\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{1}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Vendredi 5 Octobre, de 13h30 à 17h30}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule

\vspace{40pt}


\newpage
\begin{ex}[Quelques calculs pour débuter]
Simplifier au maximum les expressions suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $A = 27^{n+1} + 3^{n+2} \times 9^n$.
\item $B = \ln(\sqrt{5} + 2) + \ln(\sqrt{5} -2)$.
\item $C = \ln \left( \sqrt{\ln(e^{4x^2})} \right)$, $x \in \R$
\item $ \displaystyle D = \frac{\dfrac{6(n+1)}{n(n-1)(2n-2)}}{\dfrac{2n+2}{n^2(n-1)^2}}$ 
\end{qmulti}
  
\end{ex}

\begin{ex}[\'Equations et inéquations]
Résoudre les équations et les inéquations suivantes. 
\begin{qmulti}{2}
\item $\ln(x-3) + \ln(x+1) = 3 \ln 2$
\item $|3x +1| + |2x - 4| = 5$
\item $x^2 - 3x \leq 4$
\item $1 + \frac12 x^2 \geq \ln(x)$
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[Suites usuelles]
\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définit par $u_0 = 1$ et pour tout $n$ entier,  $u_{n+1} = 3 u_n + 2$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
\item Soit $(v_n)_{n \in \N}$ la suite définit par $v_0 = 1$, $v_1 = 3$ et pour tout $n$ entier,  $v_{n+2} =  v_{n+1} -\dfrac{1}{4} v_n$. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Soient les suites $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ définies par $a_0 = 0$, $b_0 = 1$ et pour tout $n$ entier,
$$
a_{n+1} = 2 a_n + b_n \qquad b_{n+1} = 2a_n + 3 b_n
$$
Montrer que $(a_n)_{n \in \N}$ est une suite récurrente linéaire d'ordre 2. Déterminer $(a_n)_{n \in \N}$ puis $(b_n)_{n \in \N}$ en fonction de $n$. 
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Démonstrations par récurrence]
Les questions suivantes sont indépendantes :
\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)_{n\in \N}$ une suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}$. Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N, u_n = \dfrac{2}{2n+1}$.
\item Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1} = \dfrac{\sqrt{1+2u_n}}{2}$. Démontrer  par récurrence que pour tout $n \in \N^*$ on a $0 < u_n \leq 1$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Scilab]
Les 3 questions sont indépendantes et par ordre de difficulté croissante. 
\begin{enumerate}
\item On considère le programme 
\begin{verbatim}
a = input('Entrez un réel')
a = a^2
a = a + 2*a
a = a +1
disp(a) 
\end{verbatim}
\begin{enumerate}
\item Que fait le programme ci dessus ?
\item Que renvoie ce programme si l'utilisateur entre la valeur 2 ?
\item Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle l'ordinateur renvoie la valeur $0$ ?
\end{enumerate}
\item Le système Français utilise les degrés Celsius pour mesurer la température alors que le système anglo-saxon utilise les degrés Fahrenheit. Lorqu'on connait la température en degré Fahrenheit (F), on obtient la température en degré Celsius (C) grâce à la relation
$$
C = \dfrac{5}{9}(F - 32).
$$
Le but de l'exercice est de créer un programme qui convertisse les degrés Celsius en degré Fahrenheit et inversement. 
\begin{enumerate}
\item Par quel formule peut-on obtenir la température en degré Fahrenheit (F) quand on connait la température en degré Celsius (C) ?
\item Voici le programme de conversion. Recopiez le programme sur votre feuille en complétant les pointillés. 
\begin{verbatim}
disp("Ce programme permet de convertir les degrés Celsius ou les degrés 
Fahrenheit. Pour commencer entrez la température à convertir puis préciser
s''il s''agit de degré Celsius (0) ou de degré Fahrenheit (1)")

T = input("Entrez la température à convertir")
type = input("Entrez 0 si la température est en degré Celsius. Entrez 1 si
la température est en degré Fahrenheit")

if type == ..... then // Cas ou la température est en degré Celsius
    T_convert = .........................
    disp("La température est de '+string(T_convert)+' degrés Fahrenheit")
......
    T_convert = ........................
    disp("................................................")
end
\end{verbatim}
\end{enumerate}
\item On cherche à résoudre l'équation du second degré $ax^2 + bx +c = 0$. \'Ecrire un programme qui demande à l'utilisateur d'entrer les valeurs de $a$, $b$ et $c$ et qui affiche 
\begin{itemize}
\item les 2 solutions si le discriminant est positif,
\item l'unique solution si le discriminant est nul,
\item Il n'y a pas de solution si le discriminant est négatif.  
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[ECRICOME ECT 2011 - Exercice 1]
Le but de cet exercice est l'étude de la fonction $f$ définie par :
$$
\forall x \in \R, \quad f(x) = e^x - e^{-x}
$$
et la résolution d'une équation. On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$. 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $f$ et étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathscr{C}_f$ ?
\item Donner les valeurs de $\li_{x \to + \infty} f(x)$ et $\li_{x \to - \infty} f(x)$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour $x$ réel. 
\item Construire le tableau de variation de $f$.
\item Après avoir calculé $f(0)$, déterminer le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 0. On note cette droite $T$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée seconde de $f$ et donnez le signe de $f''(x)$. 
\item Construire sur un même schéma $\mathscr{C}_f$ et $T$. 
\end{enumerate}
\item Soit $n \in \N$, on considère dans cette question à l'équation $(E_n)$ d'inconnue $x$ : $f(x) = n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $(E_n)$ admet une unique solution notée $u_n$ ({\it on ne cherchera pas ici à calculer $u_n$}). Préciser la valeur de $u_0$. 
\item Soit $n \in \N$. Montrer que l'équation $x^2 -nx - 1 = 0$ admet deux solutions réelles que l'on déterminera et dont on précisera les signes. 
\item A l'aide du changement de variable $t=e^x$, déterminer la solution $u_n$ de $(E_n)$ pour $n$ entier naturel. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

%\begin{ex}[Suites]
%Soit $u$ la suite définie par $u_0 = -2$ et $\forall n \in \N^*$,
%$$
%u_{n+1} = \dfrac{u_n}{3 - 2 u_n}
%$$
%\begin{enumerate}
%\item A quelle condition sur $u_n$, $u_{n+1}$ est-il bien défini ?
%\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $u_n$ existe et $u_n < 0$. \\
%
%On pose  pour tout $n \in \N$, $v_n = \dfrac{u_n}{u_n - 1}$
%
%\item Montrer que  pour tout $n \in \N$, $v_n$ est bien défini.
%\item Montrer que pour tout entier $n$, $v_n$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$.
%\item Déterminer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. 
%\end{enumerate}
%\end{ex}

\begin{ex}[Inspiré de EML 1995]
\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie par 
$$
f(x) = x \ln(1+x)
$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$. 
\item La fonction $f$ admet-elle une parité ? Si oui laquelle ?
\item Calculer les limites de $f$ au bord du domaine de définition. 
\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$. 
\item En déduire son tableau de variations. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = x$. 
\item Résoudre l'inéquation $f(x) \geq x$. 
\end{enumerate}
\item On définit la suite $(u_n)_{n \in \N}$ par 
$$
\begin{cases}
u_0 \in ]0 ; e-1[ \\
u_{n+1} = f(u_n) = u_n \ln(u_n +1)
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N$, $u_n$ existe et $u_n \in ]0; e-1[$.  
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est décroissante. 
\end{enumerate}
\item On définit la suite $(u_n)_{n \in \N}$ par 
$$
\begin{cases}
u_0> e-1 \\
u_{n+1} = f(u_n) = u_n \ln(u_n +1)
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N$, $u_n$ existe et $u_n > e-1$. 
\item Quelle est la monotonie de la suite $(u_n)$ ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\end{document}