\input{../preambules/preDS.tex}

\usetikzlibrary{shapes}

\newcommand{\Pro}{\text{P}}
%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{2B}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{SIGMA n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
%{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

\bigskip\bigskip

{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA n°2B 2020}}

%\bigskip

{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

\bigskip

{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Jeudi 9 Janvier 2020 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}
\\

\textit{Il est conseillé de rédiger chaque exercice sur une copie différente.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage

\section*{Exercice 1 - Inspiré EDHEC 1995}
$p$ désigne un réel élément de $]0,1[$. On pose $q=1-p$.\\
Un mobile se déplace sur un axe d'origine $O$; à chaque instant, il est soit en $O$, soit en $A$ d'abscisse 1, soit en $B$ d'abscisse $-1$.\\
Si à un instant donné, il est en $O$, alors, à l'instant suivant, il sera en $A$ avec la probabilité $p$ ou en $B$ avec la probabilité $q$.\\
Si à un moment donné, il est en $A$ ou en $B$, alors, à l'instant suivant, il sera à coup sûr en $O$.\\
On suppose qu'à l'instant 0, le mobile est en $O$.\\
Pour tout entier naturel $n$ et pour tout $i\in\{-1,0,1\}$, on note $E_{n,i}$ l'événement: \og à l'instant $n$, le mobile est au point d'abscisse $i$\fg.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\Pro(E_{n,i})$ pour tout $n\in\llbracket 0,1 \rrbracket$ et pour tout $i\in\{-1,0,1\}$.
\item\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$. Pour tout couple $(i,j)$ d'éléments de $\{-1,0,1\}$, calculer
$$\Pro_{E_{n,j}}(E_{n+1,i}).$$
\item En déduire que pour tout $n\in\N$
\begin{align*}
&\Pro(E_{n+1,-1})=q\Pro(E_{n,0}),\\
&\Pro(E_{n+1,0})=\Pro(E_{n,-1})+\Pro(E_{n,1}),\\
&\Pro(E_{n+1,1})=p\Pro(E_{n,0}).
\end{align*}
\end{enumerate}
\noindent Pour $n\in\N$, on pose $U_n=\begin{pmatrix}\Pro(E_{n,-1})\\\Pro(E_{n,0})\\\Pro(E_{n,1}) \end{pmatrix}$.
\item\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$. Justifier que $U_{n+1}=MU_n$ où M est une matrice carrée réelle d'ordre 3 que l'on précisera.
\item Montrer que pour tout $n\in\N$, $U_n=M^nU_0$.
\item En déduire un script Scilab demandant à l'utilisateur d'entrer $n$, $p$ et $q$ et affichant la matrice $U_n$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $Q=\begin{pmatrix}q & 1 & q \\ -1 & 0 & 1 \\ p & -1 & p \end{pmatrix}$.\\
Montrer que $Q$ est inversible et déterminer $Q^{-1}$.\\
Soit $D=\begin{pmatrix}-1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 &0 &1 \end{pmatrix}$.
\item Montrer que $M=QDQ^{-1}$.
\item Montrer que pout tout $n\in\N$, $M^n=QD^nQ^{-1}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Donner, pour tout $n\in\N$, la valeur de $\Pro(E_{n,-1})$, $\Pro(E_{n,0})$ et $\Pro(E_{n,1})$.
%\begin{align*}
%&\Pro(E_{n,-1})=q\frac{1-(-1)^n}2\\&\Pro(E_{n,0})=\frac{1+(-1)^n}2\\&\Pro(E_{n,1})=p\frac{1-(-1)^n}2
%\end{align*}
\item Calculer $\Pro(E_{2n,0})$. Aurait-on pu prévoir ce résultat?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage 
\section*{Exercice 2}
Soit $a$ et $b$ des réels avec $0<a<b$. Soit $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ deux suites définies par $u_0=a$, $v_0=b$ et, pour tout $n\in\N$,
\vspace{-5pt}$$u_{n+1}=\frac{u_n^2}{u_n+v_n}\text{ et }v_{n+1}=\frac{v_n^2}{u_n+v_n}.$$
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$. Montrer que $u_n$ et $v_n$ existent bien et que $u_n$ et $v_n$ sont deux réels strictement positifs.
\item \'Ecrire un script Scilab demandant à l'utilisateur les variables $n$, $a$ et $b$ et affichant les valeurs de $u_n$ et $v_n$.
\item Soit $n\in\N$, On pose $\ds x_n=\frac{u_n}{v_n}$ et $y_n=u_n-v_n$.\begin{enumerate}
\vspace{-5pt}\item Soit $n\in\N$. Montrer que $\ds x_n=\left(\frac ab\right)^{2^n}$.
\item Montrer que la suite $(y_n)_{n\in\N}$ est constante.
\end{enumerate}
\item \'Etudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.
. 
\item Soit $x\in]0,1[$. On suppose ici que $a=x$ et $b=1$.\\
Soit $n\in\N$. On note $\ds P_n=\prod_{k=0}^n\left(1+x^{2^k}\right)$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $k\in\llbracket0,n\rrbracket$. Calculer $\ds\frac{v_k}{v_{k+1}}$ en fonction de $k$ et $x$.
\item En déduire une expression de $P_n$ en fonction de $v_{n+1}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newcommand{\lb}{\llbracket}
\newcommand{\rb}{\rrbracket}


\section*{\textsc{Probléme } - \'Evolution des intentions de vote}


Dans une élection à venir, deux candidats $A$ et $B$ se présentent. Un groupe d'électeurs est composé de $m$ individus, avec $m\geq 2$. 

Initialement, au jour appelé << jour~$0$ >>, le nombre d'individus préférant le candidat $A$ vaut $a$ (il y en a donc $m-a$ préférant le candidat $B$).
Ensuite, chaque jour, un des individus au hasard dans le groupe en rencontre un autre, au hasard également, et il lui parle des élections. Si leurs intentions de vote différent, il le convainc de voter comme lui.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $X_{n}$ le nombre d'individus du groupe ayant l'intention de voter pour le candidat $A$ le soir du $n$-ième jour. Ainsi, $X_{n}$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\lb 0,m\rb$.

On remarque que $X_{0}$ est une variable aléatoire certaine : $P(X_{0}=a)=1$.




\subsection*{Partie I -\  Un cas particulier : $m=4$ - Inspiré ESSEC 2011}


Dans cette partie, on étudie le cas d'un groupe formé de quatre électeurs. 



\begin{enumerate}
\item Soit $i$ et $j$ deux entiers dans $\lb 0,4\rb$. On note $p_{i,j}$ la probabilité pour qu'il y ait exactement $j$ personnes dans le groupe ayant l'intention de voter pour $A$ un jour donné, sachant qu'il y en avait $i$ la veille. C'est à dire 

\begin{enumerate}
\item Justifier : $p_{0,0}=p_{4,4}=1$.
\item Justifier : si $i$ et $j$ dans $\lb 0,4\rb$ sont tels que $\abs{i-j}\geq 2$, alors $p_{i,j}=0$.
\item \'Etablir : $\ds p_{1,0}=p_{1,2}=\frac{1}{4}$ et $\ds p_{{1,1}}=\frac{1}{2}$.

\item De la même fa\c con, donner pour tout $(i,j)\in\lb 0,4\rb^{2}$ la probabilité $p_{i,j}$.

On présentera les résultats sur le diagramme suivant, à reproduire et à compléter, et on justifiera quelques cas.



\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=stealth,x=2.5cm,y=4.0cm]

\node[draw,diamond,aspect=1] (Z0) at (0,0) {0};

\node[draw,diamond,aspect=1] (Z1) at (1,0) {1};
\node[draw,diamond,aspect=1] (Z2) at (2,0) {2};
\node[draw,diamond,aspect=1] (Z3) at (3,0) {3};
\node[draw,diamond,aspect=1] (Z4) at (4,0) {4};
\draw[->] (Z0) to[out=25, in=155] (Z1);
\draw[->] (Z1) to[out=25, in=155] (Z2);
\draw[->] (Z2) to[out=25, in=155] (Z3);
\draw[->] (Z3) to[out=25, in=155] (Z4);
\draw[->] (Z4) to[out=-155, in=-25] (Z3);
\draw[->] (Z3) to[out=-155, in=-25] (Z2);
\draw[->] (Z2) to[out=-155, in=-25] (Z1);
\draw[->] (Z1) to[out=-155, in=-25] (Z0);

\draw[->] (Z1) to[out=-55,in=-125,loop] (Z1);
\draw[->] (Z2) to[out=-55,in=-125,loop] (Z2);
\draw[->] (Z3) to[out=-55,in=-125,loop] (Z3);
\draw[->] (Z0) to[out=-145, in=145,loop] (Z0);
\draw[->] (Z4) to[out=35, in=-35,loop] (Z4);
\draw (1,-0.32) node{\small $1/2$};
\draw (1.5,0.17) node{\small $1/4$};
\draw (0.5,-0.17) node{\small $1/4$};
\draw (-0.48,0) node{\small $1 $};
\draw (4.48,0) node{\small $1 $};




\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{enumerate}

\item On définit la matrice { $M=\begin{pmatrix}
1/2& 1/3&0\\
1/4& {1}/{3}& {1}/{4}\\
0&{1}/{3}& {1}/{2}
\end{pmatrix}$}, et pour tout entier naturel $n$, la matrice colonne~$U_{n}=\begin{pmatrix}
P(X_{n}=1)\\
P(X_{n}=2)\\
P(X_{n}=3)\\
\end{pmatrix}$.

Pour tout entier naturel $n$, établir la relation : $U_{n+1}=MU_{n}$.

En déduire pour tout entier naturel $n$, l'égalité  $U_{n}=M^{n}U_{0}$.

\end{enumerate}



\subsection*{Partie II -\  Le cas général}


On revient dans cette partie au cas général d'un groupe de $m$ électeurs.
	
On note $\pi_{n,k}=P(X_{n}=k)$, la probabilité pour qu'il y ait exactement $k$ électeurs envisageant de voter pour $A$ à l'issue du $n$-iéme jour.


\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel.

\begin{enumerate}
\item établir les trois relations :
$$\ds \forall k\in\lb 0,m-1\rb,\quad P_{(X_{n}=k)}(X_{n+1}=k+1)=\frac{k(m-k)}{m(m-1)}\ ;$$
$$\ds \forall k\in\lb 1,m\rb,\quad P_{(X_{n}=k)}(X_{n+1}=k-1)=\frac{k(m-k)}{m(m-1)}\ ;$$
$$\ds \forall k\in\lb 1,m-1\rb,\quad P_{(X_{n}=k)}(X_{n+1}=k)=1-\frac{2k(m-k)}{m(m-1)}\ .$$



\item En déduire la relation, si $k\in\lb 1,m-1\rb$ :

\smallskip

{\small $ \ds\pi_{n+1,k}=\frac{(k-1)(m+1-k)\pi_{n,k-1}+[m(m-1)-2k(m-k)]\pi_{n,k}+(k+1)(m-1-k)\pi_{n,k+1}}{m(m-1)}.$}


\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ et pour tout $k\in\lb 1,m-1\rb$,
$$\ds \pi_{n,k}\leq \left(\frac{m(m-1)-2}{m(m-1)}\right)^{n}.$$

\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n}=X_{n+1}-X_{n}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier : $Z_{n}(\Omega)=\{-1,0,1\}$.
\item  Exprimer $P(Z_{n}=1)$ en fonction des probabilités $\pi_{n,k}$ avec $k\in\lb 1,m-1\rb$.
\item Comparer $P(Z_{n}=-1)$ et $P(Z_{n}=1)$.
\item En déduire que $E(Z_{n})=0$.
\item Montrer que la suite $\Big(E\left(X_{n}\right)\Big)_{n\in \N}$ est constante  et déterminer cette constante en fonction de $a$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}