\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°7}
\lfoot{}
\cfoot{\'Etude de fonction,Polynôme.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 29 Janvier 2020}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice I - Obligatoire pour les groupes 5 à 11}

{\it On donne les approximations suivantes qui vous serviront au cours de l'exercice :}
$$
\ln(2) \approx 0,69 \qquad \ln(3) \approx 1,10 \qquad  22\ln(2)-14 \approx 1,25  \qquad  22\ln(3)-23 \approx 1,17
$$
$$
\dfrac{1}{22\ln(2) - 14} \approx 0,80 \qquad \dfrac{1}{22 \ln(3) - 23} \approx 0,86
$$

\subsection*{Préliminaire : Polynôme et étude de signe}
Soit $P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$. 
\begin{enumerate}
\item Effectuer la division euclidienne de $P$ par $X-1$. 
\item Factoriser $P$. 
\item En calculant, pour $x \in \R$, la quantité $\dfrac{2 P(e^x)}{e^x}$ de deux manières différentes et en utilisant ce qui précède, justifier qu'on a l'égalité:
$$
2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x} = \dfrac{2(e^x - 1)(e^x - 2)(e^x - 3)}{e^x}
$$
\item Déduire des questions précédentes le signe de $2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}$ sur $\R$ en dressant le tableau de signe. 
\end{enumerate}

\subsection*{\'Etude d'une fonction}
On pose $v :x \to e^{2x} - 12 e^x +22x + 12 e^{-x}$ et $h : x \to \dfrac{1}{v(x)}$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etude de $v$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $v(\ln(2))$ et de $v(\ln(3))$ en détaillant les calculs. 
\item Justifier proprement les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de la fonction $v$. 
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $v$. 
\item En déduire que $\forall x \in \R$, $v(x) > 0$. 
\end{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $h$ ?
\item Dresser le tableau de variation de $h$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice II - Obligatoire pour les groupes 2 à 11}
 Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dis \frac{x^2}{x^2-4} \cdot$

\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble de définition de $f$.
\item Étudier la parité de $f$.
\item Que doit-on taper dans Scilab pour avoir la représentation graphique de $f$ sur $]2,10]$?
\item Montrer que pour tout réel $x>2$, $f(x)>1$.
\item On note $g$ la restriction de $f$ à $]2;\,+\infty[$ : 
\[ \dis \begin{array}{ccrcl}
g & : & ]2, + \infty[  & \longrightarrow & ]1, + \infty[\\
& & x & \longmapsto & \dis \frac{x^2}{x^2-4} \\
\end{array}\]
Montrer que $g$ est bijective et donner son application réciproque.
\end{enumerate}

\section*{Exercice III - Obligatoire pour les groupes 1 à 5}

On définit pour tout entier naturel $n$ non nul, le polynôme $P_n$ par :
$P_0(X) = 2$ et $\forall n  \in \N$,
\begin{equation}
P_{n+1}(X) = X^3 P_n'(X) + (2 - 3(n+1) X^2) P_n (X)
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item \'Etude des polynomes
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n \in \N$, $P_n(0) = 2^{n+1} $
\item Calculer $P_1(X)$ en utilisant la relation (1) et déterminer ses racines.  
\item Montrer que $P_2(X) = 24X^4 - 36X^2 + 8$ et déterminer ses racines. 
\item Montrer par récurrence que le polynôme $P_n$ est de degré $2n$. 
\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x) = \dfrac{2}{x^3} e^{-1/x^2}$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $\forall x \in \R^*$, 
$$
f'(x) = \dfrac{P_1(x)}{x^6} e^{-1/x^2} \quad {\rm et} \quad f''(x) = \dfrac{P_2(x)}{x^9} e^{-1/x^2}
$$
\item En déduire les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. Tracer son tableau de variation. 
\item Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est convexe ou concave. \\
{\it On rappelle qu'une fonction 2 fois dérivables est convexe (resp concave) si et seulement si $f''(x) >0$ (resp. $f''(x) < 0$)}
\item Conjecturer une formule pour la dérivée $n$-ème de $f$ notée $f^{(n)}(x)$. 
\item Démontrer cette formule par récurrence.  
\end{enumerate}
\item En scilab, un polynôme peut être modélisé par une matrice ligne ne comportant que les coefficients du polynôme. Ainsi la matrice $[2,3,5]$ correspondra au polynôme $P(X) = 2 + 3X + 5 X^2$.
\begin{enumerate}
\item A quel polynôme correspondra la matrice $[1,0,2,4]$ ?
\item \'Ecrire $P_1(X)$ et $P_2(X)$ des questions $1(b)$ et $1(c)$ en Scilab. 
\item Si un polynôme est de degré $n$, quelle sera la taille de sa matrice associée en Scilab ?
\item Compléter la fonction suivante qui pour un polynôme quelconque, permet d'obtenir le polynôme dérivée :
\begin{verbatim}
function Q = derive(P)
    n = size(P) \\permet d'obtenir la taille de la matrice P
    if n == 1
        Q = [.....]
    else 
        Q = zeros(1,......)
        for k = 1 : ......
            Q(k) = ............
        end
    end
endfunction
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section*{Exercice IV - Obligatoire pour le groupe 1}


On d\'{e}signe par $n$ un entier naturel non nul et l'on se propose
d'\'{e}tudier les racines positives de l'\'{e}quation $e^{x}=x^{n}$que l'on
note $(E_{n}).$ A cet effet on introduit la fonction $f_{n}$d\'{e}finie par 
\[
f_{n}(x)=1-x^{n}e^{-x}. 
\]

\begin{enumerate}
\item  Etude des racines positives des \'{e}quations $\left( E_{1}\right) $
et $\left( E_{2}\right) $

\begin{enumerate}
\item  Etudier et repr\'{e}senter sur $[0,+\infty [$ les fonctions $f_{1}$
et $f_{2}$

\item  Etudier l'existence de racines positives pour les \'{e}quations $%
\left( E_{1}\right) $ et $\left( E_{2}\right) $.
On rapelle que $2<e<3$

\item \'Ecrire un script scilab permettant de représenter les fonctions $f_1$ et $f_2$ sur $[0;5]$ avec un pas $h=0.01$.

\end{enumerate}

\item  Etude des racines positives de l'\'{e}quations $\left( E_{3}\right) $

\begin{enumerate}
\item  Etudier et repr\'{e}senter sur $[0,+\infty [$ la fonction $f_{3}$. On
donne les valeurs approch\'{e}es : $e^{2}\simeq 7,4;\;e^{3}\simeq
20,1;\;e^{4}\simeq 54,6;\;e^{5}\simeq 148,4$

En d\'{e}duire que l'\'{e}quation $\left( E_{3}\right) $ admet deux racines
positives $u$ et $v$ telles que $1<u<v$ , et encadrer chacunes d'elles par
deux entiers cons\'{e}cutifs.

\item  Soit la suite d\'{e}finie par la relation $y_{n+1}=3\ln (y_{n})$ et
la condition initiale $y_{0},$o\`{u} $y_{0}$ est un nombre r\'{e}el
strictement sup\'{e}rieur \`{a} $u.$

\begin{itemize}
\item  Montrer que si $u<y_{0}\le v$, alors pour tout entier naturel $%
n,\;u<y_{n}\le v$.

\item  Montrer que si $v\le y_{0}$, alors pour tout entier naturel $n,\;v\le
y_{n}$.

\item  \'Etudier le signe de $y_{n+1}-y_{n}$ en fonction du signe de $%
y_{n}-y_{n-1}$
\end{itemize}

En d\'{e}duire selon la position de $y_{0}$ par raport \`{a} $v,$ le sens de
variation de la suite $\left( y_{n}\right) .$

\end{enumerate}

\item  Etude des racines positives de l'\'{e}quation $\left( E_{n}\right) $
pour $n\ge 3$.

\begin{enumerate}
\item  Etudier sur $[0,+\infty [$ la fonction $f_{n}.$ En d\'{e}duire que
l'\'{e}quation $\left( E_{n}\right) $ admet deux racines positives $u_{n}$
et $v_{n}$ telles que $1<u_{n}<v_{n}$.

\item  D\'{e}terminer pour $n\ge 4,$ le signe de $f_{n}(u_{n-1})$.
D\'{e}duire des variations de la fonction $f_{n},$ le sens de variation de
la suite $(u_{n})$ puis prouver la convergence de celle-ci.

\item  Montrer que $u_{n}=\exp (u_{n}/n)$. En déduire que la limite de $(u_n)$ est $1$. 

\item  D\'{e}terminer, pour $n\ge 4$ le signe de $f_{n-1}\left( v_{n}\right)
.$ D\'{e}duire des variations de la fonction $f_{n},$ le sens de variation
de la suite $(v_{n}),$..

\item  On pose pour tout r\'{e}el $x>1:g\left( x\right) =x-\ln \left(
x\right) .$ Montrer (\`{a} l'aide d'un th\'{e}or\`{e}me dont on rapellera
l'\'{e}nnonc\'{e}) que $g$ r\'{e}alise une bijection de $\left] 1,+\infty
\right[ $ sur $\left] 1,+\infty \right[ .$

\'Etablir que $g\left( v_{n}/n\right) =\ln \left( n\right) ,$ montrer \`{a}
l'aide de $g^{-1}$ (bijection r\'{e}ciproque de $g$) que $v$ tend vers $%
+\infty ,$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}