\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°10}
\lfoot{Intégration.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 25 Mars 2020}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 - Obligatoire pour les groupes 8 à 11}

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{si }x=0 \\ & \\ \dfrac{x}{\ln(1+x)} & \text{si }x\in \left]0;+\infty\right[ \end{array} \right. \]
ainsi que la suite $(u_n)_{n\in \N}$ définie par :
\[ u_0 = e \quad\text{et}\quad \forall n\in \N,\; u_{n+1} = f(u_n) \]

\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ existe.

\item Écrire un programme Scilab qui, pour une valeur $N$ fournie par l'utilisateur, calcule et affiche $u_N$.

\item Montrer que $f$ est continue sur $[0;+\infty[$.

\item Établir que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left]0;+\infty\right[$.

\item Établir que :
\[ \forall x\geqslant e-1,\quad f(x)\leqslant x \quad\text{et}\quad (x+1)\ln(x+1)\geqslant (x+1) \]
En déduire que :
\[ \forall x\geqslant e-1,\quad f'(x)\geqslant 0 \]

\item Démontrer que :
\[ \forall n\in \N,\quad e-1\leqslant u_n \]

\item Établir que la suite $(u_n)_{n\in \N}$ converge et préciser la valeur de sa limite $L$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Obligatoire pour les groupes 7 à 11}
On note $(u_n)_{n \in \N^*}$ la suite définie pour tout entier $n$ strictement positif par :
$$
u_n = \int_0^1 \dfrac{x^{n-1}}{1+x} dx
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer le premier terme $u_1$ de la suite.
\item Montrer que $(u_n)_{n \in \N^*}$  est une suite de réels positifs.
\item Montrer que $(u_n)_{n \in \N^*}$  est une suite décroissante.
\item Montrer que l'on a, pour tout entier $n$ strictement positif : $ u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n}$. 
\item En déduire une fonction Scilab qui prend un entier $n$ strictement positif et qui renvoie $u_n$, le $n$-ième terme de la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$.
\item \'Etablir, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, la double inégalité :
$$
\dfrac{1}{n} \leq 2 u_n \leq \dfrac{1}{n-1}
$$
En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$.
\item À l'aide de l'inégalité précédente, déterminer $\li_{n\to +\infty} n u_n$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Obligatoire pour les groupes 1 à 6}
On consid\`{e}re, pour tout entier naturel $n$, l'application $\varphi _{n}$
d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : 
\[
\forall x\in \mathbb{R},\quad \varphi _{n}\left( x\right) =\left( 1-x\right)
^{n}e^{-2x} 
\]
ainsi que l'int\'{e}grale : 
\[
I_{n}=\int_{0}^{1}\varphi _{n}\left( x\right) \,dx 
\]

On se propose de d\'{e}montrer l'existence de trois r\'{e}els, $a$, $b$, $c$
tels que : 
\[
I_{n}=a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\varepsilon \left(
n\right) \quad \text{avec\quad }\lim_{n\rightarrow +\infty }\varepsilon
\left( n\right) =0 
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$.

\item \'Etudier la monotonie de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}%
}$.

\item D\'{e}terminer le signe de $I_{n}$ pour tout entier naturel $n$

\item Qu'en d\'{e}duit-on pour la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in \mathbb{N%
}} $ ?

\item Majorer la fonction $g:x\rightarrow e^{-2x}$ sur $\left[ 0,1\right] $

\item En d\'{e}duire que : 
\[
\forall n\in \mathbb{N}^{*},\quad 0\le I_{n}\le \frac{1}{n+1} 
\]

\item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, montrer que : 
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad 2I_{n+1}=1-\left( n+1\right) I_{n} 
\]

\item En d\'{e}duire la limite de la suite $\left( n\,I_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( n\left( n\,I_{n}-1\right)
\right) _{n\in \mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item Donner alors les valeurs de $a$, $b$, $c$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 - Obligatoire pour les groupes 3 à 11}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $f(x) = \dis \int_{1}^{x} \frac{e^t}{t} \, dt$.

\vspace{0.2cm}

\noindent \textit{On ne cherchera pas à calculer l'intégrale qui définit} $f(x)$.

\vspace{0.2cm}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et donner, pour tout $x >0$, l'expression de $f'(x)$.
\item Déterminer $f(1)$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in [1,+ \infty[$, $f(x) \geq e \ln(x)$.
\item En déduire $\dis \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)$.
\end{enumerate}
\item On admet que pour tout $x \in ]0,1]$, $f(x) \leq e^x \ln(x)$. Déterminer $\dis \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un unique réel $u_n$ tel que $\dis \int_{1}^{u_n} \frac{e^t}{t} \, dt = n$.
\item En utilisant les variations de $f$, montrer que la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ est croissante.
\item Déterminer $\dis \lim_{n \rightarrow + \infty} u_n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 5 - Obligatoire pour les groupes 1 à 7}
On considère la fonction définie par $F(x) = \ds \int_0^x \dfrac{dt}{1+t^2}.$ 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $F$, et préciser son signe.
\item \'Etudier la parité de $F$. (Penser à un changement de variable)
\item Justifier que $F$ est $C^1$ sur $\R$, puis donner son sens de variation. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item En justifiant que $\forall t \in \R^+$, $\dfrac{1}{1+t^2} \leq \dfrac{2}{(1+t)^2}$, montrer que $\forall x \geq 0, \; F(x) \leq 2$. 
\item En déduire que la fonction $F$ admet une limite $L$ en $+\infty$ et que $L \leq 2$. 
\end{enumerate}
\item Montrer que $\forall x \geq 0$, $F(x) \geq \ds \int_0^x \dfrac{dt}{(1+t)^2}$ et en déduire que $L \geq 1$. 
\item Montrer que l'équation $F(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une et une seule solution sur $[0, + \infty[$.
\item On pose $G(x) = F(x) + F \left(\dfrac{1}{x}\right)$. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $G$ est dérivable sur $\R_+^*$ et calculer $G'$. 
\item En déduire que $\forall x \in \R$, $G(x) = 2 F(1)$. 
\item En faisant tendre $x$ vers $+\infty$ dans $G$, montrer que $L = 2 F(1)$. 
\end{enumerate}  
\end{enumerate}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Exo difficile

\section*{Exercice 6 - Obligatoire pour les groupes 1 et 2}

Soit $x$ un r\'{e}el strictement positif.

On pose pour tout entier naturel $n:$%
\[
S_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k+x+1}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}%
+\ldots 
\]
On se propose d'\'{e}tudier la limite $S(x)$ de $S_{n}(x)$ lorsque $%
n\rightarrow +\infty $.

Pour tout entier naturel $n$ on pose: 
\[
f_{p}(t)=\frac{t^{x+p}}{1+t}\text{ si }0<t\le 1\text{, }f_{p}(0)=0
\]
et $I_{p}(x)=\int_{0}^{1}f_{p}(t)dt$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout entier naturel $p$, l'int\'{e}grale $I_{p}(x)$
existe.

\item  Montrer que pour tout $t$ de $[0,1]:$%
\[
\frac{1}{1+t}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}t^{k}+(-1)^{n+1}\frac{t^{n+1}}{1+t}
\]

\item  D\'{e}duire de ce qui pr\'{e}c\`{e}de que l'on a: 
\[
\int_{0}^{1}\frac{t^{x}}{1+t}dt=S_{n}(x)+R_{n}(x)\text{ o\`{u} }%
R_{n}(x)=(-1)^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{n+x+1}}{1+t}dt
\]

\item  D\'{e}montrer que pour tout entier $n:$%
\[
0\le \int_{0}^{1}\frac{t^{n+x+1}}{1+t}dt\le \frac{1}{n+2}
\]

\item  Conclure que l'on $a:$%
\[
S(x)=\int_{0}^{1}\frac{t^{x}}{1+t}dt
\]

\item  Etude du cas $x=1/2$.

En utilisant le changement de variable $u=t^{1/2}$calculer $S(1/2)$. On
admettra que $\displaystyle
\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}dx=\frac{\pi }{4}$

\item  En d\'{e}duire que l'on a: 
\[
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}=\frac{\pi }{4%
}.
\]
\end{enumerate}

\end{document}