\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{2}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Vendredi 7 Décembre, de 13h30 à 17h30}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule

\vspace{40pt}


\newpage

\section*{Exercice I - \'Etude d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$}


Dans toute cette partie, on s'intéresse à la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par la relation de récurrence 
$$u_{n+1} = \dfrac{e^{u_n} - 1}{u_n} .$$
\begin{enumerate}
\item Montrer les relations suivantes 
\begin{enumerate}
\item $$
\forall x \in \R, \quad e^{x} - 1 \geq x
$$
\item Calculez $\li_{x \to + \infty} xe^x - e^x + 1$ et $\li_{x \to - \infty} xe^x - e^x + 1$
\item Montrer que $$ \forall x \in \R, \quad xe^x - e^x + 1 \geq 0$$
\end{enumerate}

\item On \'etudie dans cette partie la fonction $f : x \to \dfrac{e^x - 1}{x}$.
\begin{enumerate}
	\item Donner le domaine de définition de $f$.
	\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ et le signe de $f'$.
	\item Déterminer les limites de la fonction $f$ au bord de son domaine de définition.  
	\item Donner l'équation de la tangente à $f$ en $x = 1$.
\end{enumerate}
\item On cherche à tracer la fonction $f$ sur l'intervalle $[1;5]$ en utilisant Scilab. 
	\begin{enumerate}
	\item  \'Ecrire une fonction scilab appelé $f$ qui permettent d'obtenir le tracé de la fonction $f$ sur [1;5] en utilisant plot(x,f).
	\item Complétez le script suivant permettant de tracer le graphe de la fonction $f$ sur $[1,5]$ avec un pas de $0.01$. 
\begin{verbatim}
clf
x = ..............
plot(x, f) 
\end{verbatim}
	\item On aimerait sur le même graphique, tracée en rouge, la tangente de la fonction $f$ en $x =  1$. Complétez votre programme qui permet d'obtenir ce résultat.
	\item On donne 4 graphiques possibles. \'Ecrivez sur votre copie le numéro du graphique correspondant à la fonction $f$ en justifiant votre réponse. 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{DS2_1.png}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item On considère $u_0 = 1$. 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, la suite $u_n$ est bien définie et que $u_n \geq 1 $.
	\item Démontrer que la suite est croissante. (Indice, utiliser la fonction $f$).
	\end{enumerate}
\item \'Ecrire un script scilab qui pour un entier $n$ donné par l'utilisateur, calcule puis affiche le $n$-ième terme de la suite.  
\end{enumerate}

\section*{Exercice II - ESCP 2018 - ECT}

Soit $a,b,c,d$ des réels et soit $E$ l'ensemble des matrices carrées $M = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}$
d'ordre 2 qui vérifient les 2 conditions : $a+d = 0$ et $ad - bc = 0$. 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Les matrices de $E$ sont-elles inversibles. 
\item Vérifier que les deux matrices $\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & -1
\end{pmatrix}$
et 
$\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$
appartiennent à $E$. 
\item En déduire que la somme et le produit de 2 matrices de $E$ n'appartiennent pas nécessairement à $E$. 
\item Soit $M = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}$ une matrice de $E$. Déterminer la matrice $M^2$ et en déduire pour tout entier $n \geq 2$, la matrice $M^n$. 
\end{enumerate}
{\it Dans la suite de l'exercice, on pose $A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-2 & 5
\end{pmatrix}$
et on note $I = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$ la matrice identité.}
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que $A$ est inversible et donner son inverse. 
\item On pose $K = A - 3I$. Vérifier que la matrice $K$ appartient à $E$. 
\item Déterminez $\alpha$ et $\beta$ tel que $A^2 + \alpha A + \beta I = 0$. 
\item Retrouver le fait que $A$ est inversible et que $A^{-1} = \dfrac{2}{3} I -  \dfrac{1}{9} A$. 
\item Montrer par récurrence qu'il existe une suite de réels $a_n$ et $b_n$ telle que $A^n = a_n A + b_n I$.
\item Déterminer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ puis $A^n$. 
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\section*{Exercice III - Espérance d'une loi binomiale.}
Soit $n \in \N$ et $p \in ]0;1[$. On considère la fonction $f$ définie par 
$$
\forall x \in \R, \quad f(x) = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^k (1-p)^{n-k} 
$$
\subsection*{ PARTIE I. \'Etude numérique}
On veut modéliser la fonction $f$ en scilab. 
\begin{enumerate}
\item Compléter la fonction suivante pour avoir en sortie $n!$.
\begin{verbatim}
function y = factorielle(n)
    y = 1
    ..................
    ..................
    ..................
endfunction
\end{verbatim}
\item Expliquer précisément ce que fait la fonction suivante :
\begin{verbatim}
function y = binom(k,n)
    y = factorielle(n)/(factorielle(k)*factorielle(n-k))
endfunction
\end{verbatim}
Qu'affichera Scilab, si on entre dans la console (après avoir lancé cette fonction) \\
\begin{verbatim}
>>> binom(2,4) 
>>> binom(10,10)
\end{verbatim}
\item \'Ecrire une fonction appelée $f$ qui modélise la fonction $f$. (On utilisera les fonctions précédemment définies et on supposera pour cette question que $p = 0.4$) 
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE II. \'Etude de $f$}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(p)$.
\item En reconnaissant une formule de somme, trouver une autre formule pour $f$. 
\item En dérivant $f$ de deux façons différentes, montrer que 
$$
\sum_{k=1}^n \binom{n}{k} k x^k (1-p)^{n-k} = nx (x + 1 - p)^{n-1} 
$$
\item Soit $X \loi{B}(n,p)$. Montrer que $E(X) = np$ (on demande ici de le démontrer en utilisant la formule de $E(X)$). 
\end{enumerate}

\section*{Exercice IV - ECRICOME 2011}
\subsection*{PARTIE I. Un jeu en ligne.}

La soci\'{e}t\'{e} Lehazard met \`{a} la disposition de ses clients un
nouveau jeu en ligne dont la page d'\'{e}cran affiche une grille \`{a} trois
lignes et trois colonnes.

Apr\`{e}s une mise initiale de $2$ euros du joueur, une fonction al\'{e}%
atoire place au hasard successivement trois jetons $\left( \bigstar \right) $
dans trois cases diff\'{e}rentes. La partie est gagn\'{e}e si les trois
jetons sont align\'{e}s. Le gagnant empoche $10$ fois sa mise, ce qui lui
rapporte $18$ euros \`{a} l'issue du jeu. Dans le cas contraire la mise
initiale est perdue par le joueur.%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
& $A$ & $B$ & $C$ \\ \hline
$1$ & $\bigstar$ &  &  \\ \hline
$2$ & $\bigstar$ &  &  \\ \hline
$3$ &  & $\bigstar$ &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{equation*}

On d\'{e}finit les \'{e}v\'{e}nements $H,$ $V,$ $D,$ $N$ par :

\begin{itemize}
\item $H$ : "les trois jetons sont align\'{e}s
horizontalement " .

\item $V$ :" les trois jetons sont align\'{e}s verticalement 
" .

\item $D$ : " les trois jetons sont align\'{e}s en diagonale 
" .

\item $N$ : " les trois jetons ne sont pas align\'{e}s 
" .
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il y a $84$ positionnements possibles des trois jetons
dans les trois cases.

\item D\'{e}terminer les probabilit\'{e}s $\mathrm{P}\left( H\right) ,\ 
\mathrm{P}\left( V\right) ,\ \mathrm{P}\left( D\right) $ des \'{e}v\'{e}%
nements $H,.V,.D$.

\item En d\'{e}duire que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $N$ est 
\'{e}gale \`{a} :%
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( N\right) =\frac{19}{21}\simeq0.9048 
\end{equation*}

\item La soci\'{e}t\'{e} peut s'attendre \`{a} $10~000$ relances par jour de
ce jeu.

\begin{enumerate}
\item Pour chaque entier naturel $i$ non nul. on note $Z_{i}$ le gain de la
soci\'{e}t\'{e} \`{a} la $i^{\grave{e}me}$ relance.

Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique $E\left( Z_{i}\right) $ de $Z_{i}$
.

\item Quel gain journalier $Z$ la soci\'{e}t\'{e} peut-elle esp\'{e}rer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE II. Cas de joueurs inv\'{e}t\'{e}r\'{e}s.}

\begin{enumerate}
\item Un Joueur d\'{e}cide de ,jouer $100$ parties cons\'{e}cutives que l'on
suppose ind\'{e}pendantes.

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de la variable al\'{e}atoire $X$ \'{e}gale au nombre de
parties gagn\'{e}es.

\item Indiquer l'esp\'{e}rance et la variance de $X$.

\item Exprimer la perte $T$ du joueur en fonction de $X$.
\end{enumerate}

\item Quel nombre minimum $n$ de parties devrait-il jouer pour que la
probabilit\'{e} de gagner au moins une partie soit sup\'{e}rieure ou \'{e}%
gale \`{a} $50\%$ ? (On admettra que $\ln \left( \dfrac{19}{21}\right)
\simeq-0,1$ et $\ln \left( 2\right) \simeq0,7$ )
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE III. Contr\^{o}le de la qualit\'{e} du jeu.}

On constate que, parfois, la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}r\'{e}gl\'{e}%
e. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la case $\left( A,1\right) $
, les deux autres \'{e}tant plac\'{e}s au hasard dans les cases restantes.
On note $\Delta$ l'\'{e}v\'{e}nement "la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}%
r\'{e}gl\'{e}e" et on pose $\mathrm{P}\left( \Delta \right) =x$ avec $x\in %
\left] 0,1\right[ $.

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilit\'{e}s conditionnelles $\mathrm{P}_{\Delta
}\left( H\right) ,\ \mathrm{P}_{\Delta}\left( V\right) ,\ \mathrm{P}%
_{\Delta}\left( D\right) $ des \'{e}v\'{e}nements $H,$ $V$,\ $D$ sachant l'%
\'{e}v\'{e}nement $\Delta.$

\item Utiliser la formule des probabilit\'{e}s totales avec le syst\`{e}me
complet d'\'{e}v\'{e}nement $\left( \Delta,\overline{\Delta}\right) $ pour
en d\'{e}duire que la probabilit\'{e} les jetons ne soient pas align\'{e}s
est \'{e}gal \`{a} $:$%
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( N\right) =-\frac{x}{84}+\frac{19}{21}
\end{equation*}

\item Soit $G$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au gain r\'{e}alis\'{e}
par la soci\'{e}t\'{e} de jeu lors d'une partie jou\'{e}e. D\'{e}terminer la
valeur maximale de $x$ pour que l'esp\'{e}rance de gain soit positive.

\item On joue une partie. On constate que les jetons sont align\'{e}s.
Quelle est la probabilit\'{e}, en fonction de $x,$ que la fonction al\'{e}%
atoire ait \'{e}t\'{e} d\'{e}r\'{e}gl\'{e}e ?
\end{enumerate}



\end{document}