\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{1}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Samedi 12 Octobre 2019 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage

\section*{Exercice 1 - Formulaire}
Déterminer parmi les assertions suivantes, celles qui sont vraies et celles
qui sont fausses (on ne demande pas de justifier la réponse)\newline
\emph{Chaque bonne réponse apporte 1 point, chaque réponse fausse -1 point
et aucune réponse 0 point}%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{llll}
$a)\quad e^{a\times b}=e^{a}\times e^{b}$ 
& $b)\quad \ln (\dfrac{a}{b})=\ln
a-\ln b$ 
& $c)\quad b\exp (a)=\exp (a^{b})$ \\ 
$d)\quad (a-b)^{2}=a^{2}-b^{2}$
& 
$e)\quad \dfrac{e^{a}}{e^{b}}=e^{a-b}$ 
& $f)\quad \ln x$ existe ssi $%
x\geqslant 0$ \\
 $g)\quad \ln (a+b)=\ln a+\ln b$ 
 & $h)\quad \dfrac{a}{b}+%
\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$ 
&$i)\quad \dfrac{a}{b}\geqslant 0\Leftrightarrow a\geqslant 0$ \\
 $j)\quad 
\dfrac{a}{b}\geqslant \dfrac{c}{d}\Leftrightarrow \dfrac{ad-bc}{bd}\geqslant
0$ 
& $k)\quad \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{x+2}{x(x+1)}$ 
& $l)\quad
e^{a}+e^{b}=e^{a+b}$%
\end{tabular}%
\end{equation*}

\section*{Exercice 2 - \'Equations et inéquations}
Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item
$\sqrt{x^2-2x+5}=x-3$
\item
$\frac{1}{x-1}<\frac{2}{x+3}$
\item 
$e^x \geq x + 1$
\item $|2x+1| + |x -2 | = 4$. 
\end{qmulti}

\subsection*{Exercice 3 - Démonstration par récurrence}
Les questions suivantes sont indépendantes :
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que $\forall n \in \N, 4^n \geq 1 + 3n$. 
\item On considère la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{2} \ln(u_n)$. Montrer que pour tout $n \in \N$, $1 \leq u_n \leq e$. 
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 - \'Etude de fonctions}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$$\forall x\in\R,\ f(x)=(x^2-x-1)e^x+e$$
On admet que $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0$

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.
\item Étudiez le signe du trinôme $x^2+x-2$.
\item Déterminez $a$, $b$ et $c$ tel que $f(x) = x^2 \left( a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2} \right) e^x + e$. 
\item En déduire $\li_{x \to + \infty} f(x)$. 
\item Déterminer le tableau de variations de $f$. 
\item En déduire que $\forall x\in\R,\ f(x)\geq 0$.
\end{enumerate}

\newpage 
\subsection*{Exercice 5 - Scilab}
Les 3 questions sont indépendantes et par ordre de difficulté croissante. 
\begin{enumerate}
\item On considère le programme 
\begin{verbatim}
a = input('Entrez un réel')
b = a^2
a = b - 2*a
a = a +1
disp(a) 
\end{verbatim}
\begin{enumerate}
\item Que fait le programme ci dessus ?
\item Qu'affiche ce programme si l'utilisateur entre la valeur 2 ?
\item Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle l'ordinateur renvoie la valeur $0$ ?
\end{enumerate}
\item Au 13 Septembre 2019, le taux de change entre l'euro et les dollars américains, les livres sterling ou les roupies indiennes sont les suivants
\begin{itemize}
\item 1 EUR = 1,1075 USD
\item 1 EUR = 0,8889 GBP
\item 1 EUR = 78,6358 INR
\end{itemize}
Recopiez et complétez le programme suivant afin que lorsqu'un utilisateur entre une somme en euro et la monnaie dans laquelle il veut le change, il obtienne l'argent changé. 
\begin{verbatim}
eur = input("Entrez la somme en euros")
change = input ("Entrez 1 si vous souhaitez obtenir le change en dollar. Entrez 2 
si vous souhaitez obtenir le change en livres. Enfin, entrez 3 si vous souhaitez 
obtenir le change en roupies."

USD = ............
GBP = ............
INR = ............

if change == ......... then
    print("Avec " + str(....) + " euros, vous obtenez " + str(USD) + " dollars") 
elseif change == ......... then
    print("Avec " + str(....) + " euros, vous obtenez " + str(GBP) + " livres") 
else
    print("Avec " + str(....) + " euros, vous obtenez " + str(INR) + " roupies") 
end
\end{verbatim}
\item On cherche à résoudre l'équation du second degré $ax^2 + bx +c = 0$. \'Ecrire un programme qui demande à l'utilisateur d'entrer les valeurs de $a$, $b$ et $c$ et qui affiche 
\begin{itemize}
\item les 2 solutions si le discriminant est positif,
\item l'unique solution si le discriminant est nul,
\item Il n'y a pas de solution si le discriminant est négatif.  
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6 - Fonctions et suites}

\subsubsection*{Partie 1}

On considère la fonction $f(x)=\ln\pare{e^x+e^{-x}}$.

\begin{enumerate}
\item
Déterminer le domaine de définition de $f$.
\item
Montrer que $f$ est paire.
\item
Tracer le tableau de variations de $f$. 
\item
Montrer que $\forall x \in \R, f(x) - x = \ln(1 + e^{-2x})$.
\item
En déduire $\li_{x \to + \infty} f(x) - x$ et $\li_{x \to - \infty} f(x) - x$. 
\item 
Montrer que : $\forall x\in\R, f(x)>x$.
\item
Résoudre l'inéquation $f(x)<x+1$.
\item
Tracer sur un même graphique les courbes représentatives de $f$, $y=x$ et $y=x+1$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie 2}

Etude de la suite définie par 
$\begin{cases}
u_0=0\\
u_{n+1}=f(u_n) = \ln(e^{u_n} + e^{-u_n})
\end{cases}$
\begin{enumerate}
\item
Justifier que la suite est bien définie et montrer que  pour tout $n\in\N, u_n\geq0$.
\item
Déduire de la partie A que la suite $u$ est croissante. 
\item
A l'aide de la partie A montrer que $\forall n\in\N, u_{n+1}<u_n+1$.
\item
En déduire que $\forall n\in\N, u_n<n+1$.
\item
Montrer que $\forall n\in\N, u_n\leq \ln(n+1)$.

\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7 - Probabilités et suites}

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ ainsi que d'une pièce de monnaie
non truquée.\newline
Initialement, l'urne $U_{1}$ contient une boule blanche et deux boules
noires et l'urne $U_{2}$ contient deux boules noires.\newline
On considère l'épreuve $\mathcal{E}$ suivante :

\begin{itemize}
\item on lance la pièce

\item si l'on obtient pile, on tire une boule de $U_{1}$, sinon on tire une
boule de $U_{2}$

\item si la boule tirée est noire, elle est remise dans la même urne, sinon
elle est remise dans l'autre urne.
\end{itemize}
Pour $n$ entier naturel non nul, on désigne par $A_{n}$ l'évènement%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$A_{n}$ : " la boule blanche se trouve dans l'urne $U_{1}$ \textbf{à l'issue}
de la $n^{i\grave{e}me}$ répétition de l'épreuve $\mathcal{E}$ " \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
et par $B_{n}$ l'évènement 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$B_{n}$ : " la boule blanche se trouve dans l'urne $U_{2}$ \textbf{à l'issue}
de la $n^{i\grave{e}me}$ répétition de l'épreuve $\mathcal{E}$ " \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on effectue une seule fois l'épreuve $\mathcal{E}$%
.

\begin{enumerate}
\item La notation $PiB_{1}$ signifiant: \textquotedblleft la pièce a donné
pile et on a tiré la boule blanche de $U_{1}$" (on l'a donc remise dans $%
U_{2}$), calculer la probabilité de l'événement $\{PiB_{1}\}$.

\item En utilisant la même notation, décrire les résultats possibles de l'é%
preuve $\mathcal{E}$.

\item Calculer la probabilité des évènements $A_{1}$ et $B_{1}$
\end{enumerate}

\item On répète maintenant l'épreuve $\mathcal{E}$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que : \quad $\forall n\geqslant 0,\quad P_{A_{n}}(A_{n+1})=%
\dfrac{5}{6}$ et $P_{A_{n}}(B_{n+1})=\dfrac{1}{6}$

\item Calculer également $P_{B_{n}}(A_{n+1})$ et $P_{B_{n}}(B_{n+1})$

\item On notera $a_n = P(A_n)$ et $b_n = P(B_n)$. En déduire $a_{n+1}$ puis $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.

\item Que vaut la somme $a_n + b_n$ ? En déduire que $\forall
n\geqslant 0,\quad \left\{ 
\begin{array}{c}
a_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{6}\medskip \\ 
b_{n+1}=\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{6}%
\end{array}%
\right. $

\item Déterminer, en fonction de $n,$ les expressions de $a_n$ et $%
b_n.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}