\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°8}
\lfoot{}
\cfoot{Convergence de suites.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 13 février 2020}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice I - Obligatoire pour les groupes 9 à 11}

Soit $(u_n)$ la suite d\'efinie par $u_0=0$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un script Scilab demandant à l'utilisateur d'entrer un nombre $n$ et affichant $u_n$
\item Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n$ existe et $0\leq u_n\leq 2$.
\item Montrer que $(u_n)$ est croissante.
\item En d\'eduire que $(u_n)$ converge et donner sa limite.
\item \'Ecrire un script Scilab permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $|u_n - 2| \leq 10^{-6}$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice II - Obligatoire pour les groupes 1 à 8}

Soit $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ la suite d\'{e}finie par $u_{0}=1$ et
pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, $u_{n+1}=\ln \left( 1+u_{n}^{2}\right) $%
.\bigskip

\begin{enumerate}
\item  \'Ecrire un script Scilab permettant d'afficher le $n$ème terme de la suite $u_n$, $n$ étant donné par l'utilisateur. 

\item \'{E}tablir pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, l'encadrement
suivant : $0\leq u_{n}\leq 1$.\bigskip

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $\left[ 0,1%
\right] $, \`{a} valeurs r\'{e}elles, telle que $f\left( x\right) =\ln
\left( 1+x^{2}\right) -x$.\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$ puis d\'{e}terminer le
signe de $f\left( x\right) $ sur l'intervalle $\left[ 0,1\right] $.\medskip

\item En d\'{e}duire que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ est
d\'{e}croissante. \medskip

\item Montrer que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ est
convergente. \bigskip
\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}
\item Justifier pour tout r\'{e}el $x\geq 0$, l'in\'{e}galit\'{e} : $%
\ln \left( 1+x\right) \leq x$.\medskip\

\item Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, \'{e}tablir l'in\'{e}galit%
\'{e} : $u_{n+1}\leq u_{n}^{2}$.\medskip

\item En d\'{e}duire pour tout entier $n\geq 1$, l'in\'{e}galit\'{e} $%
u_{n}\leq \left( \ln 2\right) ^{n}$.\medskip\

\item  D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( u_{n}\right)
_{n\geq 0}$. \medskip

\item On consid\`{e}re le programme \textit{Scilab} suivant :

\begin{verbatim}
n=0 ; u =1
while u >= 0.0001
	u = log(1+u^2)
	n = n+1
end
disp(n)
\end{verbatim}
On ex\'{e}cute ce programme. Le r\'{e}sultat affich\'{e} est $6$. Quelle est la signification de ce r\'{e}sultat ?\bigskip\

\item \'{E}tablir pour tout entier $n\geq 2$, l'in\'{e}galit\'{e} $%
\ds \sum\limits_{k=0}^{n-1}u_{k}\leq \dfrac{1-\left( \ln 2\right) ^{n}}{1-\ln 2}
$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 


\section*{Exercice III - Obligatoire pour les groupes  6 à 11}

On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par :
\begin{center}
$u_0 = a$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n(2-u_n)$, 
\end{center}
où $a$ est un réel tel que $0 < a <1$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $f : x \to x(2-x)$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que , pour tout entier $n$, $0 < u_n < 1$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 
\item En déduire que la suite est convergente. Calculer sa limite. 
\end{enumerate}
\item On considère la suite numérique $(v_n)_{n \in \N}$ définie sur $\N$ par :
\[ v_n = 1 - u_n \]
\begin{enumerate}
\item Exprimer pour tout entier $n$, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
\item En déduire (par récurrence), que pour tout $n \in \N$, on a $v_n = (1-a)^{2^n}.$
\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$. Retrouver la limite de la suite $(u_n)$. 
\end{enumerate}
\item On considère le temps de vie d'une machine à café. En sortant de l'usine (au temps $t=0$), la machine à café à une probabilité $a$ d'être cassé ($0 < a < 1$). On notera $A_n$ l'événement "la machine est cassé au temps $t=n$" et $p_n = p(A_n)$. Si la machine est cassé au temps $t= n$ elle reste cassé au temps $t = n+1$. Si la machine est en état de marche au temps $t=n$, elle a la probabilité $p_n$ d'être cassé au temps $t = n+1$. 
\begin{enumerate}
\item Calculez $p_1$
\item \'Ecriver $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$. 
\item En déduire $p_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n$. Que pensez vous de ce résultat ?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}



\section*{Exercice IV - Obligatoire pour le groupe 1 à 5}


Pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$, on pose $f_n(x)=x^n+1-nx.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$, la fonction $f_n$ est strictement décroissante sur $[0,1]$.
\item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$, l'équation $x^n+1=nx$ possède une unique solution dans l'intervalle $[0,1]$. On la note $x_n$.
\item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$, $\displaystyle{f_n\left(\frac 2 n\right) < f_n(x_n) < f_n\left(\frac 1 n \right)}$ puis que $\displaystyle{\frac 1 n < x_n < \frac 2 n}\cdot$\\
Que peut-on en déduire sur la convergence de la suite $(x_n)_{n \ge 3}$ ?
\item Déterminer $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} nx_n}$ (on utilisera le fait que pour tout $n \geq 3$, $f_n(x_n)=0$).
\item Étudier le signe de $f_{n+1}(x) - f_n(x)$ pour tout $n \ge 3$ et $x \in [0,1]$. En déduire la monotonie de la suite $(x_n)_{n \ge 3}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice V - Obligatoire pour le groupe 1}

Montrer que les deux suites $(u_n)_{n \geq 0}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ o\`u pour tout $n \geq 1$,
\[ u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \text{et } v_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{1}{n n!} \]
sont adjacentes. On admet que ces deux suites convergent vers $e$. 
Comment obtenir une approximation de $e$ \`a $10^{-3}$ pr\`es à l'aide de Scilab ?

\end{document}