\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°11}
\lfoot{Espaces vectoriel, \'Etude de fonctions}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 12 Avril 2020}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 - Espaces  vectoriels}
\begin{enumerate}
\item On considère $F = \left\{ \vect{x}{y}{z} \in \M_{3,1}(\R) | -x + y + 2z=0 \; \text{et} \; y - 3z = 0 \right\}$ 
\begin{enumerate}
\item Expliquez ce que fait le programme scilab suivant
\begin{verbatim}
function y = isF(X) \\X doit être un vecteur de taille 3
     y = 1
     if -X(1) + X(2) + 2*X(3) <> 0 then
         y = 0
     end
     if X(2) - 3*X(3) <> 0 then
         y = 0
     end
endfunction
\end{verbatim}
\item Montrer que $F$ est un sous espace vectoriel de $\M_{3,1}(\R)$.
\item \'Ecrire $F$ sous la forme $vect(u)$ avec $u$ un vecteur de $\M_{3,1}(\R)$
\end{enumerate}
\item Dans $M_{3,1} (\R)$ on considère les vecteurs : $u = \vect{1}{0}{1}$, $v = \vect{-1}{0}{2}$ et $w = \vect{1}{1}{1}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(u,v,w)$ est une famille libre de $\M_{3,1}(\R)$. 
\item \'Ecrire le vecteur $\vect{4}{-1}{1}$ comme combinaison linéaire de $u$, $v$ et $w$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 }
\begin{exo}

Soit $f:%
\begin{array}[t]{rcl}
\rbrack -1;+\infty \lbrack & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ 
x & \longmapsto & x\ln \,(1+x)%
\end{array}%
.$\\

On consid\`{e}re la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ d\'{e}finie par $%
u_{0}\in ]0;+\infty \lbrack $ et, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $%
u_{n+1}=f(u_{n}).$

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est de classe $C^{2}$ sur $]-1;+\infty \lbrack $ et
calculer, pour tout $x$ de $]-1;+\infty \lbrack $, $f^{\prime }(x)$ et $%
f^{\prime \prime }(x)$. En déduire que la fonction est convexe sur $]-1;+\infty[$.

\item \'{E}tudier les variations de $f^{\prime }$, puis celles de $f$.

\item Dresser le tableau de variation de $f$ en faisant apparaitre les limites. 

\item R\'{e}soudre l'\'{e}quation $f(x)=x$, d'inconnue $x\in \lbrack
0;+\infty \lbrack .$

\item Donnez la position relative de la courbe par rapport à la droite d'équation $y = x$.

\item Tracer la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans un rep\`{e}re orthonorm%
\'{e} et la droite d'équation $y = x$.
\end{enumerate}



\item On suppose dans cette question : $u_{0}\in \left]0; e-1 \right[
. $

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}:0<u_{n}\leq e-1$.

\item En d\'{e}duire que $u_{n}$ est convergente.

\item Déterminer la limite de $(u_n)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\section*{Exercice 3}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1[$ par $f(0) = 0$ et, pour tout $x>0$, $f(x) = \dfrac{1}{\ln(x)}$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur $[0,1[$. 
\item Déterminer la convexité de $f$ sur $]0,1[$.
\item Montrer que $f$ possède un unique point d'inflexion sur cet intervalle et déterminer la tangente de $f$ en ce point. 
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ ainsi que la tangente calculée précédemment. On prendra $e^{2} \approx 7,3$. 
\end{enumerate}



\end{document}