\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{0}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Mercredi 4 Septembre 2019 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage
\begin{ex}[Calcul littéral]
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $A = 2x^2 - (x+2)(3x-1)$.
\item Factoriser l'expression $B = (2x+3)^2 - 2(4x + 1)(2x+3) + (4x+1)^2$. 
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Fractions]
\'Ecrire sous la forme la plus simple possible les fractions suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $ C =  \displaystyle \frac{(2x^2-x)(6-3x)}{3x(2-x)} $.
\item $ D = \displaystyle - \frac{2x+4}{2x} \times \frac{x^2}{2+x}$.
\item $E = \dfrac{50}{49}\times \dfrac{49}{48} \times \ldots  \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{1}$
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[Somme de fractions]
\begin{enumerate}
\item Trouver le plus petit dénominateur commun entre $4(x+2)(x^2+1)$ et $2(x^2+1)(x-1)$.
\item \'Ecrire la fraction $\dfrac{2x+3}{x}$ sous la forme $a + \dfrac{b}{c}$ où $b < c$.
\item On donne $\displaystyle A = \frac{1}{1+t} - \frac{1}{1+t^2}$ et $B = (1+t^2)(1+t)$. Écrire  AB sous la forme la plus simple possible.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Racines carrées et $|\cdot|$]
\begin{enumerate}
\item Simplifier au maximum l'expression $F = (\sqrt{5} +3)(\sqrt{5}-3)$.
\item Exprimer sans valeur absolue la quantité $G = |-14|$.
\item Exprimer sous forme d'une fraction irréductible l'expression $H =  \dfrac{x}{\sqrt{x} - 4}+ \dfrac{1}{\sqrt{x} + 4}$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Puissances]
\'Ecrire les expressions suivantes sous la forme $x^a$. 
\begin{qmulti}{2}
\item $I = \dfrac{x^3 \times x^{-2}}{x^5}$.
\item $J = \sqrt{x} \times \dfrac{x^2}{(-x)^4x^{-1}}$.
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[\'Equations]
R\'esoudre les \'equations suivantes par la m\'ethode de votre choix.
\begin{qmulti}{2}
\item $(2x+1)^2 - 25 = 0$. 
\item $(\ln(x)-1)(2-5\ln (x)) = 0$.
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[Logarithme et exponentielle]
Simplifier les expressions suivantes
\begin{qmulti}{2}
\item $K = \ln\left( \dfrac{\sqrt{8}+2}{2} \right) +\ln\left( \dfrac{\sqrt{8}-2}{2} \right)$.
\item $L = \ln(\sqrt{e}^3)$
\end{qmulti}
\end{ex}


\begin{ex}[Inéquations]
R\'esoudre les in\'equations suivantes par la m\'ethode de votre choix.
\begin{qmulti}{3}
\item $\dfrac{2x}{5} - \dfrac{1}{3} \leq - \dfrac{4}{15}$. 
\item $2x^2 - 4x \geq 0$.
\item $\dfrac{1}{x-5} < \dfrac{1}{2x+1}$.
\end{qmulti}
\end{ex}

\newpage
\begin{ex}[Fonctions]
\subsubsection*{Partie A}
On considère la fonction $f$ définie sur $[1;11]$ par $f(x) = -\dfrac{1}{2} x^2 + 2x + 15 \ln(x)$. On donne les résultats suivants $- \dfrac{5}{2} + 15 \ln(5) \approx 21,6$ et $-\dfrac{77}{2} + 15 \ln(11) \approx -2,5$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ et la mettre sous la forme $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$. 
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1,11]$. On donnera les valeurs approchés des éléments du tableau. 
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1;11]$. On admettra que $\alpha \approx 10,66$
\item Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle $[1,11]$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[1;10]$ par $F(x) = - \dfrac{1}{6} x^3 + x^2 - 15x + 15x \ln(x)$. Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$. 
\item Calculer $\ds \int_1^{10} f(x) dx$ ({\it On donnera le résultat exact}).
\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 10]$({\it On donnera le résultat exact}).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}
Une société fabrique et vend des chaises de jardin. La capacité de production mensuelle est comprise entre 100 et 1100 chaises. Le bénéfice mensuel réalisé par la société est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie $A$, où $x$ représente le nombre de centaines de chaises de jardin produites et vendues et $f(x)$ représente le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros. On précise qu'un bénéfice peut être positif ou négatif (ce qui correspond dans le deuxième cas à une perte). 
\begin{enumerate}
\item Quelle quantité de chaises la société doit-elle produire et vendre pour obtenir un bénéfice mensuel positif ?
\item Déterminer le nombre de chaises que la société doit produire et vendre pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ?
\end{enumerate}

\end{ex}

\begin{ex}[Probabilités]
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.L'enquête révèle que 70 \% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80 \% pratiquent le tri sélectif.Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10 \% qui pratiquent le tri sélectif.On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :\\

S: L'élève interrogé est sensible au développement durable. \\
T: L'élève interrogé pratique le tri sélectif.

{\it Les résultats seront données de manière exacte.}
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.
\item Déterminer la probabilité $P(T)$ de l'évènement $T$.
\item On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.Peut-on affirmer que les chances qu'il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10 \% ?
\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés.Le nombre d'élèves de l'établissement est suffisamment grand pour que l'on considère que $X$ suit une loi binomiale.
\begin{enumerate}
\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
\item Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{ex}[Suites]
Dans  une  réserve  naturelle,  on  étudie  l'évolution  de  la  population  d'une  race  de  singes  en  voie  d'extinction à cause d'une maladie. 
\subsubsection*{Partie A} 
Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 10 \% chaque année. Au 1\up{er} janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes. À  l'aide  d'une  suite,  on  modélise  la  population  au  1\up{er}  janvier  de  chaque  année.  Pour  tout  entier  naturel $n$, le terme $u_n$ de la suite représente le nombre de singes au 1\up{er} janvier de l'année 2004 + n. On a ainsi $u_0 = 25 000$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif de cette population de singes : \begin{enumerate}
\item au 1\up{er} janvier 2005,
\item au 1\up{er} janvier 2006.
\end{enumerate}
\item Déterminer une formule pour $u_n$, $n$ étant un entier naturel
\item Suivant  ce  modèle,  on  souhaite  savoir,  à  l'aide  d'un  algorithme,  au  bout  de  combien  d'années  après le 1\up{er} janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à 5 000. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous.
\begin{verbatim}
L1 : Variables        u un réel, n un entier 
L2 : Initialisation   u prend la valeur ............ 
L3 :                  n prend la valeur ............
L4 : Traitement       Tant que .................... faire 
L5 :                      u prend la valeur .............. 
L6 :                      n prend la valeur .............. 
L7 :                  Fin Tant que 
L8 : Sortie           Afficher n 
\end{verbatim}    
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}
 
Au 1\up{er} janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l'ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu'il se produit 400 naissances. On  modélise  la  population  de  singes  dans  la  réserve  naturelle  à  l'aide  d'une  nouvelle  suite.  Pour  tout entier naturel $n$, le terme $v_n$ de la suite représente le nombre de singes au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$. On a ainsi $v_0 = 5 000$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculez $v_1$.
\item Déterminer une formule liant $v_{n+1}$ à $v_n$ pour tout entier naturel $n$.
\item Résoudre l'équation $x = \dfrac{3}{4} x + 400$. On notera $x_0$ sa solution. 
\item On pose alors la suite $(w_n)_{n \in \N}$ définie par $w_n = v_n - x_0$. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et la valeur de $w_0$. 
\item Pour tout entier $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$. 
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $v_n = 1600 + 3400 \times 0,75^n$. 
\item Calculer la limite de la suite $(v_n)_{n \in \N}$  et interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[]
Un crocodile a repéré une proie située à 12 mètres de lui sur la berge opposée d'une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l'eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s'il traverse la rivière en visant un certain point $P$, placé à $x$ mètres du point de départ sur l'autre rive (voir schéma).

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.9]{DS0_2.png}
\end{figure}

Le temps $T$ nécessaire pour faire le trajet est donné par l'équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde):
$$
T(x) = 2\sqrt{81 + x^2} + (12 - x).
$$

\begin{enumerate}
\item Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage. 
\item Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s'il coupe la rivière au plus court. 
\item Entre ces deux extrêmes, montrer qu'il existe une valeur de $x$ qui minimise le temps nécessaire et que cette valeur est comprise dans l'intervalle $[5;6]$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\end{document}