\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{3}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Vendredi 1er Février, de 13h30 à 17h30}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule

\vspace{40pt}


\section*{Exercice I}

{\it On donne les approximations suivantes qui vous serviront au cours de l'exercice :}
$$
\ln(2) \approx 0,69 \qquad \ln(3) \approx 1,10 \qquad  22\ln(2)-14 \approx 1,25  \qquad  22\ln(3)-23 \approx 1,17
$$
$$
\dfrac{1}{22\ln(2) - 14} \approx 0,80 \qquad \dfrac{1}{22 \ln(3) - 23} \approx 0,86
$$

\subsection*{Préliminaire : Polynôme et étude de signe}
Soit $P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$. 
\begin{enumerate}
\item Effectuer la division euclidienne de $P$ par $X-1$. 
\item Factoriser $P$. 
\item En calculant, pour $x \in \R$, la quantité $\dfrac{2 P(e^x)}{e^x}$ de deux manières différentes et en utilisant ce qui précède, justifier qu'on a l'égalité:
$$
2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x} = \dfrac{2(e^x - 1)(e^x - 2)(e^x - 3)}{e^x}
$$
\item Déduire des questions précédentes le signe de $2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}$ sur $\R$ en dressant le tableau de signe. 

\subsection*{\'Etude d'une fonction}
On pose $v :x \to e^{2x} - 12 e^x +22x + 12 e^{-x}$ et $h : x \to \dfrac{1}{v(x)}$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etude de $v$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $v(\ln(2))$ et de $v(\ln(3))$ en détaillant les calculs. 
\item Justifier proprement les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de la fonction $v$. 
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $v$. 
\item En déduire que $\forall x \in \R$, $v(x) > 0$. 
\end{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $h$ ?
\item Dresser le tableau de variation de $h$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice II - ESCP 2016 - ECT (modifié)}

Soit $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ la suite d\'{e}finie par $u_{0}=1$ et
pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, $u_{n+1}=\ln \left( 1+u_{n}^{2}\right) $%
.\bigskip

\begin{enumerate}
\item  \'Ecrire un script Scilab permettant d'afficher le $n$ème terme de la suite $u_n$, $n$ étant donné par l'utilisateur. 

\item \'{E}tablir pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, l'encadrement
suivant : $0\leq u_{n}\leq 1$.\bigskip

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $\left[ 0,1%
\right] $, \`{a} valeurs r\'{e}elles, telle que $f\left( x\right) =\ln
\left( 1+x^{2}\right) -x$.\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$ puis d\'{e}terminer le
signe de $f\left( x\right) $ sur l'intervalle $\left[ 0,1\right] $.\medskip

\item En d\'{e}duire que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ est
d\'{e}croissante. \medskip

\item Montrer que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ est
convergente. \bigskip
\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}
\item Justifier pour tout r\'{e}el $x\geq 0$, l'in\'{e}galit\'{e} : $%
\ln \left( 1+x\right) \leq x$.\medskip\

\item Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, \'{e}tablir l'in\'{e}galit%
\'{e} : $u_{n+1}\leq u_{n}^{2}$.\medskip

\item En d\'{e}duire pour tout entier $n\geq 1$, l'in\'{e}galit\'{e} $%
u_{n}\leq \left( \ln 2\right) ^{n}$.\medskip\

\item  D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( u_{n}\right)
_{n\geq 0}$. \medskip

\item On consid\`{e}re le programme \textit{Scilab} suivant :

\begin{verbatim}
n=0 ; u =1
while u >= 0.0001
	u = log(1+u^2)
	n = n+1
end
disp(n)
\end{verbatim}
On ex\'{e}cute ce programme. Le r\'{e}sultat affich\'{e} est $6$. Quelle est la signification de ce r\'{e}sultat ?\bigskip\

\item \'{E}tablir pour tout entier $n\geq 2$, l'in\'{e}galit\'{e} $%
\ds \sum\limits_{k=0}^{n-1}u_{k}\leq \dfrac{1-\left( \ln 2\right) ^{n}}{1-\ln 2}
$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 



\section*{Exercice III - ESCP ECT 2010 modifié.}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\renewcommand{\P}{\mathrm{P}}

\textit{La probabilité d'un événement est notée $\P(A)$, et pour tout événement $B$ vérifiant $\P(B)\ne 0$, on note $\P_{B}(A)$ la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$}.\par
%
\smallskip
%
Un mobile se déplace aléatoirement le long d'un axe horizontal d'origine $O$, sur des points à coordonnées entières, positives ou nulles.\\
Les déplacements sont effectués selon le protocole suivant :\\
$\bullet$ à l'instant zéro, le mobile est sur l'origine $O$ d'abscisse $0$;\\
$\bullet$ si, pour tout entier naturel $n$, le mobile  se trouve à l'instant $n$ sur le point d'abscisse $k$ ($0\le k\le n$), alors il sera à l'instant $n+1$, soit sur le point d'abscisse $k+1$ avec la probabilité $\dfrac{1}{3}$, soit sur le point d'abscisse $k$ avec la probabilité $\dfrac{2}{3}$.\\
Pour tout entier naturel $n$, soit $X_{n}$ la variable aléatoire égale à l'abscisse du mobile à l'instant $n$. Ainsi $X_{0}=0$.\\
On note $\E(X_{n})$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X_{n}$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi de $X_1$, son espérance et sa variance.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $X_{2}(\Omega) = \{0,1,2\}$.
  \item Montrer que l'ensemble $\{[X_{1}=1],[X_{1}=0]\}$ forme un système complet d'événements. En déduire les égalités suivantes :
   \begin{center}
    $\P([X_{2}=0])=\dfrac{4}{9},\qquad\P([X_{2}=1])=\dfrac{4}{9}\quad$ et $\quad\P([X_{2}=2])=\dfrac{1}{9}$
   \end{center}
  \item Calculer $\E(X_{2})$.
  \item Calculer $V(X_2)$.
 \end{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X_{n}$.
 \item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ et tout $k$ de $\entier{1,n}$, 
 \begin{enumerate}
  \item Justifier l'égalité : $[X_{n}=k]= \left([X_{n}=k]\cap[X_{n-1}=k-1] \right) \cup \left([X_{n}=k]\cap[X_{n-1}=k] \right) $.
  \item Établir l'égalité : $\P([X_{n}=k])=\dfrac{1}{3}\P([X_{n-1}=k-1]) + \dfrac{2}{3}\P([X_{n-1}=k]) $.
  \item Déduire du résultat précédent que l'on a : $\P([X_{n}=0])=\dfrac{2}{3}P(X_{n-1} = 0)$.
  \item Montrer alors que $P(X_n = 0) = \left( \dfrac{2}{3} \right)^n$.
 \end{enumerate} 
 \item
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant la question 4.(c), montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$,
   \begin{center}
    $\P([X_{n}=n])=\left(\dfrac{1}{3}\right)\P([X_{n-1}=n-1])$
   \end{center}
  \item En déduire pour tout entier naturel $n$, l'expression de $\P([X_{n}=n])$ en fonction de $n$.
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant la définition de $\E(X_{n})$ et la question 4.(c), montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on a :
   \begin{center}
    $\E(X_{n})=\dfrac{1}{3}\ds \sum_{k=1}^{n}k\P([X_{n-1}=k-1]) + \dfrac{2}{3} \ds \sum_{k=1}^{n-1}k\P([X_{n-1}=k])
    $
   \end{center}
  \item En déduire la relation de récurrence : $\E(X_{n})=\E(X_{n-1})+\dfrac{1}{3}$.
  \item Déterminer l'expression de $\E(X_{n})$ en fonction de $n$.
 \end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section*{Exercice IV -Inspiré d'INSEEC 2002}

On définit pour tout entier naturel $n$ non nul, le polynôme $P_n$ par :
$P_0(X) = 2$ et $\forall n  \in \N$,
\begin{equation}
P_{n+1}(X) = X^3 P_n'(X) + (2 - 3n X^2) P_n (X)
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item \'Etude des polynomes
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n \in \N$, $P_n(0) = 2^{n+1} $
\item Calculer $P_1(X)$ en utilisant la relation (1) et déterminer ses racines.  
\item Montrer que $P_2(X) = 24X^4 - 36X^2 + 8$ et déterminer ses racines. 
\item Montrer par récurrence que le polynôme $P_n$ est de degré $2n$. 
\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x) = \dfrac{2}{x^3} e^{-1/x^2}$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $\forall x \in \R^*$, 
$$
f'(x) = \dfrac{P_1(x)}{x^6} e^{-1/x^2} \quad {\rm et} \quad f''(x) = \dfrac{P_2(x)}{x^9} e^{-1/x^2}
$$
\item En déduire les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. Tracer son tableau de variation. 
\item Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est convexe ou concave. \\
{\it On rappelle qu'une fonction 2 fois dérivables est convexe (resp concave) si et seulement si $f''(x) >0$ (resp. $f''(x) < 0$)}
\item Conjecturer une formule pour la dérivée $n$-ème de $f$ notée $f^{(n)}(x)$. 
\item Démontrer cette formule par récurrence.  
\end{enumerate}
\item En scilab, un polynôme peut être modélisé par une matrice ligne ne comportant que les coefficients du polynôme. Ainsi la matrice $[2,3,5]$ correspondra au polynôme $P(X) = 2 + 3X + 5 X^2$.
\begin{enumerate}
\item A quel polynôme correspondra la matrice $[1,0,2,4]$ ?
\item \'Ecrire $P_1(X)$ et $P_2(X)$ des questions $1(b)$ et $1(c)$ en Scilab. 
\item Si un polynôme est de degré $n$, quelle sera la taille de sa matrice associée en Scilab ?
\item Compléter la fonction suivante qui pour un polynôme quelconque, permet d'obtenir le polynôme dérivée :
\begin{verbatim}
function Q = derive(P)
    n = size(P) \\permet d'obtenir la taille de la matrice P
    if n == 1
        Q = [.....]
    else 
        Q = zeros(1,......)
        for k = 1 : ......
            Q(k) = ............
        end
    end
endfunction
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}