\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°9}
\lfoot{Dérivabilité, étude de fonctions et suites.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 2 Mars 2020}
\end{center}
\vspace{30pt}

\begin{exo}
Montrer en utilisant l'inégalité des accroissements finis que pour tout $x\in\,[\,0\,,\,1]$, $x\,\leq \,e^x -1\,\leq\,e\,x.$
\end{exo}

\begin{exo}

On considère  pour $p\in \mathbb{N}^*$ les fonctions suivantes:
$$\left\{ \begin{array}{ll} f_p(x)=1 + \ln(x +p) \\ 
h_p(x)=x-f_p(x) \end{array} \right.$$
On note $(\mathscr{C}_p)$ la courbe représentative de la fonction $f_p$.

\begin{enumerate}
\item {\bf Etude de la fonction $f_1$}
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $f_1$.
\item Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On fera apparaitre les limites aux bords du domaine de définition. 
\item Déterminer le développement limité en 0, à l'ordre 1, de la fonction $f_1$.
\item En déduire une équation de la tangente à $C_1$ au point d'abscisse 0.
\item Montrer que la fonction $f_1$ est concave sur son domaine de définition. 
\item En déduire la position de la courbe $\mathscr{C}_1$ par rapport à cette tangente. 
\item Tracer dans un repère orthonormée la courbe $\mathscr{C}_1$ ainsi que sa tangente en $0$. 
\end{enumerate}
\item {\bf Etude d'une suite $(\alpha_p)_{p\in \mathbb{N}^*}$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f_p(x)=x$ admet une unique solution $\alpha_p$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$. (On ne cherchera pas à calculer $\alpha_p$).
\item Déterminer le signe de $h_p(\alpha_{p+1})$ et en déduire que la suite $(\alpha_p)_{p\geq 1}$ est monotone.
\item Prouver que l'on a:$$\forall p\in \mathbb{N}^*, \quad \alpha_p\geq 1+\ln(p)$$
Quel est le comportement de la suite $(\alpha_p)_{p\geq 1}$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$?
\end{enumerate}
\item {\bf Valeur approchée de $\alpha_1$}\\
On admet que le réel $\alpha_1$ appartient à l'intervalle $[1;3]$.
On définit la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ par: 
$$\left\{ \begin{array}{ll} u_0=1\\ \forall n\in \mathbb{N}, u_{n+1}=f_1(u_n)\end{array} \right.$$

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $u_n\geq 1$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, 
$$ |u_{n+1} - \alpha_1 | \leq  \dfrac{1}{2}|u_n - \alpha_1 |$$
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$: $$|u_n-\alpha_1|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$
\item Déterminer un entier naturel $n_0$ de telle sorte que si $n$ est supérieur ou égal à $n_0$ alors $|u_n-\alpha_1|$ est inférieur ou égal à $10^{-4}$.
\item \'Ecrire un programme en Scilab permettant d'obtenir les valeurs de $n_0$ et de $u_{n_0}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère la fonction $f : x \to e^{-\frac{x^2}{2}}$. On définit la suite $(u_n)$ par
$$
u_0 \in [0,1], \qquad \forall n \in \N, u_{n+1} = f(u_n)
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet une unique solution dans $[0,1]$ que l'on notera $\alpha$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que l'intervalle $[0,1]$ est stable par $f$. (c'est à dire que $\forall x \in [0,1], f(x) \in [0,1]$ ou encore, $f([0,1]) \subset [0,1]$.
\item En déduire que $\forall n \in \N,\; u_n \in [0,1]$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Monter que $\forall x \in [0,1], |f'(x)| \leq \dfrac{1}{\sqrt{e}}$
\item En déduire que : $\forall n \in \N$, $|u_{n+1} - \alpha| \leq \dfrac{1}{\sqrt{e}} |u_n - \alpha |$. 
\item Puis que : $\forall n \in \N,\; |u_n - \alpha| \leq \left( \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)^n$.
\item En déduire que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}