\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{3}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Samedi 7 Mars 2020 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule

\vspace{120pt}

\subsection*{Exercice 1 - ECRICOME ECT 2014}

On effectue des lancers successifs et indépendants d'une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d'obtenir PILE vaut $\dfrac{2}{3}$. \\

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dit qu'il y a apparition d'un double PILE au rang $n$ si on obtient PILE au $(n-1)$-ième lancer et PILE au $n$-ième lancer. On note :

\begin{itemize}
\item Pour tout entier $n \geq 1$, $F_n$ l'évènement "On obtient FACE au $n$-ième lancer ". 
\item Pour tout entier $n \geq 2$, $D_n$ l'évènement "On obtient un double PILE au rang $n$ \uline{pour la première fois} ". 
\item Pour tout entier $n \geq 2$, $v_n = P(D_n)$. On conviendra que $v_1 = 0$. 
\end{itemize}  
Par exemple, si les lancers donnent successivement :
\begin{center}
" PILE, FACE, FACE, PILE, FACE, FACE, PILE, PILE "
\end{center}
alors l'évènement $D_8$ est réalisé. 

\begin{enumerate}
\item On lance $n$ fois de suite la pièce de monnaie. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de $PILE$ obtenus au cours de ces $n$ lancers. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$ (une réponse argumentée est attendue). Préciser l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs prises par la variable $X$ ainsi que la valeur de $P(X=k)$ lorsque $k \in X(\Omega)$. 
\item Donner la valeur de l'espérance $E(X)$ et de la variance $V(X)$ de la variable aléatoire $X$. 
\end{enumerate}

\item On lance $3$ fois de suite la pièce de monnaie. On appelle $Y$ la variable aléatoire valant 0 si l'on n'obtient pas PILE et le numéro d'apparition du premier PILE sinon. Par exemple, si les lancers donnent "FACE, PILE, PILE" alors $Y = 2$. Si les lancers donnent "FACE, FACE, FACE" alors $Y = 0$. 
\begin{enumerate}
\item Préciser l'ensemble $Y(\Omega)$ des valeurs prises par la variable $Y$
\item Déterminer la loi de $Y$, c'est-à-dire la valeur de $P(Y=k)$ lorsque $k \in Y(\Omega)$.
\item Calculer l'espérance $E(Y)$ et la variance $V(Y)$ de la variable aléatoire $Y$.
\end{enumerate}
On considère à partir de maintenant que l'on effectue une infinité de lancers de pièces. 
\item Calculer $v_2$ et $v_3$. Vérifier que : 
$$ v_3 = \dfrac{1}{3} v_2 + \dfrac{2}{9} v_1 .$$
\item Soit $n \geq 2$. On suppose qu'au premier lancer, PILE est obtenu et on souhaite la réalisation de l'évènement $D_{n+2}$.  \\

Quel est alors le résultat du second lancer ? A l'issue de ces deux premiers lancers, combien de lancers reste-t-il à effectuer pour que $D_{n+2}$ puisse se réaliser ? Les réponses devront être justifiées. En déduire que : 
$$
P_{\overline{F_1}} (D_{n+2}) = \dfrac{1}{3}v_n
$$

\item Pour $n \geq 2$, justifier que $P_{F_1} (D_{n+2}) = v_{n+1}$. 
\item A l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que :
$$
\forall n \geq 2, \quad v_{n+2} = \dfrac{1}{3} v_{n+1} + \dfrac{2}{9} v_n
$$
En outre, d'après la question $3.$, cette formule est vraie pour $n = 1$. 
\item Déterminer pour tout $n \geq 1$, la valeur de $v_n$.
\item Pour tout entier $n \geq 2$, on note $E_n$ l'évènement "Il n'y a pas eu deux PILE consécutifs au cours des $n$ premiers lancers". 
\begin{enumerate}
\item Exprimer l'évènement $\overline{E_n}$ en fonction des évènements $D_2, \ldots, D_n$.
\item En déduire que $P(E_n) = 1 - \ds \sum_{k = 2}^n v_k$
\item Déterminer $P(E_n)$ en fonction de $n \in \N^*$.
\item Calculer la limite de $P(E_n)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.  
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Exercice 2 - ECRICOME ECT 2014}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définie sur $]0; + \infty[$ par : 
$$
\forall x \in ]0; + \infty[, \quad f(x) = 2 - \dfrac{1}{2} \ln(x) \quad \text{et} \quad g(x) = f(x) - x.
$$
On considère aussi la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par : 
$$
u_0 = 1 \quad \text{et} \quad \forall n \in \N, \quad u_{n+1} = f(u_n)
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites suivantes : $\li_{x \tos 0} g(x)$ et $\li_{x \to +\infty} g(x)$. 
\item Calculer $g'(x)$ pour tout $x \in ]0; + \infty[$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur $]0 ; + \infty[$. 
\item Prouver que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$. On la note $\alpha$. 
\item Justifier que $\alpha \in [1, e]$ et $f(\alpha) = \alpha$. 
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0; + \infty[$ et préciser la monotonie de la fonction $f$. 
\item Démontrer par récurrence que : 
$$
\forall n \in \N, \quad 1 \leq u_n \leq e. 
$$
\item Vérifier que : 
$$
\forall x \in [1,e], \quad |f'(x)| \leq \dfrac{1}{2}.
$$
\item En déduire que :
$$
\forall n \in \N, \quad |u_{n+1} - \alpha | \leq \dfrac{1}{2} |u_n - \alpha |
$$
\item Démontrer par récurrence que : 
$$
\forall n \in \N, \quad | u_n - \alpha| \leq \dfrac{e - 1}{2^n} . 
$$
\item Prouver que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ converge et préciser sa limite. 
\item {\bf \'Etude Scilab.} 
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire une fonction Scilab prenant en argument d'entrée un nombre réel $x$ et permettant de calculer $f(x)$. 
\item \'Ecrire un script permettant de tracer avec Scilab la fonction $f$ entre $1$ et $e$. (On prendra un minimum de 1000 points pour tracer la courbe)
\item \'Ecrire une fonction Scilab prenant en argument d'entrée un entier $n$ et donnant le résultat de $u_n$. 
\item Démontrer que si $n = \left\lfloor \dfrac{\ln(10^5 (e-1))}{\ln(2)} \right\rfloor + 1$ alors $|u_n - \alpha | \leq 10^{-5}$. 
\item \'Ecrire un script permettant de déterminer (en utilisant la suite $(u_n)$) une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-5}$ près.  
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{Exercice 3 - Inspiré de EML 2011}


On consid\`{e}re l'application
\[
f:\R  \rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto f\left(
x\right)  = x  e^{x^2-1}.
\]


\subsection*{Partie I : \'{E}tude et repr\'{e}sentation graphique de $f$}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ admet-elle une parité ? Qu'en déduit-on graphiquement ?

\item Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\R$. On
note $f^{\prime}$ sa fonction d\'{e}riv\'{e}e. Calculer $f^{\prime}\left(
x\right)  .$

\item En d\'{e}duire le sens de variation de $f$.

\item Dresser le tableau de variation de $f$, comprenant les limites de $f$ en $+\infty$ et $- \infty$.

\item Résoudre pour $x \in \R$, l'équation $f(x) - x = 0$

\item Résoudre pour $x \in \R$, l'inéquation $f(x) - x > 0$

\item Donnez le développement limité à l'ordre 1 de la fonction $f$ au point $x = 0$. 

\item Tracer l'allure de $C$. On pr\'{e}cisera la tangente au point d'abscisse
$0.$ On tracera sur le même graphique la droite d'équation $y = x$. 
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II : \'{E}tude d'une suite r\'{e}currente associ\'{e}e
\`{a} $f.$}

On consid\`{e}re la suite r\'{e}elle $\left(  u_{n}\right)  _{n\in \mathbb{N}}$
d\'{e}finie par $u_{0} \in \R^+$ et, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n+1}=f\left(
u_{n}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $u_0 \in ]0;1[$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n} \in ]0;1[$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est alors décroissante. 
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. Déterminer sa limite. 
\end{enumerate}


%\item On suppose dans cette question que $u_0 =e$. 
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que pour tout $ x > 2$, $xe^{x^2 - 1} \geq x+1$. (On rappelle que $e \approx 2,7$). 
%\item \'{E}tablir, par r\'{e}currence :\qquad$\forall n\in \mathbb{N},\quad
%u_{n}\geq 2+n$.
%\item En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n \in \N}$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.
%\end{enumerate}

\item On suppose enfin que $u_0 > 1$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n$, $u_n > 1$. 
\item Déterminer la monotonie de la suite $(u_n)_{n \in \N}$. 
\item En déduire que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est divergente. 
\end{enumerate}

\item Dans cette question $u_0 = e$. \'{E}crire un programme Scilab qui calcule et affiche le plus
petit entier naturel $n$ tel que $u_{n}\geq10^{20}.$
\end{enumerate}

\subsection*{Partie III : \'{E}tude d'une intégrale associ\'{e}e \`{a} $f$}

On consid\`{e}re l'application
\[
F:\R  \rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto F\left(
x\right)  =\int_{x}^{1}f\left(  t\right)  dt.
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer $F(-1)$ et $F(0)$. 
\item Montrer que $F$ est de classe $C^{1}$ sur $\R$
et exprimer $F^{\prime}\left(  x\right)  $, pour tout $x\in \R  $, \`{a} l'aide de $f\left(  x\right)  $.

\item Montrer que l'\'{e}quation $x+\ln x=e$, d'inconnue $x\in \left]
0;+\infty \right[  $ admet une solution et une seule, que l'on notera $\alpha$,
et montrer que : $1<\alpha<e.$

\item \'Ecrire une fonction $f$ prenant en argument d'entrée un réel $x \in \R_+^*$ et donnant la valeur de $x + \ln(x) - e$. 
\item Compléter le script de dichotomie suivant permettant de déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-5}$ près. 
\begin{verbatim}
a = ........  // Valeur initiale de la suite a
b = ........  // Valeur initiale de la suite b

while b - a .......... do   // Condition d'arrêt de la méthode
    c = .................. // Calcul du terme de la suite c
    if f(c) > ....... then
        ...... =  c
    else 
        ...... = c
    end
end
disp(b)
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4}

\begin{enumerate}
\item {\bf Préliminaires} \\
On définit une suite $(R_k)_{k\in \N^*}$ de polynômes par:
\[\forall x\in \R\qquad R_1(x)=x\qquad R_2(x)=x^2-2\]
et pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 2,
\[R_{k+1}(x)=xR_k(x)-R_{k-1}(x)\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les polynômes $R_3$ et $R_4$.
\item Quels sont les degrés de $R_1$, $R_2$, et  $R_3$? Quels sont leurs coefficients dominants?
\item Soit $x\in \R^*$. On pose $y=x+\dfrac{1}{x}$. Calculer $R_1(y)$, $R_2(y)$ et $R_3(y)$.
\item Montrer par récurrence double que, pour tout entier $k>0$, $R_k$ est un polynôme de degré $k$ vérifiant pour tout réel $x$ non nul, l'égalité
\[R_k(x+\frac{1}{x})=x^k+\frac{1}{x^k}\]
\end{enumerate}
\item {\bf Un exemple particulier}\\
On pose $Q$ le polynôme défini par $Q(x)=x^6+x^5-9x^4+2x^3-9x^2+x+1$.
\begin{enumerate}

\item On veut écrire $Q$ en utilisant le symbole $\sum$: $\dis Q(x)=\sum_{k=0}^{2n} a_kx^k$. Que vaut alors $n$? Que valent les $a_k$?
\item Vérifier que pour tout $k\in [|0,6|]$, on ait $a_k=a_{6-k}$.
\item Vérifier que 0 n'est pas racine de $Q$.
\item Vérifier que $Q$ peut s'écrire sous la forme $Q(x)=\dis a_3x^3+\sum_{k=0}^2 a_k(x^k+x^{6-k})$. (Expliciter les $a_k$ et écrire cette somme en extension)
\item Calculer alors $\dfrac{Q(x)}{x^3}$.
\item Montrer que $\dfrac{Q(x)}{x^3}=2+R_3(y)+R_2(y)-9R_1(y)$. (On rappelle que $y=x+\dfrac{1}{x}$ et que les $R_k(y)$ ont été calculés dans la partie 1).
\item On pose $\tilde{Q}(y)=2+R_3(y)+R_2(y)-9R_1(y)$. Montrer que 
\[\tilde{Q}(y)=(y^3-3y)+(y^2-2)-9y+2\]
\item Résoudre $\tilde{Q}(y)=0$.
\item En déduire alors que résoudre $Q(x)=0$ est équivalent à résoudre pour tout réel $x$ non nul, $x+\frac{1}{x}=3$ et $x+\frac{1}{x}=4$.
\item Conclure sur les racines de $Q$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}