\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°2}
\lfoot{}
\cfoot{Suites et Probabilités.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 9 Octobre 2019}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 - Démonstration par récurrence}
Les questions suivantes sont indépendantes :
\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)_{n\in \N}$ une suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}$. Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N, u_n = \dfrac{2}{2n+1}$.
\item Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1} = \dfrac{\sqrt{1+2u_n}}{2}$. Démontrer  par récurrence que pour tout $n \in \N^*$ on a $0 < u_n \leq 1$.
\end{enumerate}


\section*{Exercice 2}
\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie par 
$$
f(x) = x \ln(1+x)
$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$. 
\item La fonction $f$ admet-elle une parité ? Si oui laquelle ?
\item Calculer les limites de $f$ au bord du domaine de définition. 
\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$. 
\item En déduire son tableau de variations. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = x$. 
\item Résoudre l'inéquation $f(x) \geq x$. 
\end{enumerate}
\item On définit la suite $(u_n)_{n \in \N}$ par 
$$
\begin{cases}
u_0 \in ]0 ; e-1[ \\
u_{n+1} = f(u_n) = u_n \ln(u_n +1)
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N$, $u_n$ existe et $u_n \in ]0; e-1[$.  
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est décroissante. 
\end{enumerate}
\item On définit la suite $(u_n)_{n \in \N}$ par 
$$
\begin{cases}
u_0> e-1 \\
u_{n+1} = f(u_n) = u_n \ln(u_n +1)
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N$, $u_n$ existe et $u_n > e-1$. 
\item Quelle est la monotonie de la suite $(u_n)$ ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 3}%ECRICOME ECT 2011 - Exercice 1
Chaque jour, une entreprise envoie un colis. Deux sociétés sont utilisées : la société A et la société B: La probabilité pour que la société A livre le colis en retard est de 0,1 alors que la probabilité que la société B livre le colis en retard est de 0,2 : On se propose d'étudier diverses situations liées à ces données.

\subsection*{Situation 1}
Pour des raisons tarifaires, l'entreprise décide d'utiliser la société B dans 60\% des cas, et la société A sinon.
\begin{enumerate}
\item Un jour donné, calculer la probabilité que le colis arrive en retard.
\item Un jour donné, le colis arrive en retard. Quelle est la probabilité qu'il ait été livré par la société A?
\end{enumerate}

\subsection*{Situation 2}
Dans cette situation, il est décidé que le premier jour, l'entreprise utilise la société B. Puis si au jour $n$ ($n \in \N^*$), le colis arrive en retard, alors l'entreprise choisit la société A au jour $n + 1$, et sinon, elle choisit la société B. 
On introduit pour tout $n \in \N$, l'événement $R_n$ : " le colis arrive en retard au jour n", et on note $p_n = P(R_n)$:
\begin{enumerate}
\item Déterminer $p_1$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $p_{n+1} = -0,1p_n + 0,2$
\item En déduire $p_n$ en fonction de $n$.
\item \'Ecrire un programme scilab qui calcule et affiche les termes de $p_1$ à $p_n$ où $n$ est un entier naturel entré par l'utilisateur.
\end{enumerate}

\subsection*{Situation 3}
Finalement, l'entreprise décide d'utiliser les sociétés en fonction de leurs précédentes réussites. Pour cela ils utilisent une urne contenant des boules rouges et vertes. Chaque jour, l'entreprise tire une boule. Si la boule tirée est rouge, l'entreprise utilisée la société A. Sinon elle utilise l'entreprise B. Enfin,
\begin{itemize}
\item Au jour 1, on a 1 boule rouge et 1 boule verte.
\item Si la société A est en retard, on rajoute une boule verte dans l'urne.
\item Si la société B est en retard, on rajoute une boule rouge dans l'urne. 
\end{itemize}
On notera les évènements 
\begin{itemize}
\item $R_n$ : "Le colis arrive en retard au jour $n$".
\item $A_n$ : "On choisit la société A au jour $n$". 
\item $B_n$ : "On choisit la société B au jour $n$". 
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Que dire des évènements $A_n$ et $B_n$ ?
\item Calculer $P(A_1)$ et $P(B_1)$.
\item Sachant qu'au premier jour, on a choisi la société A et que le colis a été livré en retard, quelle est la probabilité de choisir la société A au deuxième jour ? 
\item Calculer la probabilité d'avoir choisi la société $A$ au jour 1 et au jour 2.
\item Calculer $P(A_2)$. En déduire $P(B_2)$. 
\item Expliquer ce que fait ce programme scilab en commentant chaque ligne. 
\end{enumerate}


\end{document}