\input{../preambules/preDS.tex}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\renewcommand{\P}{\mathrm{P}}
%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{4}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Vendredi 29 Mars, de 13h30 à 17h30}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule

\vspace{20pt}

\section*{Exercice I - Espaces Vectoriels}
\begin{enumerate}
\item On considère $F = \left\{ \vect{x}{y}{z} \in \M_{3,1}(\R) | -x + y + 2z=0 \; \text{et} \; y - 3z = 0 \right\}$ 
\begin{enumerate}
\item Expliquez ce que fait le programme scilab suivant
\begin{verbatim}
function y = isF(X) \\X doit être un vecteur de taille 3
     y = 1
     if -X(1) + X(2) + 2*X(3) <> 0 then
         y = 0
     end
     if X(2) - 3*X(3) <> 0 then
         y = 0
     end
endfunction
\end{verbatim}
\item Montrer que $F$ est un sous espace vectoriel de $\M_{3,1}(\R)$.
\item \'Ecrire $F$ sous la forme $vect(u)$ avec $u$ un vecteur de $\M_{3,1}(\R)$
\end{enumerate}
\item Dans $M_{3,1} (\R)$ on considère les vecteurs : $u = \vect{1}{0}{1}$, $v = \vect{-1}{0}{2}$ et $w = \vect{1}{1}{1}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(u,v,w)$ est une famille libre de $\M_{3,1}(\R)$. 
\item \'Ecrire le vecteur $\vect{4}{-1}{1}$ comme combinaison linéaire de $u$, $v$ et $w$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice II - ECRICOME 2014}


On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{si }x=0 \\ & \\ \dfrac{x}{\ln(1+x)} & \text{si }x\in \left]0;+\infty\right[ \end{array} \right. \]
ainsi que la suite $(u_n)_{n\in \N}$ définie par :
\[ u_0 = e \quad\text{et}\quad \forall n\in \N,\; u_{n+1} = f(u_n) \]

\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ existe.

\item Écrire un programme Scilab qui, pour une valeur $N$ fournie par l'utilisateur, calcule et affiche $u_N$.

\item Montrer que $f$ est continue sur $[0;+\infty[$.

\item Établir que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left]0;+\infty\right[$.

\item Établir que :
\[ \forall x\geqslant e-1,\quad f(x)\leqslant x \quad\text{et}\quad (x+1)\ln(x+1)\geqslant (x+1) \]
En déduire que :
\[ \forall x\geqslant e-1,\quad f'(x)\geqslant 0 \]

\item Démontrer que :
\[ \forall n\in \N,\quad e-1\leqslant u_n \]

\item Établir que la suite $(u_n)_{n\in \N}$ converge et préciser la valeur de sa limite $L$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice III - ECRICOME 2005}
On consid\`{e}re, pour tout entier naturel $n$, l'application $\varphi _{n}$
d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : 
\[
\forall x\in \mathbb{R},\quad \varphi _{n}\left( x\right) =\left( 1-x\right)
^{n}e^{-2x} 
\]
ainsi que l'int\'{e}grale : 
\[
I_{n}=\int_{0}^{1}\varphi _{n}\left( x\right) \,dx 
\]

On se propose de d\'{e}montrer l'existence de trois r\'{e}els, $a$, $b$, $c$
tels que : 
\[
I_{n}=a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\varepsilon \left(
n\right) \quad \text{avec\quad }\lim_{n\rightarrow +\infty }\varepsilon
\left( n\right) =0 
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$.

\item \'Etudier la monotonie de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}%
}$.

\item D\'{e}terminer le signe de $I_{n}$ pour tout entier naturel $n$

\item Qu'en d\'{e}duit-on pour la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in \mathbb{N%
}} $ ?

\item Majorer la fonction $g:x\rightarrow e^{-2x}$ sur $\left[ 0,1\right] $

\item En d\'{e}duire que : 
\[
\forall n\in \mathbb{N}^{*},\quad 0\le I_{n}\le \frac{1}{n+1} 
\]

\item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, montrer que : 
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad 2I_{n+1}=1-\left( n+1\right) I_{n} 
\]

\item En d\'{e}duire la limite de la suite $\left( n\,I_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( n\left( n\,I_{n}-1\right)
\right) _{n\in \mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\item Donner alors les valeurs de $a$, $b$, $c$.
\end{enumerate}


\section*{Exercice IV - ECRICOME 2018.}

\textbf{Partie I : \'Etude de deux suites}
\par \medskip \noindent
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : \quad $u_n=\ds \sum_{k=1}^n \dfrac1k - \ln(n)$ \quad et \quad $v_n=u_n-\dfrac1n$.

\begin{enumerate}
\item
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^{+*}$ par $f(x)=\dfrac1{x+1}+\ln(x)-\ln(x+1)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\ds \lim_{x  \to 0} f(x)$ et $\ds \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^{+*}$ et dresser son tableau de variations.
\item Démontrer que : \quad $\forall n \in \N^*, \quad u_{n+1}-u_n=f(n)$.
\item En déduire la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in \N^*}$.
\item \'Ecrire une fonction d'en-tête : {\tt function y=u(n)} \quad qui prend en argument un entier naturel $n$ non nul et qui renvoie la valeur de $u_n$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que : \quad $\forall n \in \N^* \quad v_{n+1}-v_n=\dfrac1n - \ln \left(1+\dfrac1n\right)$.
\item  Montrer que pour tout réel $x$ positif : \qquad $\ln(1+x) \le x$.\\
En déduire que la suite $(v_n)_{n \in \N^*}$ est croissante.
\item Montrer que pour tout réel x positif, 
$$
 x - \ln(1+x) \leq \dfrac{x^2}{2}
$$
\item En déduire que la série de terme général $v_{n+1}-v_n$ est convergente. on note $\gamma = \ds \sum_{n=1}^{+\infty}(v_{n+1}-v_n)$. 
\item Pour $n \ge 2$, simplifier la somme partielle : \quad $\ds \sum_{k=1}^{n-1} (v_{k+1}-v_k)$.\\
En déduire que la suite $(v_n)_{n \ge 2}$ converge vers $\gamma$.
\end{enumerate}\bigskip

\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $\ds \lim_{n \to \infty} u_n$.
\item Montrer que  \quad $\forall n \in \N^* \quad v_n \le  \gamma \le u_n$ \qquad puis que $\quad \forall n \in \N^* \quad |u_n - \gamma| \le \dfrac1n$
\item On rappelle que l'instruction {\tt floor(x)} renvoie la partie entière d'un réel $x$ et on suppose que la fonction {\tt u} de la question 1) e: a été correctement programmée. Expliquer l'intérêt et le fonctionnement du script ci-dessous :
\begin{verbatim}
eps=input('Entrer un réel strictement positif : '}
n=floor(1/eps)+1
disp(u(n))
\end{verbatim}
\end{enumerate}
\end{enumerate}\bigskip
\noindent
\newpage
\textbf{Partie II: \'Etude d'une série}
\par \medskip \noindent
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \quad $a_n=\dfrac1{n(2n-1)}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que $\forall n \in \N^*, a_n \leq \dfrac{1}{n^2}$
\item En déduire que la série de terme général $a_n$ converge.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que : \qquad $\ds \forall  n \in \N^*, \quad \sum_{k=1}^n \dfrac1{2k-1}=\sum_{k=1}^{2n} \dfrac1k - \sum_{k=1}^n \dfrac1{2k}$.
\item Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : \qquad $\forall n \in \N^*, \quad a_n=\dfrac{\alpha}n +\dfrac{\beta}{2n-1}$.
\item En déduire que : \qquad $\forall n \in \N^*, \qquad \ds \sum_{k=1}^n a_k=2 \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac1k$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que :\qquad $\forall n \in \N^*, \quad \ds \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac1k=u_{2n}-u_n+\ln(2)$\\
où $(u_n)_{n \in \N^*}$ est la suite définie dans la partie I.
\item Calculer alors \quad $\ds \sum_{k=1}^{+\infty} a_k$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Montrer que : \quad $\forall n \in \N^*, \quad \ds \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}                                               = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\dfrac{k}{n}}$.
\item Retrouver alors le résultat de la question 3) b.
\end{enumerate}
\end{enumerate}






\end{document}