\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{1}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
%{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

\bigskip\bigskip

{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA n°1 2019}}

%\bigskip

{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

\bigskip

{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Jeudi 7 Novembre 2019 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}
\\

\textit{Il est conseillé de rédiger chaque exercice sur une copie différente.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage

\section*{Exercice 1 - Inspiré ESLSCA-ISC 99}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \sqrt{\dfrac{1+x}{2}}$ et $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par la donnée de $u_0$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. 

\subsection*{A) \'Etude de la suite $u$.}
\begin{enumerate}
\item \'Etude de $f$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$.
\item Déterminer la dérivée de $f$ et préciser son domaine de dérivabilité.
\item Déterminer les limites de $f$ aux bords de son domaine de définition. 
\item Tracer le tableau de variation de $f$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = x$ et l'inéquation $f(x) > x$. 
\item Tracer la courbe représentative de $f$ et la droite d'équation $y= x$. 
\end{enumerate}
\item Dans cette partie, on suppose que $u_0 = 0$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un script Scilab demandant à l'utilisateur d'entrer un entier $n$ et qui affiche $u_n$. 
\item Vérifier que $u$ est bien définie. 
\item Montrer que la suite $u$ est majorée par $1$. 
\item Montrer que la suite est croissante.  
\end{enumerate}
\item Dans cette partie, on suppose que $u_0 > 1$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\in \N$, $u_n$ est bien définie et $u_n > 1$. 
\item Montrer que la suite est décroissante.  
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{B) Calcul de $u_n$ en fonction de $n$ quand $u_0 > 1$.}

On suppose désormais que $u_0 > 1$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etude de fonctions auxiliaires. \\
On définit sur $\R$ les fonctions $ch$ et $sh$ par $ch(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ et $sh(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer les dérivées des fonctions $ch$ et $sh$ en fonction de $ch$ et $sh$. 
\item Montrer que pour tout réel $x$, $ch(x) > 0$. Calculer $sh(0)$ et déterminer le signe de $sh(x)$. 
\item En déduire qu'il existe un unique réel $\alpha \geq 0$ tel que $ch(\alpha) = u_0$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, 
$$
2 \left( ch \left( \dfrac{x}{2} \right) \right)^2 - 1 = ch(x)
$$
\item En déduire que pour tout entier $n$, 
$$
u_n = ch \left( \dfrac{\alpha}{2^n} \right)
$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{C) Une autre suite.}

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, l'équation $sh(x) = n$ a une unique solution \textbf{positive} que l'on notera $v_n$.
\item Montrer que pour tout $x \geq 0$, $sh(x) < e^x$.
\item En déduire que pour tout entier $n \geq 1$, $v_n > \ln(n)$. 
\end{enumerate}


\section*{Exercice 2 - Inspiré ECRICOME 2001}

Dans cet exercice, on étudie les matrices de la forme suivante ($a$ est un nombre réel) :
$$
N(a) = \begin{pmatrix}
1-a & a \\
a & 1-a
\end{pmatrix} \qquad \text{et} \qquad M(a) = \begin{pmatrix}
1-2a & a & a \\
a & 1-2a & a \\
a & a & 1-2a
\end{pmatrix}
$$

\subsection*{A) Des cas particuliers.}

\begin{enumerate}
\item Lorsque $a= 0$, quelles sont les matrices $M(0)$ et $N(0)$ ?
\item Quelle particularité partage les matrices $N(a)$ et $M(a)$ ?
\item On s'intéresse désormais à la matrice 
$$
N(1) = \begin{pmatrix}
0 & 1  \\
1 & 0
\end{pmatrix}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que cette matrice est inversible et calculer son inverse. 
\item Montrer par récurrence 
$$
\forall n \in \N, \quad (N(1))^n = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 + (-1)^n & 1+ (-1)^{n+1} \\
1 + (-1)^{n+1}  & 1+ (-1)^n
\end{pmatrix}
$$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{B) \'Etude générale de $N(a)$}

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(1-a)^2 - a^2 = 0$ d'inconnue $a$. 
\item Montrer que $N(a)$ est inversible si et seulement si $a \neq \dfrac{1}{2}$ et déterminer alors son inverse quand c'est possible. 
\item On introduit la matrice $P = \begin{pmatrix}
1 & 1  \\
-1 & 1
\end{pmatrix}.$ Montrer que $P $ est inversible et déterminer $P^{-1}$. 
\item Déterminer la matrice $D(a) = P^{-1} N(a) P$.
\item Montrer que $N(a) = P D(a) P^{-1}$. 
\item Montrer par récurrence que $(N(a))^n = P (D(a))^n P^{-1}$.
\item En déduire que 
$$
\forall n \in \N, \quad N(a)^n  = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 + (1-2a)^n  & 1 - (1-2a)^n \\
1 - (1-2a)^n & 1 + (1-2a)^n
\end{pmatrix}
$$
\end{enumerate}

\subsection*{C) \'Etude générale de $M(a)$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tous réels a,b, on a : $M(a)M(b) = M(a+b - 3ab)$.

\item  Montrer que si $a\ne 1/3$ il existe alors un r\'{e}el $b$ tel que $%
a+b-3ab=0.$ En d\'{e}duire que si $a\ne 1/3$ alors la matrice $M(a)$ est
inversible.

\item Calculer $M\left( 1/3\right) ^{2}$ et en d\'{e}duire que $M\left( 1/3\right) 
$ n'est pa sinversible.

\item  D\'{e}terminer le r\'{e}el $a_{0}$ non nul, tel que~: 
\[
\left[ M(a_{0})\right] ^{2}=M(a_{0})
\]

\item  On consid\`{e}re les matrices~: 
\[
P=M(a_{0})\quad \text{et}\quad Q=I-P
\]
o\`{u} $I$ d\'{e}signe la matrice unit\'{e} d'ordre $3$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout $a,$ il existe un r\'{e}el $\alpha $ -que l'on
exprimera en fonction de $a$- tel que~: 
\[
M(a)=P+\alpha Q
\]

\item  Calculer $P^{2}$, $QP$, $PQ$, $Q^{2}$.

\item  Pour tout entier naturel $n$, non nul, montrer que $\left[
M(a)\right] ^{n}$ s'\'{e}crit $x_{n}P+y_{n}Q$ avec $(x_{n})_{n \in \N}$ et $(y_{n})_{n \in \N}$ des suites vérifiant une relation de récurrence que l'on déterminera. 

\item  Montrer alors que  
$$
\left[ M(a)\right] ^{n} = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix}
1 + 2a^n & 1 - a^n & 1 -a^n \\
1 - a^n & 1+ 2a^n & 1 - a^n \\
1 - a^n & 1 - a^n & 1 + 2a^n 
\end{pmatrix}
$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 - Probabilités}
On considère une roue de loterie composée de 12 secteurs, numérotés de 1 à 12. Un croupier fait tourner cette roue devant un repère et on considère qu'à chaque lancer, chaque secteur à la même probabilité de s'arrêter devant le repère.\\
Un joueur choisit à chaque partie un ou plusieurs numéros parmi les 12. Il est gagnant si l'un des numéros choisis apparaît à l'arrêt de la roue.\\
Le joueur adopte la tactique suivante:
\begin{itemize}\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item il mise sur un seul numéro lors de la première partie,
\item s'il perd à la $n$-ème partie ($n\geq1$), il mise sur 2 numéros à la partie suivante; s'il gagne à la $n$-ème partie, il mise sur 3 numéros à la partie suivante.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $p_1$ et $p_2$. 
\item On note, pour tout $n\in\N$, $p_n$ la probabilité de l'événement $A_n$: "le joueur gagne la $n$-ème partie.
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N^\star$, déterminer $P_{A_n}(A_{n+1})$ et $P_{\overline{A_n}}(A_{n+1})$. En déduire que:
$$\forall n\in\N^\star,~p_{n+1}=\frac1{12}p_n+\frac16.$$ 
\item En déduire l'expression de $p_n$, pour tout $n\in\N^*$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on fixe $n\geq2$ et, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on note $B_k$ l'événement: "le joueur gagne une seule fois lors de $n$-parties et cette victoire a lieu lors de la $k$-ème partie".
\begin{enumerate}
\item Exprimer $B_n$ à l'aide des événements $A_k$ et en déduire $P(B_n)$.
\item Calculer $P(B_1)$.
\item Calculer, pour tout $k\in\llbracket1,n-1\rrbracket$, $P(B_k)$.
\item Soit $C_n$ l'événement: "le joueur gagne une seule fois au cours des $n$ parties". Exprimer $C_n$ à l'aide des événements $B_k$ et en déduire $P(C_n)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{\'Etude Scilab.} On rappelle que la fonction \texttt{rand()} permet d'obtenir un nombre réel aléatoire entre $0$ et $1$. 
\begin{enumerate}
\item Que fait l'expression \texttt{ceil(12 * rand())} ?
\item Recopiez et complétez ce programme Scilab permettant de simuler la première partie (on demandera au joueur quel numéro, il choisit)
\begin{verbatim}
resultat = ceil(12*rand())
choix_joueur = ................
if ................. then
    disp("Le joueur a gagné")
else
    disp("Le joueur a perdu")
....
\end{verbatim}
%\item recopiez et complétez ce programme Scilab permettant de simuler n parties (on demandera au joueur combien de partie il veut lancer et quel numéro, il choisit)
%\begin{verbatim}
%n = ...........
%CJ1 = ................ (1er Choix du joueur)
%CJ2 = 0                (2eme choix du joueur)
%CJ3 = 0                (3eme choix du joueur)
%for k = 1:n
%    resultat = ceil(12*rand())
%    if CJ1 == resultat then
%        disp("Le joueur a ........ le" + str(k) + "ème jeu.")
%        CJ1 = .................
%        CJ2 = .................
%        CJ3 = .................
%    ....... CJ2 == resultat then
%        disp("Le joueur a ........ le" + str(k) + "ème jeu.")
%        CJ1 = .................
%        CJ2 = .................
%        CJ3 = .................
%    ........ CJ3 == resultat then
%        disp("Le joueur a ........ le" + str(k) + "ème jeu.")
%        CJ1 = .................
%        CJ2 = .................
%        CJ3 = .................
%    else 
%        disp("Le joueur a ........ le" + str(k) + "ème jeu.")
%        CJ1 = .................
%        CJ2 = .................
%        CJ3 = 0
%	end
%end
%\end{verbatim}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 - Inspiré EDHEC 2001}


\begin{center}
{\bf Partie 1}
\end{center}
On pose, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $\displaystyle v_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un script Scilab permettant de demander à l'utilisateur d'entrer un nombre $n$ et qui renvoie $v_n$. (On pourra écrire $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$).
\item Montrer que : $\forall k > 1, \dfrac{1}{k} \leq ln (k) - ln (k - 1)$ (Indication : pensez aux intégrales)
\item En déduire que : $\forall n \in \N^*,\; v_n \leq ln(n) + 1.$
\end{enumerate}

\begin{center}
{\bf Partie 2} 
\end{center}
On considère une suite $u$ définie par son premier terme $u_0 = 1$ et par la relation suivante, valable pour tout entier $n$ :
$$ u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n} .$$
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif.
	\item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate} 
	\item Pour tout entier $k$, exprimer $u^2_{k+1} - u^2_k$ en fonction de $u^2_k$.
	\item En déduire que : $\forall n \in \N^* $: $\displaystyle u^2_n = 2n + 1 + \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{u_k^2}$.
	\item Montrer que : $ \forall n \in \N^*$, $u^2_n \geq 2n + 1$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
	\item A l'aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 :
$$ u^2_n \leq 2n + 2 + \dfrac{1}{2} v_{n-1}. $$
	\item En utilisant la partie 1, établir que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 :
$$ u^2_n \leq 2n + \frac{5}{2} + \frac{\ln(n-1)}{2} .$$
	\end{enumerate}	 
\end{enumerate}

\end{document}