivement 3 boules avec remise dans cette urne on note les évènements $A_i$ : " Tirer la boule \no 5 au $i^{\`eme}$ lancer". On définit enfin les évènements $B_i$ : "On obtient au moins une boule \no 5 lors des $i$ premiers lancers". Calculez $P(B_1)$, $P(B_2)$ et $P(B_3)$. 

\newpage
{\bf Exercice 7B (Application)} \\
On considère l'expérience aléatoire consistant à effectuer $n$ lancers d'un dé à 4 faces. 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $C$ : "On obtient un 4 au premier et au dernier tirage"
\item On considère les évènements $D$: "Les tirages $1$ et $2$ amènent chacun un 4", $E$: "Les tirages $2$ et $3$ amènent chacun un 4" et $F$: "Les tirages $3$ et $4$ amènent chacun un nombre inférieur ou égal à 4". Calculer la probabilité qu'au moins un de ces évènements soient réalisés. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 8 - Déterminer la probabilité d'une intersection finie. }

{\bf Exercice 8A (cours)} \\
Dans une urne, il y a 3 boules vertes et 7 boules rouge. On tire 2 boules l'une après l'autre. 
\begin{enumerate}
\item On remet la boule tirée dans l'urne. Calculez la probabilité que les 2 boules tirées soient vertes. 
\item On ne remet pas la boule tirée dans l'urne. Calculez la probabilité que les 2 boules tirées soient vertes.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 8B (Application)} \\
On considère l'expérience aléatoire consistant à effectuer $3$ tirages dans une urne contenant 2 boules noires et 3 boules rouges. On suppose que les tirages se font sans remise. Quelle succession de couleurs a-t-on le plus de chance d'obtenir ; R-N-R ou N-R-N ?

\section*{Exercice 9 - Inverser une matrice en utilisant une formule.}

{\bf Exercice 9A (cours)} \\

\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice $A = \begin{pmatrix}
1 & 3 \\
1 & -2 
\end{pmatrix} $ est inversible et déterminer $A^{-1}$.
\item Montrer que la matrice $B = \begin{pmatrix}
1 & 3 \\
-2 & -6 
\end{pmatrix} $ n'est pas inversible.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 9B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\
-1 & 0 & -1\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}$. 
Calculer  $A^{2}-A$. En déduire que la matrice $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
\item On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$. Calculer $B^2 - 3B$. En déduire que $B$ n'est pas inversible. 
\end{enumerate}


\section*{Exercice 10 - Manipuler une inégalité mettant en jeu une somme.}

{\bf Exercice 10A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \geq 0$, $e^x \geq 1 + x$
\item En déduire que $\ds \sum_{k=0}^n e^k \geq \dfrac{(n+2)(n+1)}{2}$. 
\end{enumerate}

\newpage
{\bf Exercice 10B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \geq 2$, $\dfrac{1}{x^2} \leq \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x}$ 
\item En déduire que $ \ds \sum_{k= 1}^{n} \dfrac{1}{k^2} \leq 2- \dfrac{1}{n}$.
\end{enumerate}


\section*{Exercice 11 - Calculer des probabilités à l'aide du dénombrement.}

{\bf Exercice 11A (cours)} \\

On lance deux fois de suite un dé à 6 faces équilibré.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un double (2 fois le même numéro) ?
\item Quelle est la probabilité que la somme des numéros obtenus soit égale à 6 ?
\item Quelle est la probabilité que le produit des numéros obtenus soit égale à 12 ?
\end{enumerate}

\vspace{10pt}
{\bf Exercice 11B (Application)} \\

On considère une urne contenant 4 boules numéro 1, 4 boules numéro 2, 4 boules numéro 3 et 4 boules numéro 4 (L'urne contient donc 16 boules au total). 
\begin{enumerate}
\item On tire 3 fois avec remise dans cette urne:
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois le numéro 3 ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois le même numéro ?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces numéro soit le 3 ?
\end{enumerate}
\item On tire 3 fois sans remise dans cette urne:
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois le numéro 3 ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois le même numéro ?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces numéro soit le 3 ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\section*{Exercice 12 - Déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète finie.}

{\bf Exercice 12A (cours)} \\
On considère une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs 0,1,2 ou 3. On donne 
$$ P(X = 0) = \dfrac{1}{6} \quad \text{et} \quad P(X = 1) =\dfrac{1}{2} .$$
\begin{enumerate}
\item Sachant que les événements $(X = 2)$ et $(X = 3)$ sont équiprobables, déterminer $P(X = 2)$ et $P(X = 3)$.
\item Donner la loi de $X$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 12B (Application)} \\
On tire successivement 2 dés à 6 faces. On note $X$ la valeur absolue de la différence des deux numéros obtenus.
\begin{enumerate}
\item Donner $X(\Omega)$ et la loi de $X$.
\item Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
\end{enumerate}

{\it On donne les résultats suivants : $18^2 = 324$, $29^2 = 841$ et $105 \times 18 = 1890$}
 

\section*{Exercice 13 - Reconnaitre une loi uniforme, de Bernoulli, Binomiale.}

{\bf Exercice 13A (cours)} \\
On tire successivement et avec remise 6 cartes d'un paquet de 32 cartes. Dans les cas suivants, déterminer en le justifiant la loi de $X$, son espérance et sa variance. 
\begin{enumerate}
\item On note $X$ le nombre de valets obtenus. 
\item On note $X$ la variable aléatoire valant 1 si l'on a que des figures (rois, dames et valets) et 0 sinon. 
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers. 
\item On note $X$ la variable aléatoire valant $1$ si un coeur tombe, $2$ si un carreau tombe, $3$ si un trèfle tombe et $4$ si un pique tombe. 
\end{enumerate}

{\bf Exercice 13B (Application)} \\
Une grenouille se déplace sur un axe gradué. Elle commence sur la case 0. Elle peut 
\begin{itemize}
\item Se déplacer de $+2$ cases avec probabilité $1/2$.
\item Rester sur la même case avec probabilité $1/6$.
\item Reculer d'une case (faire -1).  
\end{itemize}
On suppose que les sauts sont indépendants les uns des autres. 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la grenouille recule d'une case ?
\item Dans cette question, on observe $n$ sauts de la grenouille et on note $X_n$ le nombre de fois ou la grenouille a sauté de deux cases en avant. Quelle est la loi de $X_n$? En déduire l'espérance et la variance de $X_n$.
\item On note $Y_n$ le nombre de fois ou la grenouille est resté sur la même case. Quelle est la loi de $Y_n$ ? En déduire l'espérance et la variance de $Y_n$.
\item On note $Z_n$ la variable aléatoire égale à la position où est arrivée la grenouille. Exprimer $Z_n$ en fonction de $X_n$ et de $Y_n$. En déduire l'espérance de $Z_n$.  
\end{enumerate}

\section*{Exercice 14 - Résoudre un système linéaire.}

{\bf Exercice 14A (cours)} \\
Résoudre  les systèmes suivants 
\begin{qmulti}{2}
\item $\quad\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&4y& 1\\
x&+&3y&3
\end{array}\right.$
\item $\quad\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&y& 0\\
6x&+&3y&0
\end{array}\right.$
\end{qmulti}


{\bf Exercice 14B (Application)} \\
Résoudre les systèmes suivants :
\begin{qmulti}{2}
\item
$\quad\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&y&-&2z& 1\\
2x&+&3y&-&z& 2\\
2x&-&y&+&2z& 0
\end{array}\right.$


\item

$\quad\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&3y&-&2z& 0 \\
x&+&2y&-&3z& 0 \\
3x&+&4y&-&z& 0
\end{array}\right.$
\end{qmulti}

\newpage

\section*{Exercice 15 - Inverser une matrice.}

{\bf Exercice 15A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item Inverser la matrice $A = \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$ en utilisant les opérations élémentaires sur les lignes. 
\item  Montrer que la matrice $B={\begin{pmatrix}{4} & {-2} & {1}\\
{2} & {1} & {1}\\
{10} & {-7} & {2}
\end{pmatrix}}$ n'est pas inversible.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 15B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la matrice $B={\begin{pmatrix}{4} & {-2} & {1}\\
{2} & {1} & {1}\\
{10} & {-7} & {2}
\end{pmatrix}}$ n'est pas inversible.
\item  Montrer que la matrice $C={\begin{pmatrix}{2} & {-3} & {2}\\
{1} & {2} & {-1}\\
{1} & {-1} & {1}
\end{pmatrix}}$ est inversible et déterminer $C^{-1}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 16 -  Montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle.}

{\bf Exercice 16A (cours)} \\
Déterminer sur quel intervalle les fonctions suivantes sont continues.
\begin{qmulti}{2}
\item $f_1 (x) = \ln(1+e^x)$
\item $f_2(x) = \begin{cases}
\dfrac{\ln(1+x)}{x} & si\: x \neq 0 \\
1 &  si\: x = 0
\end{cases}$
\end{qmulti}

{\bf Exercice 16B (Application)} \\
Déterminer sur quel intervalle les fonctions suivantes sont continues.
\begin{qmulti}{2}
\item $f_3 (x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x^2 +1}$ 
\item $f_4 (x) = \ln(4x^2 - 3x - 1)$
\item $f_5(x) = \begin{cases}
\dfrac{\exp(x^3) - 1}{x} & si\: x \neq 0 \\
0 &  si\: x = 0
\end{cases}$
\end{qmulti}

\end{document}