\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°3}
\lfoot{}
\cfoot{Sommes et Matrices.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 4 Novembre 2019}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 - Calculs de Somme}
Calculer les sommes suivantes et donner le résultat sous forme factorisée et simplifiée :
\begin{qmulti}{4}
\item $ \displaystyle \sum_{k=0}^n k(k-2)$.
\item $ \displaystyle \sum_{k=2}^n x^{2k + 2}$.
\item $ \displaystyle \sum_{k=4}^{n+3} (k-3)^3$
\item $ \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^{k+1} 3^{n-k}$
\end{qmulti} 


\section*{Exercice 2 - Puissances de matrices}
\subsection*{I - Cas d'une matrice de $\mathcal{M}_2(\R)$}
On considère les suites $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ définies par $a_0 = 1$, $b_0 = 2$ et 
$$
 \begin{cases}
 a_{n+1} = 3a_n + b_n \\
 b_{n+1} = -2 a_n 
 \end{cases}
$$
ainsi que les matrices $A = \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-2 & 0
\end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix}
1 & -2 \\
-2 & 2
\end{pmatrix}$
\subsubsection*{Résolution numérique}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le programme scilab suivant permettant de calculer le 100ème terme des suites $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$. 
\begin{verbatim}
//initialisation
a = .........
b = .........

// calculs
for k = 1: ...... 
    temp = .........
    .... = 3*a + b
    b    = .........
end

// conclusion
disp('Le 100ème terme de la suite a est" + string(.......))
disp('Le 100ème terme de la suite b est" + string(.......))
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Résolution en utilisant les suites}
\begin{enumerate}[start=2]
\item  Montrer que pour tout $n \in \N$, $(a_n)_{n \in \N}$ est une suite récurrente linéaire d'ordre 2. 
\item Déterminer $a_n$ pour tout $n$ entier. 
\item En déduire $b_n$ pour tout $n$ entier. 
\end{enumerate}

\subsubsection*{Résolution en utilisant les matrices}
\begin{enumerate}[start=5]
\item Montrer que la matrice $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$. 
\item Calculer $D = P^{-1} A P$. 
\item En déduire $D^n$ pour tout entier $n$. 
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $A^n = P D^n P^{-1}$. 
\item On note $X_n = \begin{pmatrix}
a_n \\
b_n
\end{pmatrix}$. Déterminer une relation matricielle entre $X_{n+1}$ et $X_n$. 
\item Montrer par récurrence que $X_n = A^n X_0$. 
\item En déduire $a_n$ et $b_n$ pour tout $n$ entier. 
\end{enumerate}

\subsection*{II - Cas d'une matrice de $\mathcal{M}_3(\R)$}
Dans cette partie, on introduit les matrices 
$$
B = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 \\
1 & -1& 2 \\
0 & -1 & 1 
\end{pmatrix},
\qquad
C = \begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
0 & 1& -1 \\
1 & -1 & 2 
\end{pmatrix},
\qquad 
T = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}.
$$
L'objectif est de calculer $B^n$ pour tout entier $n$. 
\begin{enumerate} 
\item Calculer $B \times (B-I_3)^2$. Que peut-on en déduire sur l'inversibilité de la matrice $B$ ? 
\item Calculer $C (C-I_3)(2I_3 - C)$. 
\item En déduire que $C$ est inversible et déterminer $C^{-1}$. 
\item Montrer que $B = C^{-1} \times T \times C$. 
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, 
$$
T^n = \begin{pmatrix}
0 & 1 & n+1\\
0 & 1 & n \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}.
$$
\item En déduire $B^n$ pour tout $n \in\N$. 
\end{enumerate}


\end{document}