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\lhead{ECE1}
\chead{SIGMA n°3 (type EM Lyon / ECRICOME)}
\rhead{2018-2019}
\lfoot{}
\rfoot{M Leboucher}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
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\newtheorem{ex}[theorem]{Exercice}
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% Question multiple
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\begin{document}
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\cfoot{\thepage\ / {\bf 4}\ }
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\vspace*{3cm}

\begin{center}
{\LARGE \textbf{BANQUE COMMUNE D'\'EPREUVES}}

\bigskip\bigskip

{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2019}}

\bigskip

{\large \textbf{Concepteur : EMLYON / ECRICOME}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

\bigskip

{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Lundi 3 Juin, de 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\newpage
\section*{Exercice 1 - Inspiré EML 2003}
On considère la matrice 
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$

\begin{enumerate}
\item Calculer $A^2$ et $A^3$ puis vérifier que $A^3 = A^2 + 2A$.
\item La matrice $A$ est-elle inversible ?
\item Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, il existe un couple unique $(a_n,b_n)$ de nombres réels tels que 
$$
A^n = a_n A + b_n A^2
$$
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on a :
$$
a_{n+2} = a_{n+1} + 2 a_n
$$
\item En déduire $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$.  
\item Donner l'expression de $A^n$ en fonction de $A$, $A^2$ et $n$, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice2 - Inspiré ECRICOME 2008}


On considère  pour $p\in \mathbb{N}^*$ les fonctions suivantes:
$$\left\{ \begin{array}{ll} f_p(x)=1 + \ln(x +p) \\ 
h_p(x)=x-f_p(x) \end{array} \right.$$
On note $(\mathscr{C}_p)$ la courbe représentative de la fonction $f_p$.

\begin{enumerate}
\item {\bf Etude de la fonction $f_1$}
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $f_1$.
\item Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On fera apparaitre les limites aux bords du domaine de définition. 
\item Déterminer le développement limité en 0, à l'ordre 1, de la fonction $f_1$.
\item En déduire une équation de la tangente à $C_1$ au point d'abscisse 0.
\item Montrer que la fonction $f_1$ est concave sur son domaine de définition. 
\item En déduire la position de la courbe $\mathscr{C}_1$ par rapport à cette tangente. 
\item Tracer dans un repère orthonormée la courbe $\mathscr{C}_1$ ainsi que sa tangente en $0$. 
\end{enumerate}
\item {\bf Etude d'une suite $(\alpha_p)_{p\in \mathbb{N}^*}$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f_p(x)=x$ admet une unique solution $\alpha_p$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$. (On ne cherchera pas à calculer $\alpha_p$).
\item Déterminer le signe de $h_p(\alpha_{p+1})$ et en déduire que la suite $(\alpha_p)_{p\geq 1}$ est monotone.
\item Prouver que l'on a:$$\forall p\in \mathbb{N}^*, \quad \alpha_p\geq 1+\ln(p)$$
Quel est le comportement de la suite $(\alpha_p)_{p\geq 1}$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$?
\end{enumerate}
\item {\bf Valeur approchée de $\alpha_1$}\\
On admet que le réel $\alpha_1$ appartient à l'intervalle $[1;3]$.
On définit la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ par: 
$$\left\{ \begin{array}{ll} u_0=1\\ \forall n\in \mathbb{N}, u_{n+1}=f_1(u_n)\end{array} \right.$$

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $u_n\geq 1$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, 
$$ |u_{n+1} - \alpha_1 | \leq  \dfrac{1}{2}|u_n - \alpha_1 |$$
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$: $$|u_n-\alpha_1|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$
\item Déterminer un entier naturel $n_0$ de telle sorte que si $n$ est supérieur ou égal à $n_0$ alors $|u_n-\alpha_1|$ est inférieur ou égal à $10^{-4}$.
\item \'Ecrire un programme en Scilab permettant d'obtenir les valeurs de $n_0$ et de $u_{n_0}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 3 - Inspiré ECRICOME 2009}
\subsection*{Liminaire.}

Soient $x$ un r\'{e}el dans l'intervalle $\left[ 0,1\right[ $, $n$ un entier
naturel non nul et $S_{n}$ la fonction d\'{e}finie par:%
\[
S_{n}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}x^{k}
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la somme $S_{n}\left( x\right) $.

\item D\'{e}river l'\'{e}galit\'{e} obtenue et montrer que :%
\[
\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\frac{nx^{n+1}-\left( n+1\right) x^{n}+1}{\left(
1-x\right) ^{2}}
\]
\end{enumerate}

Une municipalit\'{e} a lanc\'{e} une \'{e}tude concernant les probl\`{e}mes
li\'{e}s au transport.

\subsection*{Partie 1.}

Sur une ligne de bus, une enqu\^{e}te a permis de r\'{e}v\'{e}ler que le
retard (ou l'avance) sur l'horaire officiel du bus \`{a} une station donn%
\'{e}e, peut \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e}(e) par une variable al\'{e}atoire r%
\'{e}elle, not\'{e}e $X$, exprim\'{e}e en minutes, qui suit une loi normale $%
\mathcal{N}\left( m,\sigma ^{2}\right) $.

On admet de plus que la probabilit\'{e} que le retard soit inf\'{e}rieur 
\`{a} $7$ minutes est \'{e}gale \`{a} $p=0.8413$ et que l'esp\'{e}rance de $X
$ est de $5$ minutes.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la valeur de $\sigma $ en utilisant la table jointe en
annexe.

\item Quelle est la probabilit\'{e} que le retard soit sup\'{e}rieur \`{a} $9
$ minutes ?

\item Sachant que le retard est sup\'{e}rieur \`{a} $3$ minutes, quelle est
la probabilit\'{e} que le retard soit inf\'{e}rieur \`{a} $7$ minutes ? (On
exprimera cette probabilit\'{e} \`{a} l'aide de la fonction de r\'{e}%
partition de la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite, puis on utilisera la
table jointe en annexe).

\item Monsieur Thierex fr\'{e}quente cette ligne de bus tous les jours
pendant 10 jours. On suppose que les retards journaliers sont ind\'{e}%
pendants.

\begin{enumerate}
\item On d\'{e}signe par $Y$ la variable al\'{e}atoire r\'{e}elle \'{e}gale
au nombre de jours o\`{u} Monsieur Thierex a attendu moins de 7 minutes.%
\newline
D\'{e}terminer la loi de $Y$, donner sans calcul, son esp\'{e}rance et sa
variance.

\item On d\'{e}finit par $Z$ la variable al\'{e}atoire discr\`{e}te r\'{e}%
elle indiquant le rang $k$ du jour o\`{u} pour la premi\`{e}re fois Monsieur
Thierex attend plus de 7 minutes si cet \'{e}v\'{e}nement se produit. Dans
le cas contraire si le temps d'attente est inf\'{e}rieur \`{a} 7 minutes
pendant les dix jours, $Z$ prend la valeur $0$.\newline
D\'{e}terminer en fonction de $p$ la probabilit\'{e} des \'{e}v\'{e}nements $%
\left[ Z=0\right] $, puis $\left[ Z=k\right] $ pour $1\leq k\leq 10$.\newline
Utiliser le liminaire pour calculer l'esp\'{e}rance de $Z$ en fonction de $p$%
.
\end{enumerate}

\item Lass\'{e} des retards de son bus, Monsieur Thurman d\'{e}cide de
prendre le bus ou le m\'{e}tro selon le protocole suivant :

\begin{itemize}
\item Le premier jour, il prend le bus.

\item Si le jour $n$ $\left( n\in \mathbb{N}^{\ast }\right) $ il attend plus
de 7 minutes pour prendre le bus, le jour $n+1$ il prend le m\'{e}tro, sinon
il prend de nouveau le bus.

\item Si le jour $n$ il prend le m\'{e}tro, le jour $n+1$ il prend le m\'{e}%
tro ou le bus de fa\c{c}on \'{e}quiprobable.
\end{itemize}

On note $p_{n}$ la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $A_{n}=$" Monsieur
Thurman prend le bus le jour $n$"

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul :%
\[
p_{n+1}=\left( p-\frac{1}{2}\right) p_{n}+\frac{1}{2}
\]

\item Soit $\alpha $ le r\'{e}el v\'{e}rifiant :%
\[
\alpha =\left( p-\frac{1}{2}\right) \alpha +\frac{1}{2}
\]%
D\'{e}terminer $\alpha $ en fonction de $p$, puis montrer que, pour tout
entier naturel $n$ non nul :%
\[
p_{n}=\left( p-\frac{1}{2}\right) ^{n-1}\left( 1-\alpha \right) +\alpha 
\]

\item La suite $\left( p_{n}\right) $ est-elle convergente ? Si oui quelle
est sa limite ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie 2.}

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'appels re\c{c}us par le standard d'une soci\'{e}t\'{e} de
taxis pendant une p\'{e}riode de dur\'{e}e $t$ suit une loi de Poisson $Y_{t}
$ de param\`{e}tre $\lambda t$, $\lambda $ \'{e}tant une constante
strictement positive. Une origine de temps \'{e}tant choisie, on note $T$ la
variable al\'{e}atoire r\'{e}elle repr\'{e}sentant le temps d'attente du
premier appel vers ce standard. Par convention $\mathrm{P}\left( T\leq
t\right) =0$ pour $t<0$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$, rappeler la valeur de la probabilit\'{e}
de l'\'{e}v\'{e}nement $\left[ Yt=k\right] $ , ainsi que l'esp\'{e}rance et
la variance de $Y_{t}$.

\item Que peut-on dire des \'{e}v\'{e}nements $\left[ Y_{t}=0\right] $] et $%
\left[ T>t\right] $ pour $t>0$. En d\'{e}duire la probabilit\'{e} des \'{e}v%
\'{e}nements $\left[ T>t\right] $ et $\left[ T\leq t\right] $] pour $t>0$.

\item Expliciter la fonction de r\'{e}partition $F_{T}$ de $T$. Reconna\^{\i}%
tre la loi de $T$ et donner son esp\'{e}rance et sa variance.
\end{enumerate}

\item La dur\'{e}e, exprim\'{e}e en heures, du transport d'un client par la
soci\'{e}t\'{e} est une variable al\'{e}atoire $U$ \`{a} densit\'{e} dont
une densit\'{e} est donn\'{e}e par :%
\[
g\left( t\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
t~e^{-t} & \text{ si }t\geq 0 \\ 
0 & \text{si }t<0%
\end{array}%
\right. 
\]

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $g$ est bien une densit\'{e} de probabilit\'{e}.

\item Montrer que $U$ admet une esp\'{e}rance que l'on d\'{e}terminera. Que
repr\'{e}sente cette esp\'{e}rance ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Table}

\rule{17cm}{0.05cm}

La table ci-dessous comporte les valeurs de la fonction de r\'{e}partition
de la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite, \`{a} savoir les valeurs de :%
\[
\Phi \left( x\right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{x}\exp \left( -%
\frac{t^{2}}{2}\right) dt
\]

par exemple $\Phi \left( 0,67\right) =0,7486\medskip $

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
$x$ & \textbf{0,00} & \textbf{0,01} & \textbf{0,02} & \textbf{0,03} & 
\textbf{0,04} & \textbf{0,05} & \textbf{0,06} & \textbf{0,07} & \textbf{0,08}
& \textbf{0,09} \\ \hline
\textbf{0,0} & 0,5000 & 0,5040 & 0,5080 & 0,5120 & 0,5160 & 0,5199 & 0,5239
& 0,5279 & 0,5319 & 0,5359 \\ \hline
\textbf{0,1} & 0,5398 & 0,5438 & 0,5478 & 0,5517 & 0,5557 & 0,5596 & 0,5636
& 0,5675 & 0,5714 & 0,5753 \\ \hline
\textbf{0,2} & 0,5793 & 0,5832 & 0,5871 & 0,5910 & 0,5948 & 0,5987 & 0,6026
& 0,6064 & 0,6103 & 0,6141 \\ \hline
\textbf{0,3} & 0,6179 & 0,6217 & 0,6255 & 0,6293 & 0,6331 & 0,6368 & 0,6406
& 0,6443 & 0,6480 & 0,6517 \\ \hline
\textbf{0,4} & 0,6554 & 0,6591 & 0,6628 & 0,6664 & 0,6700 & 0,6736 & 0,6772
& 0,6808 & 0,6844 & 0,6879 \\ \hline
\textbf{0,5} & 0,6915 & 0,6950 & 0,6985 & 0,7019 & 0,7054 & 0,7088 & 0,7123
& 0,7157 & 0,7190 & 0,7224 \\ \hline
\textbf{0,6} & 0,7257 & 0,7291 & 0,7324 & 0,7357 & 0,7389 & 0,7422 & 0,7454
& 0,7486 & 0,7517 & 0,7549 \\ \hline
\textbf{0,7} & 0,758 & 0,7611 & 0,7642 & 0,7673 & 0,7704 & 0,7734 & 0,7764 & 
0,7794 & 0,7823 & 0,7852 \\ \hline
\textbf{0,8} & 0,7881 & 0,7910 & 0,7939 & 0,7967 & 0,7995 & 0,8023 & 0,8051
& 0,8078 & 0,8106 & 0,8133 \\ \hline
\textbf{0,9} & 0,8159 & 0,8186 & 0,8212 & 0,8238 & 0,8264 & 0,8289 & 0,8315
& 0,8340 & 0,8365 & 0,8389 \\ \hline
\textbf{1,0} & 0,8413 & 0,8438 & 0,8461 & 0,8485 & 0,8508 & 0,8531 & 0,8554
& 0,8577 & 0,8599 & 0,8621 \\ \hline
\textbf{1,1} & 0,8643 & 0,8665 & 0,8686 & 0,8708 & 0,8729 & 0,8749 & 0,8770
& 0,8790 & 0,8810 & 0,8830 \\ \hline
\textbf{1,2} & 0,8849 & 0,8869 & 0,8888 & 0,8907 & 0,8925 & 0,8944 & 0,8962
& 0,8980 & 0,8997 & 0,9015 \\ \hline
\textbf{1,3} & 0,9032 & 0,9049 & 0,9066 & 0,9082 & 0,9099 & 0,9115 & 0,9131
& 0,9147 & 0,9162 & 0,9177 \\ \hline
\textbf{1,4} & 0,9192 & 0,9207 & 0,9222 & 0,9236 & 0,9251 & 0,9265 & 0,9279
& 0,9292 & 0,9306 & 0,9319 \\ \hline
\textbf{1,5} & 0,9332 & 0,9345 & 0,9357 & 0,9370 & 0,9382 & 0,9394 & 0,9406
& 0,9418 & 0,9429 & 0,9441 \\ \hline
\textbf{1,6} & 0,9452 & 0,9463 & 0,9474 & 0,9484 & 0,9495 & 0,9505 & 0,9515
& 0,9525 & 0,9535 & 0,9545 \\ \hline
\textbf{1,7} & 0,9554 & 0,9564 & 0,9573 & 0,9582 & 0,9591 & 0,9599 & 0,9608
& 0,9616 & 0,9625 & 0,9633 \\ \hline
\textbf{1,8} & 0,9641 & 0,9649 & 0,9656 & 0,9664 & 0,9671 & 0,9678 & 0,9686
& 0,9693 & 0,9699 & 0,9706 \\ \hline
\textbf{1,9} & 0,9713 & 0,9719 & 0,9726 & 0,9732 & 0,9738 & 0,9744 & 0,975 & 
0,9756 & 0,9761 & 0,9767 \\ \hline
\textbf{2,0} & 0,9772 & 0,9778 & 0,9783 & 0,9788 & 0,9793 & 0,9798 & 0,9803
& 0,9808 & 0,9812 & 0,9817 \\ \hline
\end{tabular}


\end{document}