\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°12}
\lfoot{Séries}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 11 Mai}
\end{center}
\vspace{30pt}


\subsection*{Exercice 1 - Obligatoire Groupe 7 à 11}
{\it Cet exercice devra être rédigé d'une façon particulière. 
\begin{itemize}
\item Tous les raisonnements devront être sous la forme : \\
Je sais que ..(Hypothèses de l'exercice, questions précédentes ...) \\
Or j'ai appris que .. (Résultat de cours recopié ou nom du théorème s'il en a un) \\
Donc je conclus que ...(Conclusion) \\
Il faut noter les phrases "Je sais que, or j'ai appris que, donc je conclus que"
\item 
Toute ligne de calcul devra être justifiée en précisant la formule du cours utilisée pour passer d'une ligne à la suivante. 
\end{itemize}
Tout manquement aux consignes sera compté comme 0 pour la question.  }


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $h$ d\'efinie sur $\mathbb{R}$
par $h(x)=x^4-4x+1$\\
On pr\'ecisera les limites aux bornes.

\item En d\'eduire que l'\'equation $\quad (E) \ : \ x^4-4x+1=0$ \quad
 admet exactement deux solutions r\'eelles\\ $\alpha$
et $\beta$ (en notant $\alpha$ la plus petite).

\item Justifier que \quad $\alpha \in [0;1[$ et $\beta>1$.
\end{enumerate}

\item On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $[0;1]$ par : \quad $g(x)=%
\dfrac{x^4+1}{4}$.\\[0.2cm]
On d\'efinit alors une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ par son premier terme
$u_0=0$ et la relation, valable pour tout entier naturel $n$ : \quad $%
u_{n+1}=g(u_n)$.

\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de $g$ (on pr\'ecisera les valeurs aux
bornes).
\item V\'erifier que $g(\alpha)=\alpha$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\in [0;\alpha]$.
\item Etudier la monotonie de $(u_n)$.
\item En déduire que la suite converge et donner sa limite.
\item Ecrire un programme en Scilab qui demande une entier $n$ à l'utilisateur et qui renvoie la valeur de $u_n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 - Lois de probabilités - Groupes 10 et 11}
Reprendre l'exercice 17 de la feuille d'Exo 19 en justifiant chaque ligne de calcul en précisant la formule de cours utilisée
\begin{enumerate}
\item Soit $p \in ]0,1[$ et $q = 1-p$. Montrer que les séries suivantes convergent et que :
$$
\sum_{n=1}^{+\infty}p q^{n-1} = 1, \quad \sum_{n=1}^{+\infty} n p q^{n-1} = \frac{1}{p}, \quad \sum_{n=1}^{+\infty}n^2p q^{n-1} = \frac{q+1}{p^2}.
$$
\item Soit $\lambda \in \R$. Montrer que les séries suivantes convergent et que :
$$
\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} = 1, \quad \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n \lambda^n e^{-\lambda}}{n!} = \lambda, \quad 
\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^2 \lambda^n e^{-\lambda}}{n!} = \lambda (\lambda +1).
$$
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 - Groupe 3 à 11}
\begin{enumerate}
\item Soit $\dis T_n= \sum_{k=1}^n k^2$. Rappeler la valeur de $T_n$ en fonction de $n$.
\item Montrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul on a : $x-\dfrac{x^2}{2}  \leq \ln(1+x) \leq x$
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$ définie par : $\dis \quad u_n= \sum_{k=1}^n \ln(1+\dfrac{k}{n^2})$ pour $n>0$
\item En déduire la limite de la suite $(v_n)$ définie par : $\dis \quad v_n= \prod_{k=1}^n (1+\dfrac{k}{n^2})$ pour $n>0$
\item Ecrire un script en Scilab qui calcule et affiche les valeurs de $u_n$ et $v_n$ lorsque $n$ est un entier naturel non nul entré au clavier par l'utilisateur. 
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 - Lois de probabilités - Groupes 1 à 9}
Le but de cet exercice est de calculer des sommes liées à des lois de probabilités qui ne sont pas au programme d'ECE. Comme dans l'exercice 17 de la feuille d'exo 19, si l'on dispose de la valeur de $P(X = k)$ pour $k \in \N$, on cherchera à vérifier que 
$\ds \sum_{n = 0}^{+\infty} P(X = n)$ et à calculer $E(X) = \ds \sum_{n = 0}^{+ \infty} n P(X = n)$ et $E(X^2) = \ds \sum_{n = 0}^{+ \infty} n^2 P(X = n)$. 

\begin{enumerate}
\item Loi logarithmique : La loi logarithmique est donnée pour un paramètre $p \in ]0;1[$ par 
$$
\forall k \in \N^*,\quad P(X = k) = \dfrac{-1}{\ln(1-p)} \dfrac{p^k}{k} 
$$

\begin{enumerate}
\item On pose la fonction $f_n(x)= \ds \sum_{k = 1}^n x^{k-1}$. Rappeler l'autre formule pour $f_n(x)$. 
\item En intégrant les deux formules entre 0 et $p$, montrer que 
$$
\int_0^p f_n(x) dx = \sum_{k=1}^n \dfrac{p^k}{k} = -\ln(1 -p) - \int_0^{p} \dfrac{x^{n}}{1-x} dx
$$
\item Montrer que 
$$
0 \leq \int_0^{p} \dfrac{x^{n}}{1-x} dx \leq \dfrac{1}{(n+1)(1-p)}
$$
\item En déduire que $\li_{n \to + \infty} \ds \int_0^{p} \dfrac{x^{n}}{1-x} dx = 0$. 
\item Montrer en justifiant soigneusement que $\ds \sum_{k \geq 1}  P(X = k)$ converge et 
$$
\sum_{k = 1}^{+\infty} P(X = k) = 1
$$
\item Montrer que $\ds \sum_{k \geq 1} k P(X = k)$ et $\ds \sum_{k \geq 1} k^2 P(X = k)$ convergent et déterminer leurs sommes. 
\end{enumerate}
\item Loi Zêta de Riemann. En probabilité, on dit qu'une variable aléatoire suit une loi zêta de paramètre $s$ si 
$$
P(X = k ) = \dfrac{k^{-s}}{\zeta(s)}
$$
où $\zeta$ est la fonction zêta de Riemann définit par $\zeta(s) = \ds \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^s}$ 
\begin{enumerate}
\item D'après le cours, pour quelles valeurs de $s$ la fonction $\zeta$ est-elle définie ?
\item Montrer que pour ces valeurs de $s$, on a bien 
$$
\sum_{k=1}^{+ \infty} P(X=k) = 1
$$
\item Déterminer à quelles conditions $\ds \sum_{k \geq 1} k P(X = k)$ et $\ds \sum_{k \geq 1} k^2 P(X = k)$ convergent et montrer que dans ces cas :
$$
\sum_{k=1}^{+ \infty} kP(X=k) = \dfrac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} \quad \text{et} \quad \sum_{k=1}^{+ \infty} k^2 P(X=k) = \dfrac{\zeta(s-2)}{\zeta(s)}
$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{Exercice 5 - Issue de EDHEC - Groupes 1 à 6}

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n}=\displaystyle \prod_{k=0}%
^{n}\left(  1+\dfrac{1}{2^{k}}\right)  =(1+1)\left(  1+\dfrac{1}{2}\right)
\left(  1+\dfrac{1}{4}\right)  \cdots \left(  1+\dfrac{1}{2^{n}}\right)  $.

\begin{enumerate}
\item Donner, sous forme d'entiers ou de fractions simplifi\'{e}es, les
valeurs de $u_{0},u_{1}$ et $u_{2}$.

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n}\geq2$.

\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ puis en d\'{e}duire les
variations de la suite $(u_{n})$.

\item \'{E}tablir que, pour tout r\'{e}el $x$ strictement sup\'{e}rieur \`{a}
$-1$, on a : $\ln(1+x)\leq x$.

\item En d\'{e}duire, pour tout entier naturel $n$, un majorant de $\ln
(u_{n})$.
\end{enumerate}

\item En utilisant les questions pr\'{e}c\'{e}dentes, montrer que la suite
$(u_{n})$ converge vers un r\'{e}el $\ell$, \'{e}l\'{e}ment de $\left[
2,\mathrm{e}^{2}\right] $.

\item On se propose dans cette question de d\'{e}terminer la nature de la
s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $(\ell-u_{n})$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $(\ln(u_{n}))_{n\in{\mathbf{N}}}$ converge et que
l'on a : $\ln(\ell)=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\ln \left(  1+\dfrac
{1}{2^{k}}\right)  $.

\item Montrer que, pour tout $n$ de ${\mathbf{N}}$, on a $\ln \left(
\dfrac{\ell}{u_{n}}\right)  =\displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty}\ln \left(
1+\dfrac{1}{2^{k}}\right)  $.

\item V\'{e}rifier, en utilisant le r\'{e}sultat de la question 3a), que
$\forall n\in{\mathbf{N}},\,0\leq \ln \left(  \dfrac{\ell}{u_{n}}\right)
\leq \dfrac{1}{2^{n}}$.

\item D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente que $\forall
n\in{\mathbf{N}}$, $0\leq \ell-u_{n}\leq \ell \left(  1-\mathrm{e}^{-\frac
{1}{2^{n}}}\right)  $.

\item Justifier que, pour tout r\'{e}el $x$, on a $1-\mathrm{e}^{-x}\leq x$.
En d\'{e}duire que $\forall n\in{\mathbf{N}}$, $0\leq \ell-u_{n}\leq \dfrac
{\ell}{2^{n}}$.

Conclure quant \`{a} la nature de la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral
$(\ell-u_{n})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{Exercice - Issue de ESSEC - Groupe 1 et 2}

\bigskip

{\ Dans cette premi\`{e}re partie on consid\`{e}re un ensemble discret \ $%
\mathcal{K}$ \ dont on suppose qu'il est soit fini soit \'{e}gal \`{a}
l'ensemble des entiers naturels }$\mathbb{N}.$ $\mathcal{A}$ {\ d\'{e}signe
l'ensemble de toutes les parties de $\mathcal{K}$ et pour tout }

{\ }$A\in \mathcal{A}${, on note }$\bar{A}${\ le compl\'{e}mentaire de \ }$A$%
{\ \ dans $\mathcal{K}$}.

\bigskip

Soient \ $P$ et $Q$ deux probabilit\'{e}s sur \ $\mathcal{K}$. Pour tout $%
k\in \mathcal{K}$ , on pose \ $p_{k}=P\left( \left\{ k\right\} \right) $ et
\ $q_{k}=Q\left( \left\{ k\right\} \right) $. On rappelle que pour tout \ $%
k\in \mathcal{K},$ $p_{k}\ge 0$ , \ avec $\displaystyle
\sum_{k\in \mathcal{K}}p_{k}=1$. \ De plus toute probabilit\'{e} \ \ $P$ \
est enti\`{e}rement d\'{e}termin\'{e}e par la donn\'{e}e de \ $\left(
p_{k}\right) _{k\in \mathcal{K}}$ puisque pour tout $A\in \mathcal{A},\;%
\displaystyle
P\left( A\right) =\sum_{k\in A}p_{k}$

Lorsque $\mathcal{K}$ \ est fini on d\'{e}finit la \ distance en variation
entre les probabilit\'{e}s \ $P$ \ et \ $Q$ \ par 
\begin{equation}
D\left( P\mathrm{,}Q\right) =\frac{1}{2}\sum_{k\in \mathcal{K}}\left|
p_{k}-q_{k}\right|  \tag{(i)}
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item \ Lorsque \ \ $\mathcal{K=}\left\{ 0;1\right\} $ \ exprimer \ $D\left(
P\mathrm{,}Q\right) $\ \ \ en fonction de \ $p_{1}$ et \ $q_{1}$.

\item Lorsque $\mathcal{K=}\mathbb{N}$ , v\'{e}rifier que la s\'{e}rie de
terme g\'{e}n\'{e}ral $\left( \left| p_{k}-q_{k}\right| \right) _{k\in 
\mathbb{N}}{}_{\text{ \ }}$est convergente.

\hspace{-1cm}On \'{e}tend donc la d\'{e}finition de la distance en variation
donn\'{e}e par $\left( i\right) $ au cas o\`{u} \ $\mathcal{K=}\mathbb{N}$.

\item V\'{e}rifier que pour tout \ $A\in \mathcal{A},\mathcal{\;}\left|
P\left( A\right) -Q\left( A\right) \right| \in \left[ 0,1\right] $.

\item Montrer que pour tout \ $\displaystyle
A\in \mathcal{A},\mathcal{\;}2\left| P\left( A\right) -Q\left( A\right)
\right| =\left| \sum_{k\in A}\left( p_{k}-q_{k}\right) \right| +\left|
\sum_{k\in \bar{A}}\left( p_{k}-q_{k}\right) \right| $

\item En d\'{e}duire que pour tout $A\in \mathcal{A},\mathcal{\;}$%
\begin{equation}
\left| P\left( A\right) -Q\left( A\right) \right| \le D\left( P\mathrm{;}%
Q\right)  \tag{(ii)}
\end{equation}
\ 

\item Montrer que la partie \ $A=\left\{ k\;|\;k\in \mathcal{K}\text{ et }%
q_{k}\ge p_{k}\right\} $ r\'{e}alise l'\'{e}galit\'{e} dans $\left(
ii\right) $, c' est \`{a} dire que 
\begin{equation*}
\left| P\left( A\right) -Q\left( A\right) \right| =D\left( P\mathrm{;}%
Q\right) 
\end{equation*}

\item D\'{e}montrer la formule \ $D\left( P\mathrm{;}Q\right) =1-\sum \left(
p_{k}\wedge q_{k}\right) $

\item On consid\`{e}re un couple de variables al\'{e}atoires $\left(
X,Y\right) $ tel que $X$ soit de loi \ $P$ \ et $Y$ soit de loi $Q$.
Autrement dit, pour tout \ $k\in \mathcal{K},\;$%
\begin{equation*}
\mathbf{P}\left( X=k\right) =p_{k}\quad \text{et\quad }\mathbf{P}\left(
Y=k\right) =q_{k} 
\end{equation*}
Montrer que \ \ $D\left( \mathrm{P;}Q\right) \le \mathbf{P}\left( X\ne
Y\right) $
\end{enumerate}


\end{document}