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\lhead{ECE1}
\chead{SIGMA n°3 (type EDHEC)}
\rhead{2018-2019}
\lfoot{}
\rfoot{M Leboucher}
% Question multiple
\newenvironment{qmulti}[1]{
	\def\columnseprulecolor{\color{white}}
	\begin{multicols}{#1}
	\begin{enumerate}
	}{
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
	\vspace{-1pt}}

\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\entier}[1]{\llbracket #1 \rrbracket}


\begin{document}
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\cfoot{\thepage\ / {\bf 6}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{3cm}

\begin{center}
{\LARGE \textbf{BANQUE COMMUNE D'\'EPREUVES}}

\bigskip\bigskip

{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2019}}

\bigskip

{\large \textbf{Concepteur : EDHEC}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

\bigskip

{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Jeudi 6 Juin 2019, de 13h30 à 17h30}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\newpage
\section*{Exercice 1}

Les 3 questions sont indépendantes. 
\begin{enumerate}
\item On considère l'ensemble $E = \left\{ \begin{pmatrix}
3y + z \\
2y \\
-z
\end{pmatrix}, \; y,z \in \R \right\} \subset \mathcal{M}_{3,1}(\R)$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel. 
\item Déterminer 2 vecteurs $u$ et $v$ tel que $E = vect(u,v)$.
\item Montrer que les vecteurs $u$ et $v$ forment une famille libre. 
\end{enumerate}
\item On considère l'application $f : \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
2x+y-z \\
x-y +z \\
2x - 2y +2z
\end{pmatrix} $ et on note $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathcal{M}_{3,1}(\R)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application $f$ est un endomorphisme.
\item Déterminer les vecteurs $f(e_1)$, $f(e_2)$ et $f(e_3)$. 
\item Déterminer $\text{Im}(f)$ et $\text{Ker}(f)$. 
\end{enumerate}
\item On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 6 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}$ et l'ensemble $F = \left\{ X \in \mathcal{M}_{3,1}(\R), AX = 0 \right\}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est un sous espace vectoriel de $\mathcal{M}_{3,1}(\R)$
\item \'Ecrire $F$ sous la forme $vect(u,v)$ avec $u$ et $v$ deux vecteurs de $\mathcal{M}_{3,1}(\R)$. \\
({\it Indication : Résoudre le système $AX = 0$}).  
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.\newline
Une urne contient une boule noire non numérotée et $n-1$ boules blanches, dont $n-2$ portent le numéro $0$ et une porte le numéro $1$. On extrait ces boules au hasard, une à une, sans remise, jusqu'à l'apparition de la boule noire. \newline
Pour chaque $i$ de $\llbracket 1,n-1 \rrbracket$, on note $B_i$ l'événement :  le $i$-ème tirage donne une boule blanche, on pose $\overline{B_i} = N_i$ et on note $X$ la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la boule noire.\\

\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs que peut prendre la variable $X$.
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout $i$ de $\llbracket 2,n-1\rrbracket$, justifier que $P_{B_1\cap \ldots \cap B_{i-1}}(B_i) = \dfrac{n-i}{n-i+1}$.
\item Utiliser la formule des probabilités composées pour trouver $P(X=k)$, pour tout $k$ de $X(\Omega)$.
\item Reconnaître la loi de $X$ et donner son espérance et sa variance.
\end{enumerate}
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la boule numérotée $1$ a été piochée lors de l'expérience précédente, et qui vaut $0$ sinon.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $k$ de $X(\Omega)$, montrer, toujours grâce à la formule des probabilités composées, que :
\[ P\Big([X=k]\cap [Y=0]\Big) = \dfrac{n-k}{n(n-1)} \]
\item En déduire $P(Y=0)$.
\item Reconnaître la loi de $Y$ et donner son espérance et sa variance.
\end{enumerate}
\item Simulation informatique.\newline
On rappelle qu'en \texttt{Scilab}, la commande \texttt{grand(1,1,'uin',a,b)} simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\llbracket a,b \rrbracket$.
\begin{enumerate}
\item Compléter le script \texttt{Scilab} suivant afin qu'il simule l'expérience aléatoire décrite dans cet exercice et affiche la valeur prise par la variable aléatoire $X$.\newline
On admettra que la boule noire est codée tout au long de ce script par le nombre \texttt{nB+1}, où \texttt{nB} désigne le nombre de boules blanches.
\begin{center}
\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\begin{verbatim}
1. n=input('entrez une valeur pour n : ')
2. nB=n-1
3. X=1
4. u=grand(1,1,'uin',1,nB+1)
5. while u<nB+1
6.     nB=------
7.     u=grand(1,1,'uin',1,------)
8.     X=------
9. end
10.disp(X,'la boule noire est apparue au tirage numéro')
\end{verbatim}
\end{minipage}
\end{center}
\item Compléter les lignes $4$ et $8$ ajoutées au script précédent afin que le script qui suit renvoie et affiche, en plus de celle prise par $X$, la valeur prise par $Y$.
\begin{center}
\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\begin{verbatim}
1.  n=input('entrez une valeur pour n : ')
2.  nB=n-1
3.  X=1
4.  Y=------
5.  u=grand(1,1,'uin',1,nB+1)
6.  while u<nB+1
7.      nB=------
8.      if u==1 then 
9.          Y=------
10.     end
11.     u=grand(1,1,'uin',1,------)
12.     X=------
13. end
14. disp(X,'la boule noire est apparue au tirage numéro')
15. disp(Y,'la valeur de Y est')
\end{verbatim}
\end{minipage}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 3}
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \displaystyle \int_0^1 \left(1-t^2\right)^n dt$. On a donc, en particulier, $u_0 = 1$.\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_1$ et $u_2$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\end{enumerate}
\item On se propose dans cette question de déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\begin{enumerate}
\item Rappeler la valeur de l'intégrale $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}dt$, où $\sigma$ est un réel strictement positif.
% "où $\sigma$ est un réel strictement positif" absent de l'énoncé original
\item En déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-nt^2}dt$, puis celle de $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-nt^2}dt$.
\item Montrer que, pour tout réel $t$, on a : $e^{-t^2}\geqslant 1-t^2$.
\item En déduire que : $0\leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\pi}{n}}$, puis donner la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle \int_0^1 (1-t)^n dt$, puis montre que $u_n\geqslant \dfrac{1}{n+1}$. Que peut-on déduire en ce qui concerne la série de terme général $u_n$ ?
\item \begin{enumerate}
\item Établir, grâce à une intégration par parties, que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[ u_{n+1} = (2n+2)(u_n-u_{n+1}) \]
\item En déduire l'égalité :
\[ \forall n\in \N, \quad u_n = \dfrac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!} \]
\end{enumerate}
\item Informatique.\newline
On admet que, si \texttt{t} est un vecteur, la commande \texttt{prod(t)} renvoie le produit des éléménts de \texttt{t}. Compléter le script \texttt{Scilab} suivant afin qu'il permette de calculer et d'afficher la valeur de $u_n$ pour une valeur $n$ entrée par l'utilisateur.
\begin{center}
\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\begin{verbatim}
1. n=input('entrez une valeur pour n : ')
2. x=1:n
3. m=2*n+1
4. y=1:m
5. v=------
6. w=------
7. u=------*v^2/w
8. disp(u)
\end{verbatim}
\end{minipage}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Probl\`{e}me}
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par : $f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{ccc}
1-\left|x\right| & \textrm{si} & x\in\left[-1;1\right]\\
0 & \textrm{si} & x\in\mathbb{R}\setminus\left[-1;1\right]
\end{array}\right.$

\begin{enumerate}
\item Calculer ${\displaystyle \intop_{0}^{1}f\left(x\right)dx}$ . En déduire
sans calcul ${\displaystyle \intop_{-1}^{0}f\left(x\right)dx}$ .
\item Vérifier que $f$ peut être considérée comme une densité. \vspace{5mm}\\
On considère dorénavant une variable aléatoire $X$, définie sur un
espace probabilisé $\left(\Omega;\mathscr{A};P\right)$ , et admettant
$f$ comme densité. 
\end{enumerate}
\item Établir l'existence de l'espérance de $X$ , puis donner sa valeur. 

\item Montrer que la fonction de répartition de $X$, notée $F_{X}$ , est
définie par : 
$$F_{X}\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{ccc}
0 & \textrm{si} & x<-1\\
\dfrac{1}{2}+x+\dfrac{x^{2}}{2} & \textrm{si} & -1\leqslant x\leqslant0\\
\dfrac{1}{2}+x-\dfrac{x^{2}}{2} & \textrm{si} & 0<x\leqslant1\\
1 & \textrm{si} & x>1
\end{array}\right.$$
On pose $Y=|X|$ et on admet que $Y$ est une variable aléatoire à
densité, elle aussi définie sur l'espace probabilisé $\left(\Omega;\mathscr{A};P\right)$
. On note $F_{Y}$ sa fonction de répartition. 
\item {}

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $F_{Y}\left(x\right)$ lorsque $x$ est strictement
négatif. 
\item Pour tout réel $x$ positif ou nul, exprimer $F_{Y}\left(x\right)$
à l'aide de la fonction $F_{X}$. 
\item En déduire qu'une densité de $Y$ est la fonction $g$ définie par
: $$g\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{ccc}
2\left(1-x\right) & \textrm{si} & x\in\left[0;1\right]\\
0 & \textrm{si} & x\in\mathbb{R}\setminus\left[0;1\right]
\end{array}\right.$$
\item Montrer que $Y$ possède une espérance et la déterminer. 
\end{enumerate}
\item On considère deux variables aléatoires $U$ et $V$, elles aussi définies
sur $\left(\Omega;\mathscr{A};P\right)$ , indépendantes et suivant
toutes les deux la loi uniforme sur $[0;1]$ . \\
On pose $I=\min\left(U;V\right)$ , c'est-à-dire que, pour tout $\omega$
de $\Omega$, on a $I\left(\omega\right)=\min\left(U\left(\omega\right);V\left(\omega\right)\right)$.
\\
On admet que $I$ est une variable aléatoire à densité, elle aussi
définie sur $\left(\Omega;\mathscr{A};P\right)$ , et on rappelle
que, pour tout réel $x$, on a $P\left(I>x\right)=P\left(\left(U>x\right)\cap\left(V>x\right)\right)$
. \\
Pour finir, on note $F_{I}$ la fonction de répartition de $I$. 

\begin{enumerate}
\item Expliciter $F_{I}\left(x\right)$ pour tout réel $x$. 
\item En déduire que $I$ suit la même loi que $Y$. 
\end{enumerate}
\item On considère plus généralement $n$ variables aléatoires $X_{1};X_{2};\ldots;X_{n}$
, $n\geqslant2$, toutes définies sur $\left(\Omega;\mathscr{A};P\right)$ indépendantes et suivant la loi uniforme sur $\left[0;1\right]$. On pose $I_{n}=\min \left(X_{1};X_{2};\ldots;X_{n}\right)$. \\
Déterminer la fonction de répartition de $I_{n}$.
\item Simulation informatique de la loi de $Y$. \\
Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle simule
la loi de $Y$ .
\begin{verbatim}
function Y = simulation()
	U = ........
	V = ........
	if U < V then
	    Y = .......
	else
	    Y = .......
	end
endfunction
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\end{document}