\input{../preambules/preDS.tex}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\renewcommand{\P}{\mathrm{P}}
%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{5}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Vendredi 17 Mai, de 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule
\vspace{20pt}

Pour rappel, les élèves suivants peuvent choisir entre l'exercice III (A) et l'exercice III (B). Les autres doivent prendre automatiquement l'exercice III (B).

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
Barbera Lisa & Birbes Eva & Boussidan Marine \\
Bremard Margot & Caseneuve Iphigénie & Hebaiel Syrine \\
Libessart Jules & Louaisil Clara & Luzietti Léo \\
Perelli Clara & Reponty Félix & Yahyai Selma
\end{tabular}
\end{center}

\newpage
 
\section*{Exercice I - ECRICOME ECT 2019} 
Soit $g$ la fonction num\'erique d\'efinie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par :
$$g(x)=2x-1+\ln\left(\frac{x}{x+1}\right).$$
On note $({\cal C})$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonorm\'e.
\begin{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $g$ en 0 et interpr\'eter graphiquement le r\'esultat.
\item Déterminer la limite de $g$ en $+\infty.$
\end{enumerate}

\item 
\'Etudier le sens de variation de $g$ sur $]0;+\infty[$ et dresser son tableau de variation.
\item On considère la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 2x - 1$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $ \li_{x \to + \infty} g(x) - (2x - 1)$
\item Déterminer la position de la courbe par rapport à la droite $(\Delta)$. 
\end{enumerate}
\item  \'Etudier la convexité de la courbe. 

\item\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que l'\'equation $g(x)=0$ admet une  unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0;+\infty[.$
\item Recopier et compl\'eter l'algorithme de dichotomie ci-dessous \'ecrit \`a l'aide de {\tt Scilab} afin qu'il affiche un encadrement de $\alpha$ \`a $10^{-2}$ pr\`es lorsque $a$ et $b$ sont choisis tels que $\alpha \in [a,b].$


%\fbox
{
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{verbatim}
function y=g(x)
   y = ..............
endfunction
a = input('Entrer la valeur de a : ')
b = input('Entrer la valeur de b : ')
while  b - a  ......
     m  = ..........
     if g(a)*g(m) <= 0 then 
         ........
     else 
         ........
     end 
end
disp(.........)
\end{verbatim}
\end{minipage}
}

\end{enumerate}


\item Le programme {\tt Scilab} ci-dessus affiche {\tt 0.88} comme r\'esultat. Dans un rep\`ere orthornorm\'e, placer le r\'eel $\alpha$ sur l'axe des abscisses, tracer la courbe $({\cal C})$ et la droite $(\Delta).$
\item\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'une int\'egration par parties, calculer  : 
$$\int_1^2\Big(\left(2x-1\right)-g(x)\Big)\text{d}x$$
\item Interpr\'eter graphiquement le r\'esultat. 
\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}
\item On consid\`ere la suite $(u_n)_{n\geqslant 1}$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
$$u_n=(2n-1)-g(n).$$
Le script {\tt Scilab} ci-dessous construit un vecteur ligne {\tt u} contenant les 50 premiers termes de la suite $(u_n)_{n\geqslant 1}.$
\begin{verbatim}
u = zeros(1,50)
for  n =1:50
    u(n) = (2*n-1)-g(n)
end
S = cumsum(u)
plot(1:50,S,'+')\end{verbatim}


Dans ce script, {\tt g} d\'esigne la fonction $g$ dont le code a \'et\'e compl\'et\'e \`a la question 4(b).\\
On ex\'ecute le script pr\'ec\'edent et on obtient le graphique ci-dessous. Sur ce graphique, on a aussi trac\'e la courbe repr\'esentative de la fonction logarithme n\'ep\'erien $\ln$ en trait plein.
$$\includegraphics[scale=0.5]{log.png}$$

Interpr\'eter le contenu du vecteur ligne {\tt S} dans le contexte de l'\'enonc\'e.
En notant pour tout \\
entier $n\geqslant 1, S_n=\sum\limits_{k=1}^n u_k,$ que peut-on conjecturer \`a l'aide du graphique pr\'ec\'edent sur la limite de la suite $(S_n)_{n\geqslant 1}$ ?
\item D\'eterminer $\lim\limits_{n\to +\infty}S_n$ par un calcul rigoureux.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\section*{Exercice II - Inspiré d'ECRICOME ECT 2010} 

Cet exercice étudie deux jeux de un dés avec des d\'{e}s équilibrés \`{a} six faces.
\subsection*{I. Étude du premier jeu.}
Dans ce jeu on lance simultanément deux dés équilibrés, si les deux donnent le même résultat alors le joueur marque $1$ point, sinon il ne marque pas de point.\\
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p$ de l'événement $A$: <<\,\, Les deux dés donnent le même résultat\,>>.
\item Le joueur répète $n$ fois le même jeu et on note alors $Y_n$ le nombre de points obtenus par le joueur après ces $n$ parties.
\begin{enumerate}
\item Reconnaitre la loi de $Y_n$ (\textit{une justification soigneuse est attendue}).\\
Donner explicitement $P(Y_n=k)$ pour les valeurs $k$ prises par $Y_n$.
\item Donner la valeur de l'espérance $E(Y_n)$ de la variable aléatoire $Y_n$ et sa variance $V(Y_n)$.
\end{enumerate}
\item Le joueur joue maintenant jusqu'à ce qu'il marque un point pour la première fois.\\
On note alors $Z$ la variable aléatoire représentant le nombre de parties effectuées par le joueur. \\
\begin{enumerate}
\item Reconnaitre la loi de $Z$ (\textit{une justification soigneuse est attendue}).\\
Donner explicitement $P(Z=k)$ pour les valeurs $k$ prises par $Z$.
\item Donner la valeur de l'espérance $E(Z)$ de la variable aléatoire $Z$ et sa variance $V(Z)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{II. Étude d'un deuxième jeu.}

Pour ce jeu, effectuer une partie consiste \`{a} lancer successivement deux d%
\'{e}s \'{e}quilibr\'{e}s. ({\it On rappelle $5^3 = 75$ et $12^3 = 1728$.}) \\

\noindent On note :

\begin{itemize}
\item $D_{1}$ le r\'{e}sultat du premier d\'{e} et $D_{2}$ le r\'{e}sultat
du deuxi\`{e}me d\'{e}

\item $E_{1}$ l'\'{e}v\'{e}nement : $\left( D_{1}<D_{2}\right) $, $E_{2}$ l'%
\'{e}v\'{e}nement : $\left( D_{1}=D_{2}\right) $ et $E_{3}$ l'\'{e}v\'{e}%
nement : $\left( D_{1}>D_{2}\right) $\\
\end{itemize} 

\noindent Lors d'une partie,

\begin{itemize}
\item si l'\'{e}v\'{e}nement $E_{1}$ se produit alors le joueur ne marque
pas de point,

\item si l'\'{e}v\'{e}nement $E_{2}$ se produit alors le joueur marque 2
points,

\item si l'\'{e}v\'{e}nement $E_{3}$ se produit alors le joueur marque 1
point.\\
\end{itemize} 

%\subsection*{I. Etude de parties successives.}

%Soit $n$ un entier naturel non nul. Le joueur joue successivement $n$
%parties.
\noindent Le joueur répète $n$ fois ce jeu. Pour tout entier naturel $i\geq 1$, on note :

\begin{itemize}
\item $X_{i}$ la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant le nombre de points
marqu\'{e}s lors de la $i^{\grave{e}me}$ partie ;

\item $S_{i}$ le nombre de points marqu\'{e}s apr\`{e}s $i$ parties.
\end{itemize}



\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit\'{e} de chacun des \'{e}v\'{e}nements $E_{1}$, $%
E_{2}$ et $E_{3}$ (\textit{On démontrera notamment que $\displaystyle P(E_1) = \frac{5}{12}$}).

\item Soit $i\in \left \{ 1,2,\dots ,n\right \} $, d\'{e}terminer la loi de la
variable al\'{e}atoire $X_{i}$ puis calculer son esp\'{e}rance et sa
variance.

\item Trouver la loi de la variable al\'{e}atoire $S_{1}$.

\item Préciser les valeurs prises par la variable al\'{e}atoire $S_{2}$ et donner sa loi.

\item
\begin{enumerate}
\item Pr\'{e}ciser les valeurs
prises par la variable al\'{e}atoire $S_{3}$.

\item En utilisant un système complet d'évènement associé à $S_2$, calculer $P(S_3 = 2)$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Ecrire $S_{n}$  en fonction des variables al\'{e}atoires $X_{1}$, $%
X_{2}$, ..., $X_{n}$.\newline
En d\'{e}duire l'esp\'{e}rance math\'{e}matique $E(S_n)$ de $S_{n}$.

\item En moyenne, combien de parties au minimum doit faire le joueur pour
obtenir plus de $10$ points?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice III (A) - Probabilités}
Les parties sont toutes indépendantes 

\subsection*{Partie I}

Un fumeur, après avoir lu une série de statistiques effrayantes sur les risques de cancer, problèmes cardiovasculaires liés au tabac, décide d'arrêter de fumer ; toujours d'après des statistiques, on estime les probabilités suivantes : si cette personne n'a pas fumé un jour $J_n$, alors la probabilité pour qu'elle ne fume pas le jour suivant
$J_{n+1}$ est $0,4$ ; mais si elle a fumé un jour $J_n$, alors la probabilité pour qu'elle ne fume pas le jour suivant $J_{n+1}$ est
$0,8$ ; On note $p_n$ la probabilité que cette personne ne fume pas au jour $J_n$.
\begin{enumerate}
\item Que vaut $p_0$ ?
\item Calculer $p_1$ et $p_2$.
\item Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$. En déduire la valeur de $p_n$ en fonction de $n$ ?
\item Cette personne va-t-elle finir par arrêter de fumer ?
\end{enumerate} 

\subsection*{Partie II}


Un joueur joue au jeu TETRIS et passe les niveaux $1$, $2$, $\ldots$, $n$, $\ldots$ jusqu'à ce qu'il échoue. Il a une probabilité $\dfrac{1}{n}$ de réussir le jeu de niveau  $n$. Soit $X$ le numéro du dernier niveau réussi. (Il finit toujours par échouer et la réussite des niveaux sont indépendants).
\begin{enumerate}
\item Donnez $X(\Omega)$. Trouver la loi de $X$. 
\item Montrer que l'on a $E(X) = e-1$.
\item A l'aide du théorème de Transfert, montrer que 
$$
E((X-1)(X+1)) = e
$$
En déduire que $X$ admet un moment d'ordre 2 et calculer sa variance. 
\end{enumerate} 

\subsection*{Partie III}

Un établissement bancaire comporte 5 guichets numérotés de 1 à 5. Le nombre $N$ de personnes arrivant à la banque en une journée suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$. On suppose que les clients choisissent leur guichet au hasard, indépendamment les uns des autres. On note $X$ le nombre de clients arrivant au guichet n°3 en une journée.
\begin{enumerate}
\item Donner $E(N)$ et interpréter la valeur $\lambda$.
\item Calculer $P_{(N=n)}(X = k)$ pour tout $k  \in \entier{0; n}$ puis pour $k > n$.
\item En utilisant la formule des probabilités totales, déterminer $P(X = k)$.
\item Déduire la loi de $X$, son espérance et sa variance.
\end{enumerate}

\section*{Exercice III(B) - EML 2018}

	\noindent On dispose d'une pièce de monnaie amenant Pile avec la probabilité $\dfrac 23$ et Face avec la probabilité $\dfrac 13$.
	
	\subsection*{Partie I~: \'Etude d'une première variable aléatoire}
	
		\noindent On effectue une succession de lancers avec cette pièce et on définit la variable aléatoire $X$ prenant la valeur du nombre de Face obtenus avant l'obtention du deuxième Pile.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Décrire les événements $[X = 0]$, $[X=1]$, $[X=2]$ puis calculer leurs probabilités.
				\item Montrer~: $\forall n \in \N, P{[X=n]} = (n+1) \dfrac{4}{3^{n+2}}$.
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}
		
	\subsection*{Partie II~: \'Etude d'une expérience en deux étapes}
	
		\noindent On effectue une succession de lancers avec la pièce précédente jusqu'à l'obtention du deuxième Pile~; puis en fonction du nombre $n$ de Face obtenus, on place $n+1$ boules dans une urne, les boules étant numérotées de 0 à $n$ et indiscernables au toucher, et enfin on pioche au hasard une boule dans cette urne.
		
		\noindent On note toujours $X$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face obtenus, et on note $U$ la variable aléatoire prenant la valeur du numéro de la boule obtenue. On pose $V = X-U$.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $U$.
				\item Déterminer, pour tout $n$ de $\N$, la loi conditionnelle de $U$ sachant $[X = n]$.
				\item En déduire, pour tout $k$ de $\N$~:
					$$P{[U=k]} = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{1}{n+1} P{[X=n]} \quad \textrm{puis} \quad P{[U=k]} = \frac{2}{3^{k+1}}.$$
				\item Montrer que $U$ admet une espérance et une variance et les calculer.
			\end{enumerate}
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable $V$.
				\item Déterminer, pour tout $n$ de $\N$, la loi conditionnelle de $V$ sachant $[X=n]$.
				\item En déduire la loi de $V$.
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}
		
	\subsection*{Partie III~: \'Etude d'un jeu}
		
		\noindent Dans cette partie, $p$ désigne un réel de $]0; 1[$.
	
		\noindent Deux individus $A$ et $B$ s'affrontent dans un jeu de Pile ou Face dont les règles sont les suivantes~:
		\begin{itemize}
			\item le joueur $A$ dispose d'une pièce amenant Pile avec la probabilité $\dfrac 23$ et lance cette pièce jusqu'à l'obtention du deuxième Pile~; on note $X$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus~;
			\item le joueur $B$ dispose d'une autre pièce amenant Pile avec la probabilité $p$ et lance cette pièce jusqu'à l'obtention d'un Pile~; on note $Y$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus~;
			\item Le joueur $A$ gagne si son nombre de Face obtenus est inférieur ou égal à celui de $B$~; sinon c'est le joueur $B$ qui gagne.
		\end{itemize}
		\noindent On dit que le jeu est équilibré lorsque les joueurs $A$ et $B$ ont la même probabilité de gagner.
		
		
		\begin{enumerate}
		 \item \textbf{Simulation informatique}
			\begin{enumerate}
				\item \'Ecrire une fonction Scilab d'en-tête {\tt function x = simule\_X()} qui simule la variable aléatoire $X$.
				\item On suppose que l'on dispose d'une fonction {\tt simule\_Y} qui, prenant en argument un réel $p$ de $]0;1[$, simule la variable aléatoire $Y$. Expliquer ce que renvoie la fonction suivante~: 
			
				\hrulefill
				\begin{verbatim}
1. function r = mystere(p)
2.	r = 0
3.	N = 10^4
4. 	for k = 1:N
5.		x = simule_X()
6.		y = simule_Y(p)
7.		if x <= y then
8.			r = r + 1/N
9.		end 
10.	end
11. endfunction
				\end{verbatim}
				\hrulefill
				
				\item On trace, en fonction de $p$, une estimation de la probabilité que $A$ gagne et on obtient le graphe suivant~:
				
					\begin{center}
						\includegraphics[scale=0.75]{EML2018-Ex3-q6c}
					\end{center}

					\`A la vue de ce graphe, conjecturer une valeur de $p$ pour lequel le jeu serait équilibré.
			\end{enumerate}
			
			\item \textbf{\'Etude de la variable aléatoire $Y$} \\
				On note $Z$ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de lancers effectués par le joueur $B$.
			
			\begin{enumerate}
				\item Reconnaître la loi de $Z$ et préciser son(ses) paramètre(s), son espérance et sa variance.
				\item Exprimer $Y$ à l'aide de $Z$ et en déduire l'existence de l'espérance et de la variance de $Y$ et préciser leurs valeurs.
				\item Montrer~: $\forall n \in \N, \quad P{[Y \geq n]} = (1-p)^n$.
			\end{enumerate}
			
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Montrer~: $P{[X \leq Y]} = \ds \sum_{n=0}^{+\infty} P{[X = n]} P{[Y \leq n]}$.
				\item Déduire des résultats précédents~: $P{[X \leq Y]} = \dfrac{4}{(2+p)^2}$.
				\item Déterminer la valeur de $p$ pour laquelle le jeu est équilibré.
			\end{enumerate}

		\end{enumerate}


\end{document}