\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°4}
\lfoot{}
\cfoot{Sommes et Dénombrement.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 25 Novembre 2019}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1} %Ecricome ECE 2015

Soit $n \in \N$ et $\ds S_n = \sum_{k = 0}^n (2k+1)^3$. On propose 3 méthodes de calcul de $S_n$.
\begin{enumerate}
\item {\bf Première méthode}
\begin{enumerate}
\item Soit $k \in \entier{0,n}$. Développer $(2k+1)^3$. 
\item En déduire alors que $S_n = (n+1)^2 (2n^2 + 4n+1).$
\end{enumerate}
\item {\bf Deuxième méthode}
Montrer par récurrence que $S_n = (n+1)^2(2n^2 + 4n+1)$. 
\item {\bf Troisième méthode}
On introduit $\ds T_n = \sum_{k=0}^n (2k)^3$ et $\ds U_n = \sum_{k=0}^{2n+1} k^3$.
\begin{enumerate}
\item Comparer $S_n + T_n$ et $U_n$.
\item Calculer $T_n$ et $U_n$.
\item En déduire alors que $S_n = (n+1)^2 (2n^2 + 4n +1)$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Tournoi de Poker}

Vous vous inscrivez à un tournoi de Poker no-limit Texas Hold'em amateur dans lequel 100 joueurs participent dont 25 \% de filles. Au début du jeu chaque joueur reçoit le même nombre de jetons. Lorsque l'on n'a plus de jetons, on est éliminé du tournoi. Les meilleurs joueurs reçoivent un lot. \\

Règles du no-limit Texas Hold'em : Le jeu se joue avec un jeu de 52 cartes (4 couleurs, 13 valeurs) en plusieurs phases: \\
{\bf Préflop :} Chaque joueur reçoit 2 cartes faces cachées. $\rightarrow$  {\it Tour de mise}\\
{\bf Flop :} On met 3 cartes visibles de tous sur le board. $\rightarrow$   {\it Tour de mise}\\
{\bf Turn :} On rajoute 1 carte visible de tous sur le board. 
$\rightarrow$  {\it Tour de mise}\\
{\bf River :} On rajoute 1 carte visible de tous sur le board.  
$\rightarrow$  {\it Tour de mise}\\

Le but est d'avoir la meilleur combinaison de 5 cartes en prenant les 2 cartes cachées et les 5 cartes visibles sur le board. Voici les différentes combinaisons possibles de la moins forte à la plus forte :
\begin{enumerate}
\item {\bf La paire :} Avoir 2 cartes de même valeur (exemple : $\text{A} \diamondsuit - \text{A}\clubsuit - \text{4} \heartsuit - \text{6}\spadesuit - 2 \clubsuit$)
\item {\bf La double paire :} Avoir 2 fois 2 cartes de même valeur (exemple : $\text{A} \diamondsuit - \text{A}\clubsuit - \text{2} \heartsuit - \text{6}\spadesuit - 2 \clubsuit$)
\item {\bf Le brelan :} Avoir 3 cartes de même valeur (exemple : $\text{A} \diamondsuit - \text{A}\clubsuit - \text{A} \heartsuit - \text{5}\spadesuit - 2 \clubsuit$)
\item {\bf La suite :} Avoir 5 cartes qui se suivent (exemple : $6 \heartsuit$ - $7\diamondsuit$ - $8\clubsuit$ - $9\spadesuit$ - $10\clubsuit$)
\item {\bf La couleur :} Avoir 5 cartes de la même couleur (exemple : $3 \clubsuit$ - $6\clubsuit$ - $8\clubsuit$ - $10\clubsuit$ - $\text{A}\clubsuit$)
\item {\bf Le full :} Avoir en même temps une paire et un brelan (exemple : $\text{A} \clubsuit - \text{A} \spadesuit - \text{A} \heartsuit - 5 \spadesuit - 5 \heartsuit$)
\item {\bf Le carré :} Avoir 4 cartes de même valeur (exemple : $\text{A} \diamondsuit - \text{A}\clubsuit - \text{A} \heartsuit - \text{A}\spadesuit - 2 \clubsuit$)
\item {\bf La suite couleur ou quinte flush :} Avoir 5 cartes qui se suivent et de même couleur (par exemple $6 \clubsuit$ - $7\clubsuit$ - $8\clubsuit$ - $9\clubsuit$ - $10\clubsuit$)
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item{\bf Tirage au sort de la place.} Les joueurs sont répartis sur 10 tables de 10 places. On note traditionnellement la place $t - p$ ou $t$ est le numéro de la table et $p$ le numéro de la place à table. Ainsi se trouver en $1-6$ signifie être à la table n°1, siège n°6.  Le tirage au sort de la place se fait de manière équiprobable. 
\begin{enumerate}
\item Quel est l'univers $\Omega$ et la loi de probabilité associée à cette expérience. 
\item En déduire la probabilité d'être en $1-6$ ?
\item Quelle est la probabilité de se trouver au siège n°1 (quelque soit la table) ?
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait 3 filles à une même table ?
\end{enumerate}
Après tirage au sort, vous êtes à la table n°1, siège n°6.
\item {\bf Répartition des prix.} Seul les 10 premiers joueurs recevront un lot (différent en fonction de leur classement). En admettant que chacun ait autant de chance de gagner, donner
	\begin{enumerate}
	\item le nombre de répartition des lots possible entre les 100 joueurs
	\item votre probabilité d'avoir un lot. 
	\item la probabilité que toute la table n°1 ait un lot
	\item la probabilité qu'au moins une fille ait un lot. 
	\end{enumerate}
\item {\bf Préflop} Vous recevez deux cartes face cachée (Comme on ne connait pas les cartes des autres joueurs, on considère que ces 2 cartes sont tirés aléatoirement dans le paquet de 52 cartes). 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'avoir $A\heartsuit A\spadesuit$ ?
\item Quelle est la probabilité d'avoir une paire d'As ?
\item Quelle est la probabilité d'avoir une paire ?
\item Quelle est la probabilité d'avoir 2 cartes de la même couleur ?
\end{enumerate}
On reçoit $A \heartsuit Q \heartsuit$ (As et Dame de coeur).
\item {\bf Flop} On tire les 3 cartes du flop visibles de tous (Attention, dans cette partie on sait qu'on ne peut pas tirer l'As de coeur ou la dame de coeur puisqu'on les a en main)
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité d'obtenir une couleur (3 cartes de coeur au flop) est $\dfrac{33}{3920}$.
\item Quelle est la probabilité d'obtenir 2 cartes de coeur au flop ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un carré dès le flop ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un full dès le flop?
\end{enumerate}
Le flop tombe : $J \heartsuit - 2 \spadesuit - 7 \clubsuit$ (Valet de coeur, 2 de pique et 7 de trèfle) - Il reste donc 47 cartes dans le paquet. Nous n'avons aucune combinaison.
\item {\bf Turn} On tirera une nouvelle carte visible de tous. 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une paire sur la turn ? (c'est à dire tirer un As, une Dame, un valet, un sept ou un 2 ?)
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une couleur sur la turn ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une couleur en comptant la turn et la river ?
\end{enumerate}
La turn est un : $10 \heartsuit$. Nous n'avons toujours pas de combinaison mais nous avons plusieurs possibilités selon la river
\item {\bf River} On tire la dernière carte visible de tous. 
\begin{enumerate}
\item Combien de cartes nous permettent d'obtenir : une paire d'As ou de dame ? une couleur ? une suite ? une quinte flush ?
\item En déduire la probabilité de chacun de ces évènements. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}