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\hyphenation{BINAR}


\begin{document}

ECE 1 \hfill Correction en ligne le Dimanche 28 Octobre. \\
2017-2018\\


\title[DM $\no$1]
{Devoir maison bonus $\no$1}
%\author{Vassili Blandin}
%\dedicatory{A rendre pour le 23 septembre}

\maketitle


\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}

\begin{Exo}
On d\'epose au hasard un cadeau derri\`ere l'une d'entre trois portes.
Un jeu consiste \`a trouver ce cadeau en deux \'etapes.
D'abord vous choississez une porte; puis l'organisateur vous
montre parmi les deux portes restantes, une porte derri\`ere laquelle
le cadeau ne se trouve pas.
Vous avez alors la possibilit\'e entre changer de choix o\`u le garder:
que faites-vous?
\end{Exo}

\begin{Exo}
On travaille sur les matrices sym�triques
\begin{enumerate}
\item
Montrer que si $A$ et $B$ sont deux matrices carr�es d'ordre $n$ alors $^t(A+B)=\ ^tA+ \ ^tB$
\item
En d�duire que si $(A,B)\in S_n(\R)^2, A+B\in S_n(\R)$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
Soit $n\in\N^\star$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que: $\ds\sum_{k=1}^n k(2k^2-1)=\frac{n(n+1)(n^2+n-1)}2$.
\item Soit $(x_k)_{k\in\llbracket1,n\rrbracket}$ une famille de r�els. Montrer que: $\ds\sum_{k=1}^n \ln(x_k)=\ln \left({\prod_{k=1}^n x_k}\right)$.
\end{enumerate}
\end{Exo}\hspace{0pt}

\begin{Exo}
Pour tout $n\in\N$, $n\geq3$, calculer les sommes suivantes:
$$\text{(1)}\sum_{k=2}^{n-1} (4^{2-k}+5^k6^{n-k+1}),\hspace{60pt}
\text{(2)}\sum_{k=3}^{n+1} 2^{3k+2}\binom n{k-1}.$$
\end{Exo}

\begin{Exo}\hspace{0pt}
\begin{enumerate}
\item Soient $a$ et $b$ deux rationnels v�rifiant $a<b$, on note $\ds c=\frac{a+b}2$. Montrer que $c$ est un nombre rationnel v�rifiant $a<c<b$.
\item En d�duire, gr�ce � un raisonnement par l'absurde, qu'il n'existe pas de plus petit rationnel strictement sup�rieur � 1.
\end{enumerate}
\end{Exo}\hspace{0pt}

\begin{Exo}
Soit $n\in\N^\star$. Montrer que: $\ds\prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}=\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}$.
\end{Exo}\hspace{0pt}

\begin{Exo}
On dit que $A$ carr�e d'ordre $n$ est antisym�trique si $^tA=-A$. Montrer qu'une matrice carr�e $A$ peut toujours s'�crire comme somme d'une matrice sym�trique et d'une matrice antisym�trique. 
\end{Exo}



\end{document}