\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n�5}
\lfoot{}
\cfoot{\'Etude de fonction, Variable al�atoire.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 16 D�cembre 2019}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1} %Ecricome ECE 2015
\newcommand{\e}{e}

L'exercice se propose d'\'etudier la fonction $f$  d\'efinie sur $\R$ par~:
        pour tout $x$  r\'eel, $f(x)=\e^{-x}\ln(1+\e^x)$.

\subsubsection*{\'Etude d'une fonction $\bf g$  interm\'ediaire.}

On consid�re la fonction  d\'efinie sur $\R_+$ par~:
$$\forall t\ge 0,\qquad g(t)={t\over t+1}-\ln(1+t)$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $g$ est continue sur $\R_+$.
\item D�terminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$. 
\item D\'eterminer la fonction d\'eriv\'ee $g'$ de $g$ et en donner son signe sur $\R_+$.
\item En d\'eduire les variations de la fonction $g$ et montrer que~: \quad $\forall
t\ge 0,\;g(t)\le 0$.
\end{enumerate}
\subsubsection*{\'Etude de la fonction $\bf f$.}
\begin{enumerate}[start = 5]
\item D\'emontrer que l'on a , pour tout $x$  r\'eel~: $f'(x)=\e^{-x}g(\e^x)$
\item D�terminer les limite de $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$
\item \'Etudier alors les variations de la fonction $f$ et tracer son tableau de variation.
\item Sachant que $\ln2\simeq 0.69$ et que $\displaystyle {\ln(1+\e)\over \e}\simeq
0.48$, montrer que l'on a,pour tout $x$ de l'intervalle $[0,1]$~:$$0\le f(x)\le
1$$
\end{enumerate}


\section*{Exercice 2 - D�nombrement}
\subsection*{PARTIE I. Un jeu en ligne.}

La soci\'{e}t\'{e} Lehazard met \`{a} la disposition de ses clients un
nouveau jeu en ligne dont la page d'\'{e}cran affiche une grille \`{a} trois
lignes et trois colonnes.

Apr\`{e}s une mise initiale de $2$ euros du joueur, une fonction al\'{e}%
atoire place au hasard successivement trois jetons $\left( \bigstar \right) $
dans trois cases diff\'{e}rentes. La partie est gagn\'{e}e si les trois
jetons sont align\'{e}s. Le gagnant empoche $10$ fois sa mise, ce qui lui
rapporte $18$ euros \`{a} l'issue du jeu. Dans le cas contraire la mise
initiale est perdue par le joueur.%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
& $A$ & $B$ & $C$ \\ \hline
$1$ & $\bigstar$ &  &  \\ \hline
$2$ & $\bigstar$ &  &  \\ \hline
$3$ &  & $\bigstar$ &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{equation*}

On d\'{e}finit les \'{e}v\'{e}nements $H,$ $V,$ $D,$ $N$ par :

\begin{itemize}
\item $H$ : "les trois jetons sont align\'{e}s
horizontalement " .

\item $V$ :" les trois jetons sont align\'{e}s verticalement 
" .

\item $D$ : " les trois jetons sont align\'{e}s en diagonale 
" .

\item $N$ : " les trois jetons ne sont pas align\'{e}s 
" .
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il y a $84$ positionnements possibles des trois jetons
dans les trois cases.

\item D\'{e}terminer les probabilit\'{e}s $\mathrm{P}\left( H\right) ,\ 
\mathrm{P}\left( V\right) ,\ \mathrm{P}\left( D\right) $ des \'{e}v\'{e}%
nements $H,.V,.D$.

\item En d\'{e}duire que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $N$ est 
\'{e}gale \`{a} :%
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( N\right) =\frac{19}{21}\simeq0.9048 
\end{equation*}

\item La soci\'{e}t\'{e} peut s'attendre \`{a} $10~000$ relances par jour de
ce jeu.

\begin{enumerate}
\item Pour chaque entier naturel $i$ non nul. on note $Z_{i}$ le gain de la
soci\'{e}t\'{e} \`{a} la $i^{\grave{e}me}$ relance.

Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique $E\left( Z_{i}\right) $ de $Z_{i}$
.

\item Quel gain journalier $Z$ la soci\'{e}t\'{e} peut-elle esp\'{e}rer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE II. Cas de joueurs inv\'{e}t\'{e}r\'{e}s.}

\begin{enumerate}
\item Un Joueur d\'{e}cide de ,jouer $100$ parties cons\'{e}cutives que l'on
suppose ind\'{e}pendantes.

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de la variable al\'{e}atoire $X$ \'{e}gale au nombre de
parties gagn\'{e}es.

\item Indiquer l'esp\'{e}rance et la variance de $X$.

\item Exprimer la perte $T$ du joueur en fonction de $X$.
\end{enumerate}

\item Quel nombre minimum $n$ de parties devrait-il jouer pour que la
probabilit\'{e} de gagner au moins une partie soit sup\'{e}rieure ou \'{e}%
gale \`{a} $50\%$ ? (On admettra que $\ln \left( \dfrac{19}{21}\right)
\simeq-0,1$ et $\ln \left( 2\right) \simeq0,7$ )
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE III. Contr\^{o}le de la qualit\'{e} du jeu.}

On constate que, parfois, la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}r\'{e}gl\'{e}%
e. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la case $\left( A,1\right) $
, les deux autres \'{e}tant plac\'{e}s au hasard dans les cases restantes.
On note $\Delta$ l'\'{e}v\'{e}nement "la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}%
r\'{e}gl\'{e}e" et on pose $\mathrm{P}\left( \Delta \right) =x$ avec $x\in %
\left] 0,1\right[ $.

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilit\'{e}s conditionnelles $\mathrm{P}_{\Delta
}\left( H\right) ,\ \mathrm{P}_{\Delta}\left( V\right) ,\ \mathrm{P}%
_{\Delta}\left( D\right) $ des \'{e}v\'{e}nements $H,$ $V$,\ $D$ sachant l'%
\'{e}v\'{e}nement $\Delta.$

\item Utiliser la formule des probabilit\'{e}s totales avec le syst\`{e}me
complet d'\'{e}v\'{e}nement $\left( \Delta,\overline{\Delta}\right) $ pour
en d\'{e}duire que la probabilit\'{e} les jetons ne soient pas align\'{e}s
est \'{e}gal \`{a} $:$%
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( N\right) =-\frac{x}{84}+\frac{19}{21}
\end{equation*}

\item Soit $G$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au gain r\'{e}alis\'{e}
par la soci\'{e}t\'{e} de jeu lors d'une partie jou\'{e}e. D\'{e}terminer la
valeur maximale de $x$ pour que l'esp\'{e}rance de gain soit positive.

\item On joue une partie. On constate que les jetons sont align\'{e}s.
Quelle est la probabilit\'{e}, en fonction de $x,$ que la fonction al\'{e}%
atoire ait \'{e}t\'{e} d\'{e}r\'{e}gl\'{e}e ?
\end{enumerate}


\end{document}