\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°1}
\lfoot{}
\cfoot{Généralités sur les fonctions.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 25 Septembre 2019}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1}
Résoudre les équations et les inéquations suivantes. 
\begin{qmulti}{2}
\item $\ln(x-3) + \ln(x+1) = 3 \ln 2$
\item $|3x +1| + |2x - 4| = 5$
\item $x^2 - 3x \leq 4$
\item $1 + \frac12 x^2 \geq \ln(x)$
\end{qmulti}

\section*{Exercice 2}

Soit $g$ la fonction définie par $g:x \to \ln(1+x^2)$.
\begin{enumerate}
\item
Déterminer son ensemble de définition puis son signe. 
\item Calculer les limites de $g$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item Déterminer la parité de la fonction $g$. 
\item
Dresser alors son tableau de variations. 
\item
On fixe $y\in\R$. Résoudre l'équation d'inconnue $x$, $g(x)=y$ (on distinguera différents cas suivant la valeur de $y$).
\item
En étudiant une fonction annexe, 
déterminer la position relative de la courbe représentative de $g$ et de la droite d'équation $y=x$. 
\item Donner l'allure de la courbe représentative de la fonction $g$ en faisant figurer la droite $y =x$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}%ECRICOME ECT 2011 - Exercice 1
Le but de cet exercice est l'étude de la fonction $f$ définie par :
$$
\forall x \in \R, \quad f(x) = e^x - e^{-x}
$$
et la résolution d'une équation. On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$. 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $f$ et étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathscr{C}_f$ ?
\item Donner les valeurs de $\li_{x \to + \infty} f(x)$ et $\li_{x \to - \infty} f(x)$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour $x$ réel. 
\item Construire le tableau de variation de $f$.
\item Après avoir calculé $f(0)$, déterminer le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 0. On note cette droite $T$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée seconde de $f$ et donnez le signe de $f''(x)$. 
\item Construire sur un même schéma $\mathscr{C}_f$ et $T$. 
\end{enumerate}
\item Soit $n \in \N$, on considère dans cette question à l'équation $(E_n)$ d'inconnue $x$ : $f(x) = n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $(E_n)$ admet une unique solution notée $u_n$ ({\it on ne cherchera pas ici à calculer $u_n$}). Préciser la valeur de $u_0$. 
\item Soit $n \in \N$. Montrer que l'équation $x^2 -nx - 1 = 0$ admet deux solutions réelles que l'on déterminera et dont on précisera les signes. 
\item A l'aide du changement de variable $t=e^x$, déterminer la solution $u_n$ de $(E_n)$ pour $n$ entier naturel. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}