\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°9 bis}
\lfoot{Dérivabilité, étude de fonctions et suites.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A réaliser en autonomie}
\end{center}
\vspace{30pt}

\begin{exo}[Exercice 19 FExo 14]
Soit $f$ la fonction définie par $\displaystyle{f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}}$.\\
On note $\mathcal{D}_f$ l'ensemble de définition de $f$ et $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\mathcal{D}_f$.
\item Montrer que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{D}_f$ et déterminer $f'$.
\item Étudier les variations de $f$. Déterminer les éventuelles limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
\item On appelle point d'inflexion le point où la dérivée de $f$ change de sens de variation. Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion. 
\item Donner l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en ce point. (Graphiquement, la courbe traverse sa tangente en un point d'inflexion). 
\item Tracer $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé, ainsi que sa tangente $T$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Exercice 23 FExo 14]
On souhaite déterminer le nombre de solutions de $(E) : x^3 -3x +1 = 0$ ainsi que la valeur approchée d'une des racines.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(E)$ admet 3 solutions réelles $\alpha, \beta$ et $\gamma$ telles que $\alpha < -1 < \beta < 1 < \gamma$. 
\item On veut obtenir une approximation de $\beta$. On introduit $\forall x\in \R$, $g(x) =\dfrac{x^3 +1}{3}$ et la suite $u$ définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = g(u_n)$. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\beta \in [0,1/2]$ et montrer que $\beta$ est solution de l'équation $g(x) = x$. 
\item Montrer que $[0, 1/2]$ est stable par $g$ et que $\forall x \in [0,1/2]$, $|g'(x)| \leq \dfrac{1}{4}$. 
\item Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n \in [0,1/2]$. 
\item Justifier que $\forall n \in \N$, $|u_{n+1} - \beta| \leqslant \dfrac{1}{4}|u_n - \beta|$ puis que $|u_n - \beta| \leqslant \dfrac{1}{4^n}\times \dfrac{1}{2}$. 
\item Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $|u_n - \beta| \leqslant 10^{-9}$ ? 
\item \'Ecrire un programme Scilab qui renvoie une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-9}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Terrassé par la perte de son fidèle ami Osorno emporté par la déesse Mapuche, et chassé du Villarica par les flammes noires de sa récente éruption, notre jeune condor Puyehue décida de réaliser un voyage initiatique à travers les Andes. Celui-ci  l'amena à rencontrer une jeune condor nommée Chiloé. Et aujourd'hui il songe à sa descendance. Il faut savoir que le condor se reproduit de la manière suivante, il a 2 descendants avec probabilité $p\in]0,1[$, et 0 descendant avec probabilité $1 - p$. On note $X_n$ le nombre de descendants de Puyehue à la $n-ieme$ génération. On s'intéresse à $P(X_n = 0)$, c'est à dire à la probabilité que la lignée de Puyehue soit éteinte à la $n-ieme$ génération.
\begin{enumerate}
\item
Soit $f(x)=px^2+1-p$ une fonction définie sur $[0,1]$ et soit $(u_n)_n$ la suite définie par $\begin{cases}
u_0=0\\
u_{n+1}=f(u_n)
\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item
Tracer le tableau de variations complet de $f$.
\item
En déduire par récurrence que $\forall n\in\N, u_n\in[0,1]$.
\item
Montrer par récurrence que la suite $(u_n)_n$ est croissante.
\item
En déduire que $(u_n)_n$ converge. On note $\ell$ sa limite. 
\item
Montrer que si $p\leq 1/2$, $\ell=1$.
\item
Montrer que si $p>1/2$, $\ell=\frac{1}{p}-1$ (on pourra au préalable montrer que si $p>1/2,u_n\leq \frac{1}{p}-1,\forall n\geq 0$).

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item
On remarque que $X_0=1$. Déterminer la loi de $X_1$ et $X_2$.
\item
Montrer que $(X_1=0,X_1=2) $ est un système complet d'événements. 
\item
Justifier que $P_{X_1=2}(X_{n+1}=0)=P(X_n=0)^2$.
\item
Montrer en utilisant la FPT que 
$$
P(X_{n+1}=0)=1-p+pP(X_n=0)^2.
$$
\item
En déduire alors $\lim\limits_{n\to+\infty}P(X_n=0)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exo}

\subsection*{Exercice 4} %DM n°11 bis 2018/2019

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Deux personnes $P_{1}$ et $P_{2}$ ont rendez-vous dans un 
complexe form\'{e} de cinq sites $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, $S_{4}$ et $S_{5}
$, 
dispos\'{e}s en pentagone et reli\'{e}s par des routes, comme 
l'illustre le sch\'{e}ma ci-contre.

 
Ils arrivent au rendez-vous \`{a} I'heure pr\'{e}vue, mais suite 
\`{a} un malentendu, $P_{1}$ se pr\'{e}sente au site $S_{1}$ et $P_{2}$ au
site $S_{2}$.%
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.1]{graph1.png}
\end{center}

\end{minipage}



Ils d\'{e}cident alors de partir \`{a} la recherche I'un de l'autre. Ils
empruntent les diff\'{e}rentes routes du complexe, avec les r\`{e}gles
suivantes : .

\begin{itemize}
\item \`{a} partir d'un site, chacun choisit de se rendre sur l'un des deux
sites voisins, les deux possibilit\'{e}s \'{e}tant \'{e}quiprobables;

\item les d\'{e}placements des deux personnes se font simultan\'{e}ment;

\item tous les choix de d\'{e}placement se font ind\'{e}pendamment les uns
des autres.
\end{itemize}

Ils continuent \`{a} se d\'{e}placer ainsi jusqu'\`{a} se retrouver \'{e}%
ventuellement sur un m\^{e}me site (ils ne se rencontrent pas le long des
routes). Une fois retrouv\'{e}s, ils ne se d\'{e}placent plus.{\Large %
\medskip }

\textbf{A. Mod\'{e}lisatlon du probl\`{e}me}

Pour tout entier naturel n, on d\'{e}finit les trois \'{e}v\'{e}nements $%
A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$ :

\begin{itemize}
\item $A_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont sur le m\^{e}me site apr%
\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $

\item $B_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont sur des sites adjacents apr%
\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $

\item $C_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont \`{a} deux routes de distance
apr\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $
\end{itemize}

\begin{center}
On note $a_{n}$, $b_{n}$, $c_{n}$ les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}%
nements $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$.
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$.forment un syst\`{e}me complet
d'\'{e}v\'{e}nements.

\item D\'{e}terminer les valeurs de $a_{0}$, $b_{0}$ et $c_{0}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer : $\forall n\in \mathbb{N}$, $P\left( A_{n+1}|C_{n}\right) =\frac{%
1}{4}$. \\
{\footnotesize Indication : Cette notation signifie $P(A_{n+1})$ sachant $C_n$}
\item  Justifier $P\left( A_{n+1} |A_{n}\right) =1$ \\
\item D\'{e}terminer toutes les probabilit\'{e}s conditionnelles 
analogues. On repr\'{e}sentera les r\'{e}sultats en reproduisant 
et compl\'{e}tant le sch\'{e}ma ci-dessous%
\end{enumerate}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.1]{graph2.png}
\end{center}


\item Etablir les relations suivantes pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ : $%
\left \{ 
\begin{array}{c}
a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{4}c_{n} \\ 
b_{n+1}=\frac{3}{4}b_{n}+\frac{1}{4}c_{n} \\ 
c_{n+1}=\frac{1}{4}b_{n}+\frac{1}{2}c_{n}%
\end{array}
\right. $

\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Exprimer $b_{n+2}$ \`{a} l'aide de $b_{n+1}$, $b_{n}$ et $c_{n}$ puis
exprimer $c_{n}$ en fonction de $b_{n+1}$ et $b_{n}$ pour obtenir enfin une
relation entre $b_{n+2}$, $b_{n+1}$ et $b_{n}$

\item En d\'{e}duire une expression de $b_{n}$ en fonction de $n$.\newline
on fera intervenir les nombres $\alpha =\frac{5-\sqrt{5}}{8}$ et $\beta =%
\frac{5+\sqrt{5}}{8}$

\item Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $c_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5}%
\left( \beta ^{n}-\alpha ^{n}\right) $.
\end{enumerate}

\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$, $\alpha $ et $\beta $. (on pourra
s'int\'{e}resser \`{a} la somme $a_{n}+b_{n}+c_{n}$).

\item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( a_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$.

\item Quelle est la probabilit\'{e} que les deux personnes ne se retrouvent
jamais ?{\Large \medskip }
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}