\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{2}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 2 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Mercredi 27 Novembre 2019 - De 8h à 10h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage

\section*{Exercice 1 - Dénombrement}
Une grande enveloppe contient les 12 figures d'un jeu de cartes : les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. 
\begin{enumerate}
\item On tire simultanément et au hasard 5 cartes de l'enveloppe.
\begin{enumerate}
\item Combien de tirages ne contiennent aucun roi ?
\item Combien de tirages contiennent au moins un roi ?
\item Combien de tirages contiennent exactement deux rois ?
\item Combien de tirages contiennent quatre figures identiques (c'est-à-dire un carré)?
\end{enumerate}
\item Si l'on tire successivement et sans remise 5 cartes de cet enveloppe, combien de tirages contiennent au moins un roi ?
\end{enumerate}
\vspace{1 cm}

\section*{Exercice 2 - Suite et somme}
Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout $n \geq 0$ par $u_{n+1}= \dis \frac{u_n}{3} + n-2$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \geq 4$, $u_n \geq 0$.
\item En déduire que pour tout $n \geq 5$, $u_n \geq n-3$.
\end{enumerate}
\item Soit $(v_n)_{n \geq 0}$ la suite définie pour tout $n \geq 0$ par $\dis v_n = -2u_n+3n -  \frac{21}{2} \cdot$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)_{n \geq 0}$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$.
\item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n \geq 0$.
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n \geq 0$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $\dis \sum_{k=0}^n v_k$ en fonction de $n \in \mathbb{N}$.
\item Donner l'expression de $\dis \sum_{k=0}^n u_k$ en fonction de $n \in \mathbb{N}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 - Démonstration par récurrence}
On donne, pour tout $n \in \N^*$:
\[R_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $R_1$, $R_2$ et $R_3$.
\item Montrer que pour tout $n\in\N$, $n^3+6n^2+9n+4 = (n+1)(n^2+5n+4)$
\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N^*$:
\[R_n = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.\]
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 - \'Etude de produit}
Soit $n$ un entier strictement positif.
\begin{enumerate}
\item On considère le produit :
$$\quad P_n=(1+1)(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3}) \dots (1+\frac{1}{n})=\prod_{k=1}^n(1+\frac{1}{k})$$\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P_n$ s'exprime très simplement en fonction de $n$.
\item En déduire la valeur de 
$$Q_n=\ln2+\ln(1+\dfrac{1}{2})+\ln(1+\dfrac{1}{3})+ \dots +\ln(1+\dfrac{1}{n})=\sum_{k=1}^n \ln (1+\frac{1}{k}).$$
\end{enumerate}

\item Soit le produit 
$$R_n=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\times \frac{1}{1-\frac{1}{3}}\times \dots \times \frac{1}{1-\frac{1}{n}}=\prod_{k=2}^n\left(\frac{1}{1-\frac{1}{k}}\right)$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $R_n$ s'exprime très simplement en fonction de $n$.
\item En déduire la valeur de 
$$S_n=\ln(1-\frac{1}{2})+\ln(1-\frac{1}{3})+ \dots +\ln(1-\frac{1}{n})=\sum_{k=2}^n \ln (1-\frac{1}{k})$$
\end{enumerate}

\item En utilisant les résultats précédents, calculer :\\

$$T_n=\ln(1-\frac{1}{2^2})+\ln(1-\frac{1}{3^2})+ \dots +\ln(1-\frac{1}{n^2})=\sum_{k=2}^n \ln (1-\frac{1}{k^2})$$
\item En déduire l'expression de : $W_n=\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right) \dots \left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)$.\\
\end{enumerate}


\subsection*{Exercice 5 - Somme et coefficients binomiaux}
Soit $k$ et $n$ deux entiers naturels avec $k\leq n$.
\begin{enumerate}
\item Soit $p\in\llbracket0,k\rrbracket$. Montrer que:
$$\binom{n}{n-p}\binom{n-p}{n-k}=\binom nk\binom kp.$$
\item En déduire la valeur de la somme:
$$\sum_{k = 0}^n \sum_{p=0}^k \binom{n}{n-p}\binom{n-p}{n-k}(-1)^{p+1}3^{k-p}.$$
\end{enumerate}

\end{document}