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\lhead{ECE1}
\chead{SIGMA n°3 (type HEC / ESSEC)}
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\rfoot{M Leboucher}
% Question multiple
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\begin{document}
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\vspace*{3cm}

\begin{center}
{\LARGE \textbf{BANQUE COMMUNE D'\'EPREUVES}}

\bigskip\bigskip

{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2019}}

\bigskip

{\large \textbf{Concepteur : HEC / ESSEC}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

\bigskip

{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Mardi 4 Juin 2019, de 13h30 à 17h30}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{60pt}
\newpage 

On s'intéresse à l'évolution d'une population de petits organismes (typiquement des insectes) pendant une "saison" reproductrice de durée maximale $T$ où $T\in\N^*$. Les insectes sont supposés vivre une unité de temps, au bout de laquelle ils meurent en pondant un certain nombre d'\oe ufs. Au moment du dépôt d'un \oe uf, un processus chimique, la \textit{diapause} est susceptible de se mettre en marche qui entraîne l'arrêt de maturation de l'\oe uf jusqu'à la saison suivante. \\

Ainsi, à chaque date $t$ de la saison, une génération d'insectes s'éteint, en déposant des \oe ufs. Immédiatement, une proportion $p(t)$ de ces \oe ufs se mettent en diapause. Les \oe ufs qui ne sont pas entrés en diapause éclosent avant la date $t+1$, donnant naissance à une nouvelle génération d'insecte, qui s'éteindra à la date $t+1$ en déposant des \oe ufs, etc... Comme, à la fin de la saison, tous les organismes vivants de la population meurent, hormis les \oe ufs qui sont en diapause, ce sont ces derniers qui seront à l'origine d'une nouvelle population qui éclora à la saison suivante. Il est donc fondamental pour la survie de la lignée que les organismes adoptent une stratégie maximisant le nombre d'\oe ufs en diapause accumulés jusqu'à la date où la saison s'achève. \\

Au cours du problème, on s'intéressera plus particulièrement au cas où la durée de la saison est une variable aléatoire $\tau$ pouvant prendre des valeurs entières entre $1$ et $T$. Pour $t \in \{1,2,\dots T\}$, l'événement $[\tau=t]$ signifiera donc que la saison s'arrête à la date $t$.

Toutes les  variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$. \\ Pour toute variable aléatoire $Y$, on notera $E(Y)$ son espérance lorsqu'elle existe.

\section{Modèle de population saisonnière}

Dans cette question, on définit l'évolution formelle du nombre d'\oe ufs en diapause entre les dates $0$ et $T$.

On note $D(t)$ = nombre d'\oe ufs  en diapause à la date $t$. Les  \oe ufs pondus à la date $t$ qui entrent en diapause sont comptabilisés à la date $t+1$.

 $N(t)$ = nombre moyen d'\oe ufs produits à la date  $t$. 
 
 $p(t)$ = proportion des \oe ufs produits à la date  $t$ qui entrent en diapause 
 
 Par convention, la date 0 d'une saison est celle où les insectes nés des \oe ufs en diapause de la saison précédente pondent $N(0)$ \oe ufs. On suppose pour simplifier : 
\begin{itemize}
\item que $N(0)$ est un entier naturel non nul.
\item que tous les \oe ufs issus de la saison précédente ont éclos et donc que $D(0)=0$.
\item que pour tout $t\in\{0,1,\dots,T-1\}$, $0<p(t)\le 1$
 \end{itemize}
 
 Enfin, on suppose qu'à chaque date $t$ de la saison, un individu produit en moyenne $\alpha$ \oe ufs ($\alpha$ étant un réel strictement positif). \textbf{Par simplicité, on supposera que $\alpha$ reste constant pendant toute la saison.} 

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que $D(t+1)=D(t)+p(t)N(t)$ pour tout entier $t$ tel que $0\le t\le T-1$.
	\item Montrer que $N(t+1)=\alpha (1-p(t))N(t)$  pour tout entier $t$ tel que $0\le t\le T-1$.
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $\alpha \le 1$.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout entier $t$ tel que $0\le t\le T-1$, $N(t+1)\le N(t)$.
	\item Montrer que pour tout entier $t$ tel que $0\le t\le T-1$, $$D(t+1)+N(t+1)\le D(t)+N(t).$$
	\item Montrer que pour tout entier $t$ tel que $0\le t\le T$, $$D(t)+N(t)\le N(0).$$
	\item Montrer que pour tout entier $t$ tel que $0\le t\le T$, $D(t)\le N(0)$.
	\item On suppose que $p(0)=1$.
		\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $t$ tel que $1\le t\le T$, $N(t)=0$. 
		\item Montrer que pour tout entier $t$ tel que $1\le t\le T$, $D(t)=N(0)$.
		\item En déduire que si $\alpha \le 1$,  la meilleure stratégie adaptée à la saison est que les $N(0)$ \oe ufs produits à la date 0 entrent en diapause immédiatement.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item \textbf{On suppose désormais  $\alpha >1$ jusqu'à la fin du problème.}

On introduit maintenant $\tau$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{1,2,\dots,T\}$ qui représente la date où  s'achève la saison. On suppose que pour tout $t\in \{1,2,\dots,T\}$, $P(\tau =t)>0$ 
	\begin{enumerate}
	\item  Montrer que pour tout $t\in \{1,2,\dots,T\}$,  $P(\tau \ge t)>0$. On définit alors  $H(t)=P_{[\tau \ge t]}(\tau =t)$.
	\item  Montrer que $H(t)=\dfrac{P(\tau =t)}{P(\tau \ge t)} $.
	\item Montrer que $H(T)=1$.
	\item Calculer $H(t)$ pour $t\in \{1,2,\dots,T\}$ si $\tau$ suit une loi uniforme sur $\{1,2,\dots,T\}$.
	\item \  \begin{enumerate}
		\item Soient $T$ réels $\la_1,\la_2,\dots ,\la_T$ tels que  $0<\la_1<\la_2<\dots <\la_T=1$. Par convention, on pose $\la_0=0$. Soient $q_1=\la_1$, $q_2=\la_2-\la_1,\dots,q_T=\la_T-\la_{T-1}$.\\
Montrer que $(q_i)_{1\le i\le T}$ définit une loi de probabilité sur $\{1,2,\dots,T\}$.
		\item  Calculer $H(t)$ si $\tau$ suit la loi précédente.
		\item On suppose que $T\ge 2$ et de plus que pour tout entier $n$ tel que $1\le n\le T-1$, on a $\la_{n+1}-\la_n\ge \la_n-\la_{n-1}$. Montrer que $t\mapsto H(t)$ est croissante sur $\{1,2,\dots,T\}$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\textbf{On suppose désormais que $t\mapsto H(t)$ est croissante.} Le but est maintenant de trouver une stratégie adéquate pour maximiser la quantité  $E(\ln(D(\tau))$. On va commencer par regarder un exemple simple.
\item On suppose ici que $T=2$, que $H$ est donnée par $H(1)=\frac12$ et  $H(2)=1$ et que $\alpha=4$.	
	\begin{enumerate}
	\item \  \begin{enumerate}
		\item  Déterminer $P(\tau=1)$.
		\item Quelle est la loi de $\tau$ ?
		\end{enumerate}
	\item Montrer que pour $D(1)$ et $N(1)$ donnés, $D(2)$ est maximum pour $p(1)=1$.
	\item On suppose $p(1)=1$. Montrer que 
$$E(\ln D(\tau))= \frac12 \ln(4-3p(0))N(0)  + \frac12  \ln p(0)N(0)  .$$
	\item Construire le tableau de variations sur $]0,1]$ de la fonction $\varphi$ définie par : 
$$\varphi(x)=\frac12\ln\Big((4-3x)N(0)\Big)+\frac12\ln\Big(N(0)x\Big).$$
	\item Déterminer $p^*(0)$ qui maximise $E\big(\ln (D(\tau))\big)$.
	\end{enumerate}

\section{Transformation du problème}
\textbf{Par convention, on conviendra que si $h$ est une fonction numérique définie sur $\{ 0,1,2,\ldots,T \}$, on a } 
$$  \sum_{t=1}^{0} h(t)=0.$$  
	\item Montrer que pour tout $t\in \{0,1,2,\dots,T\}$,  $D(t)+N(t)>0 $.\\
On pose  $$X(t)=\dfrac{D(t)}{D(t)+N(t)}.$$ 
	\item Montrer que pour tout $t\in \{0,1,2,\dots,T-1\}$, 
$$X(t+1)=\dfrac{p(t)+(1-p(t))X(t)}{p(t)+\alpha(1-p(t))+(1-\alpha)(1-p(t))X(t)}.$$
	\item  Soit $\xi\in[0,1]$. Pour $x\in[0,1]$ on pose $$\psi_\xi(x)=\dfrac{x+(1-x)\xi}{x+\alpha(1-x)+(1-\alpha)(1-x)\xi}.$$
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\psi_\xi$ est croissante sur $[0,1]$.
	\item Calculer $\psi_\xi(1)$.
	\item \ \begin{enumerate}
		\item Calculer $\psi_\xi(0)$.  On pose désormais $$A(\xi)=\psi_\xi(0).$$
		\item Montrer que pour tout $t\in \{0,1,2,\dots,T-1\}$, $A(X(t))\le X(t+1)\le 1$.
		\item Montrer que $\xi \mapsto A(\xi)$ est croissante sur $[0,1]$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item Justifier l'égalité de variables aléatoires : 
$$D(\tau)=\dfrac{D(\tau)}{D(\tau-1)}.\dfrac{D(\tau-1)}{D(\tau-2)}.\dots \dfrac{D(2)}{D(1)}.\dfrac{D(1)}{N(0)}.N(0)$$
On pose $\hat{R}(0)=\ln\dfrac{D(1)}{N(0)}$ et $\hat{R}(t)=\ln\dfrac{D(t+1)}{D(t)}$ pour $1\le t\le T-1$.
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que $$  E(\ln D(\tau))=\ln \big(N(0)\big)+E\pa{\hat{R}(0) + \sum_{t=1}^{\tau-1} \hat{R}(t) } .$$
	\item Montrer que $\dfrac{D(1)}{N(0)}=\dfrac{\alpha X(1)}{1+(\alpha -1)X(1)}$.
	\item Montrer que $\dfrac{D(t+1)}{D(t)}=\dfrac{\alpha X(t+1)}{X(t)\big[1+(\alpha -1)X(t+1)\big]}$, pour $1\le t \le T-1$.
	
\hspace*{-1cm} Pour $x$ et $y$ deux réels strictement positifs, on pose $u(x,y)=\ln\alpha-\ln x+\ln y-\ln(1+(\alpha-1)y)$.
	\item Montrer que $\hat{R}(0)=u\big(1,X(1)\big)$.
	\item Montrer que $\hat{R}(t)=u\big(X(t),X(t+1)\big)$ pour $1\le t\le T-1$.
	\item Conclure que 
$$E(\ln D(\tau))  =\ln N(0)+E\bigg[ u\big(1,X(1)\big) + \Sum{t=1}{\tau-1} u\big(X(t),X(t+1)\big) \bigg]$$
On voit donc que maximiser $E(\ln D(\tau))$ revient à choisir, à chaque date $t$ telle que $1\le t\le \tau-1$, la valeur  $X(t+1)$ vérifiant la contrainte $A(X(t)\le X(t+1)\le 1$ de façon à rendre maximale l'expression 
$$E\bigg[ u\big(1,X(1)\big) + \Sum{t=1}{\tau-1} u\big(X(t),X(t+1)\big) \bigg]. $$
	\end{enumerate}

\section{Programmation dynamique}
On expose dans cette partie les deux premières étapes de la méthode de la programmation dynamique pour résoudre le problème.
\item Soit $B$ un événement. On note $\mathbb{1}_{B}$ la variable aléatoire telle que $$\mathbb{1}_{B}(\omega)=\ac{1 & \text{ si } \omega \in B\\ 0 & \text{ sinon}}$$
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer la loi de $\mathbb{1}_{B}$.
	\item Soient $B$ et $C$ deux événements. Montrer l'égalité de variables aléatoires $\mathbb{1}_{B\cap C}=\mathbb{1}_{B} \times \mathbb{1}_{C} $.
	\item  On suppose que $0<P(B)<1$. Si $Y$ est une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs, on définit la \textbf{variable aléatoire} notée $E_B(Y)$ par 
$$E_B(Y)=\dfrac{1}{P(B)} E(Y\mathbb{1}_{B} ) \mathbb{1}_{B} +\dfrac{1}{P(\ov{B})} E(Y\mathbb{1}_{\ov{B}} ) \mathbb{1}_{\ov{B}} $$
où $\ov{B}$ désigne l'événement contraire de $B$.
		\begin{enumerate}
		\item  Soient $Y$ et $Z$ deux variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs. Montrer que $$E_B(Y+Z)=E_B(Y)+E_B(Z).$$
		\item Montrer que  $E(E_B(Y))=E(Y)$.
		\item Montrer que $E_B(Y\mathbb{1}_{B})=E_B(Y)\mathbb{1}_{B}$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item	 On suppose dans cette question que, quand l'événement $[\tau=T]$ est réalisé, $X(1),\dots,X(T-1)$ sont connus. Comme on l'a vu précédemment, si on pose $x=X(T-1)$, le meilleur choix à faire est alors de prendre pour $X(T)$ la valeur $y^*(x,T-1)\in[A(x),1]$ qui maximise $u(x,y)$.
	\begin{enumerate}
	\item  On admet que  $y^*(x,T-1)=1$ ({\it question HP à sauter}).
	\item  Montrer que  $u(x,1)=-\ln x$.
	\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que, quand l'événement  $(\tau\ge T-1)$ est réalisé, $X(1),\dots,X(T-2)$ sont connus.\\
La stratégie reste donc de choisir $X(T-1)$ et $X(T)$ de façon à maximiser 
$$E\pa{  \Sum{t=T-2}{\tau-1} u\big(X(t),X(t+1)\big) } .$$
La variable aléatoire $\tau$ prend les deux valeurs $T-1$ et $T$ avec les probabilités respectives $P_{[\tau \ge T-1]}(\tau=T-1)$ et   $P_{[\tau \ge T-1]}(\tau=T)$. 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que \mk\\
$\mathbb{1}_{[\tau\ge T-1]}\Sum{t=T-2}{\tau-1} u(X(t),X(t+1))\\
\hspace*{3cm}
=\mathbb{1}_{[\tau\ge T-1]} u(X(T-2),X(T-1))+ \mathbb{1}_{[\tau= T]} u(X(T-1),X(T)).$
	\item Montrer que  \mk\\
$\mathbb{1}_{[\tau\ge T-1]} E_{[\tau\ge T-1]}\pa{\Sum{t=T-2}{\tau-1} u(X(t),X(t+1)) }	\\
\hspace*{1cm}
=E_{[\tau\ge T-1]} \pa{\mathbb{1}_{[\tau\ge T-1]}. u(X(T-2),X(T-1))
+ \mathbb{1}_{[\tau= T]}. u(X(T-1),X(T)) }.$
\mk \\
	\item Montrer que   \mk\\
$E_{[\tau\ge T-1]} \Bigg(\mathbb{1}_{[\tau\ge T-1]} u(X(T-2),X(T-1))
+ \mathbb{1}_{[\tau= T]} u(X(T-1),X(T)) \Bigg)	\\
\hspace*{1cm}
=  u\big(X(T-2),X(T-1)\big).\mathbb{1}_{[\tau\ge T-1]}
+ \dfrac{P(\tau=T)}{P(\tau\ge T-1)}. u\big(X(T-1),X(T)\big).\mathbb{1}_{[\tau\ge T-1]}.$
	\item On suppose que $X(T-1)$ est donné.
		\begin{enumerate}
		\item  On admet que le meilleur choix pour  $X(T)$ est 1 ({\it idem que pour la question 11(a)}).
		\item  Montrer que  pour un tel choix $u\big(X(T-1),X(T)\big)=-\ln(X(T-1))$.
		\end{enumerate}
	\item Montrer que $P_{[\tau \ge T-1]}(\tau=T)=1-H(T-1)$.\\
On veut maintenant choisir la stratégie optimale à la date $T-2$. 
	\item Montrer qu'on doit choisir pour $X(T-1)$ la valeur $y^*(X(T-2),T-2) \in [A(X(T-2)),1]$ de telle sorte que $$\Phi(y)=u \big(X(T-2),y\big)-(1-H(T-1))\ln y$$ soit maximal.
	\item Calculer $\Phi'(y)$.
	\item Construire le tableau de variation de $\Phi$ dans le cas $\dfrac{H(T-1)}{(\alpha-1)(1-H(T-1))} \le 1$.
	\item Construire le tableau de variation de $\Phi$ dans le cas $\dfrac{H(T-1)}{(\alpha-1)(1-H(T-1))} \ge 1$.
	\item Donner la valeur de $y^*(X(T-2),T-2)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}