\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°9}
\lfoot{}
\cfoot{Bilan 1er semestre.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 30 Janvier 2019}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 Matrices}

Parmi les matrices suivantes, déterminer celles qui sont inversibles et les inverser le cas échéant

$$
A = \begin{pmatrix}
2 & \sqrt{3} & 7 \\
0 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}
\qquad 
B = \begin{pmatrix}
2 & 0 & -2 \\
0 & -1 & 2 \\
2 & 1 & 0 
\end{pmatrix}
\qquad
C = \begin{pmatrix}
4 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 0 \\
1 & 2 & 1 
\end{pmatrix}
\qquad
D = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 \\
0 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 
\end{pmatrix}
$$

\section*{Exercice 2 - Fonctions et polynômes}

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = x + 1 + \dfrac{x-1 + \ln(x)}{x^2}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$. 
\item  On introduit la fonction auxiliaire $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x) = x^3 -x + 3 - 2 \ln(x)$ et $P$ la fonction polynôme déterminée par $\forall x \in \R, P(x) = 3x^3 - x - 2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le polynôme $P$ se factorise par $(x - 1)$.
\item Déterminer les 3 réels $a, b, c$ tels que $\forall x \in \R,\; P(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)$.
\item En déduire le signe de $P$ sur $\R$.
\item Exprimer $g'$ en fonction de $P$, calculer les limites de $g$ aux bords de son domaine de définition puis dresser le tableau de variations de $g$.
\item Montrer que : $\forall x \in \R_+^*, \quad g(x) > 0$. 
\end{enumerate}
\item \'Etude de la fonction f :
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction dérivée $f'$ peut s'écrire : $\forall x \in Df ; f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$. 
\item En déduire les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 - Probabilités et suites } %ESCP 2002 revu et adapté

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ : $U_1$ contient 2 boules blanches et 2 boules noires et $U_2$ contient une boule blanche et 3 boules noires. On effectue des tirages avec remise d'une boule selon le
protocole suivant :
\begin{itemize}
\item le premier tirage se fait dans l'urne $U_1$
\item si le $n$ème tirage a donné une boule blanche (resp. noire), le $n+1$ème  tirage s'effectue dans l'urne $U_1$ (resp. $U_2$).
\end{itemize}
On introduit les événements $B_n$ (resp $N_n$) "le $n$ème tirage donne une boule blanche (resp. noire) " et on note $p_n = P(B_n)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_1$ puis $p_2$.
\item Les événements $B_1$ et $B_2$ sont-ils indépendants ?
\item A l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que pour tout $n \in \N$, $p_{n+1} = \dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{4}$.
\item En déduire $p_n$ en fonction de $n$ ; puis déterminer sa limite quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}


\end{document}