\input{../preambules/preDS.tex}

\renewcommand{\P}{P}
%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{2A}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{SIGMA n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
%{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

\bigskip\bigskip

{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA n°2A 2020}}

%\bigskip

{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

\bigskip

{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Lundi 6 Janvier 2020 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}
\\

\textit{Il est conseillé de rédiger chaque exercice sur une copie différente.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage

\section*{Exercice 1 - Inspiré ECRICOME 2018}
\subsection*{Partie I}
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ la matrice de ${\cal M}_3(\R)$ donnée par : \quad $A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\0&3&0\\1&-1&5\end{pmatrix}$ 
\begin{enumerate}
\item Calculer $A^2-7A$.
\item Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse. 
\item Résoudre l'équation $X^2 - 7X +12 = 0$. 
\item Soit $X = \vect{x}{y}{z}$. Déterminer les solutions des systèmes suivants :
\begin{align*}
E_3 : (A - 3I_3)X = 0 \Longleftrightarrow \begin{cases}
-x + y - 2z &= 0 \\
0 & = 0 \\
x - y + 2z & = 0
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
E_4 : (A - 4I_3) X = 0
\end{align*}
\end{enumerate}
\item On considère désormais les matrices : \quad $B=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-3&3&-3\\ -1&1&1\end{pmatrix}$ et $
P=\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
-1 &1 & 0\\
-1 &0 &1
\end{pmatrix} $
\begin{enumerate}
\item La matrice $B$ est-elle inversible. Déterminer son inverse le cas échéant. 
\item Montrer que $P$ est inversible et déterminer son inverse. 
\item Montrer que $D_2=P^{-1} \ B \ P$ est égale à $\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}$,
\item Montrer que la matrice $D_1=P^{-1}\ A \ P$ est également diagonale.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{Partie II} 
\par \medskip \noindent
On pose $X_0=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}$, $X_1=\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}$, et pour tout entier naturel $n$ : \quad $X_{n+2}=\dfrac16 A X_{n+1} +\dfrac16 B X_n$.\\
Soit $(Y_n)_{n \in \N}$ la suite matricielle définie par : \quad $\forall n \in \N, \quad Y_n=P^{-1} X_n$. 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que : \qquad $\forall n \in \N \qquad Y_{n+2} = \dfrac16 D_1 Y_{n+1}+\dfrac16 D_2 Y_n$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $Y_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\\c_n\end{pmatrix}$.\\
Déduire de la question précédente que :
$$\forall n \in \N \qquad \left\{\begin{array}{ll}
a_{n+2}&= \dfrac12 \ a_{n+1}+\dfrac12 \ a_n\\
&\\
b_{n+2}&=\dfrac12\  b_{n+1}\\
&\\
c_{n+2}&=\dfrac23 \ c_{n+1}+\dfrac13 \ c_n
\end{array}
\right.
$$
\item Calculer les matrices $Y_0$ et $Y_1$.
\item Pour tout entier naturel $n$, calculer $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire l'expression de $X_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.\\
On notera $X_n=\begin{pmatrix}\alpha_n\\\beta_n\\\gamma_n\end{pmatrix}$, et on vérifiera que :
$$\beta_n =\left(\dfrac12\right)^{n-1}-\dfrac23 \left(-\dfrac12\right)^{n}-\dfrac43$$
\item 

\begin{enumerate}
\item Compléter le script ci-dessous qui demande d'entrer un entier $n$ supérieur ou égal à $2$ et qui renvoie la matrice $X_n$ :
\begin{verbatim}
n = ................
Xold=[3;0;-1]
Xnew=[3;0;-2]
A= ................. // Ecrire la matrice A
B= ................. // Ecrire la matrice B
for i=2:n
    Aux= ................
    Xold=................
    Xnew=..............
end
res=..........
disp(res)
\end{verbatim}
\item La fonction précédente a été utilisée dans un script permettant d'obtenir graphiquement (voir figure 1) les valeurs de $\alpha_n$, $\beta_n$ et $\gamma_n$ en fonction de $n$.\\
Associer chacune des trois représentations graphiques à chacune des suites $(\alpha_n)_{n\in \N}$, $(\beta_n)_{n\in \N}$
, $(\gamma_n)_{n\in \N}$ en justifiant votre réponse.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm,height=10cm]{graph_exo1.pdf}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - ECRICOME 2013 ECT}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R_+^*$ par :
$$
\forall x \in \R_+^*, \quad f(x) = 2x + \dfrac{3\ln(x)}{x^2}
$$
$$
\forall x \in \R_+^*, \quad g(x) = 2x^3 -6 \ln(x) + 3
$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$. 

\subsection*{I- \'Etude du signe de $g$}
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ lorsque $x \in \R_+^*$. 
\item Déterminer $a,b,c$ tel que $x^3 - 1 = (x-1)(ax^2 + bx +c)$.  
\item En déduire que l'équation $g'(x) = 0$ admet une unique solution $p$ que l'on précisera.
\item Calculer $\li_{x \to 0} g(x)$ et $\li_{x \to +\infty} g(x)$. 
\item Construire le tableau de variation de $g$. 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ lorsque $x \in \R_+^*$.  
\end{enumerate}

\subsection*{II- Représentation graphique de $f$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction continue sur $\R_+^*$.
\item La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ?  
\item Déterminer que : $\forall x \in \R_+^*, \quad f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$. 
\item Déterminer les limites $\li_{x\tos 0} f(x)$ et $\li_{x \to +\infty} f(x)$. 
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R_+$.
\item On note $a= \li_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ et $b = \li_{x \to + \infty} f(x) - ax$. Calculer $a$ et $b$. 
\item On note $(D)$ la droite d'équation $y = ax + b$. Déterminer quand la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessous de $(D)$.
\item Tracer sur un même dessin la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $(D)$.
\end{enumerate}

\subsection*{III- \'Etude d'une équation.}
Soit $n \geq 1$ un entier naturel non nul, on considère l'équation 
$$
(E_n) : f(x) = 2n
$$
\begin{enumerate}
\item Prouver que l'équation $(E_n)$ admet une unique solution (que l'on ne cherchera pas à calculer). On note $x_n$ cette solution. 
\item Calculer puis classer par ordre croissant les réels $f(x_n)$, $f(1)$ et $f(n)$. En déduire l'encadrement :
$$
\forall n \geq 1, \quad 1 \leq x_n \leq n.
$$
\item Justifier que : $\forall n \geq 1, \; 1 - \dfrac{x_n}{n} = \dfrac{3\ln(x_n)}{2n (x_n)^2}$.
\item Prouver que : $\forall n \geq 1, \; 0 \leq \dfrac{\ln(x_n)}{n (x_n)^2} \leq \dfrac{\ln(n)}{n}$. 
\item En utilisant le théorème des gendarmes, déduire $\li_{n \to + \infty} \dfrac{x_n}{n}$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - ECRICOME 2017}
Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
On effectue une série illimité de tirages d'une boule avec remise dans une urne contenant $n$ boules numérotées de 1 à $n$. Pour tout entier naturel $k$ non nul, on note $X_k$ la variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue au $k$-ième tirage.\\
Pour tout entier naturel $k$ non nul, on note $S_k$ la somme des numéros des boules obtenues lors des $k$ premiers tirages :
	$$S_k=\sum_{i=1}^k X_i.$$
	On considère enfin la variable aléatoire $T_n$ égale au nombre de tirages nécessaires pour que, pour la première fois, la somme des numéros des boules obtenues soit supérieure ou égale à $n$.\\
	
\underline{Exemple} : avec $n=10$, si les numéros obtenus aux cinq premiers tirages sont dans cet ordre $2,4,1,5,9$, alors on obtient : $S_1=2,~ S_2=6,~ S_3=7,~ S_4=12,~ S_5=21$ et $T_{10}=4$.

\subsection*{Partie A - \'Etudes de cas particuliers}

\begin{enumerate}
	\item Pour $k\in\N^*$, déterminer la loi de $X_k$ ainsi que son espérance.
	\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer $T_n(\Omega)$.
		\item Calculer $\P(T_n=1)$.
		\item Montrer que :
			$$\P(T_n=n)=\left(\dfrac1n\right)^{n-1}.$$
	\end{enumerate}
	\item Dans cette question, $n=2$. Déterminer la loi de $T_2$.
	\item Dans cette question, $n=3$. Donner la loi de $T_3$. Vérifier que $E(T_3)=\dfrac{16}9$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B - \'Etude de l'espérance dans le cas général}

\begin{enumerate}
	\item Déterminer $S_k(\Omega)$ pour tout $k\in\N^*$.
	\item Soit $k\in\llbracket1, n-1\rrbracket$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $S_{k+1}$ en fonction de $S_k$ et de $X_{k+1}$.
		\item En utilisation un système complet d'événements lié à la variable aléatoire $S_k$, démontrer alors que :
			$$\forall i\in\llbracket k+1, n\rrbracket,~ \P(S_{k+1}=i)=\dfrac1n \sum_{j=k}^{i-1} \P(S_k=j).$$
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Pour $k\in\N^*$ et $j\in\N^*$, rappeler la formule du triangle de Pascal liant les nombres : $\binom{j-1}{k-1}$, $\binom{j-1}k$ et $\binom jk$.
		\item En déduire que pour tout $k\in\N^*$ et pour tout entier naturel $i$ supérieur ou égal à $k+1$:
			$$\sum_{j=k}^{i-1} \binom{j-1}{k-1} = \binom{i-1}k.$$
		\item Pour tout entier $k\in\llbracket1,n\rrbracket$, on note $\mathcal H_k$ la proposition :
		$$\text\og \forall i\in\llbracket k,n\rrbracket,~ \P(S_k=i) = \dfrac1{n^k}\binom{i-1}{k-1} \text\fg{}.$$
		Démontrer par récurrence que pour tout entier $k\in\llbracket1,n\rrbracket$, $\mathcal H_k$ est vraie.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Soit $k\in\llbracket1,n-1\rrbracket$. Comparer les événements: $[T_n>k]$ et $[S_k \leq n-1]$.
		\item En déduire que:~ $\forall k\in\llbracket 0,n\rrbracket,~\P(T_n>k)=\dfrac1{n^k} \binom{n-1}k$.
	\end{enumerate}
	\item Démontrer que $E(T_n)=\ds \sum_{k=0}^{n-1} \P(T_n>k)$, puis que $E(T_n)=\left(1+\dfrac1n\right)^{n-1}$.
	\item Calculer $\li_{n\to+\infty} E(T_n)$ (Indication : On pourra utiliser les formules que l'on connait sur les fonctions).
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C - \'Etude Scilab}

\begin{enumerate}
\item On rappelle que la fonction $rand()$ en Scilab permet d'obtenir un nombre réel entre $0$ et $1$. Que permet la commande :
\begin{verbatim}
X = ceil(n*rand())
\end{verbatim}
On considère désormais que l'expression précédente donne une modélisation de la variable aléatoire $X_k$. 
\item \'Ecrire un script Scilab qui demande à l'utilisateur d'entrer un nombre $n$ et permet d'afficher une modélisation de $S_n = \ds \sum_{k=1}^n X_k $
\item Modifier le Script Scilab précédent pour qu'il affiche également une modélisation de $T_n$. 
\end{enumerate}

\end{document}