\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°7}
\lfoot{}
\cfoot{VA finies, systèmes linéaires.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 19 Décembre 2018}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 (\'Etude de fonctions)}

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x) = 5 \ln(x+3) - x$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $[0;+\infty[$.
\item Montrer que, pour tout $x >0$, on a $f(x) = x \left( 5 \dfrac{\ln(x)}{x} - 1 \right) + 5 \ln \left( 1 + \dfrac{3}{x} \right)$. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0; +\infty[.$
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0; +\infty[$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (Inverse de matrice et résolution de système)}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice $C={\begin{pmatrix}{1} & {2} & {0}\\
{1} & {0} & {0}\\
{0} & {2} & {0}
\end{pmatrix}}$ n'est pas inversible
\item {}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'inverse de la matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1\\
1 & -1 & 1\\
2 & -4 & 5
\end{array}\right)$. 
\item En déduire les solutions du système linéaire: $\begin{cases}
3x+2y-z & =5\\
x-y+z & =1\\
2x-4y+5z & =-3
\end{cases}$.
\end{enumerate}
\item On considère le système $(E_{\lambda }):\left\{ 
\begin{array}{l}
{-2x-2y+z=\lambda x } \\ 
{-2x+y-2z=\lambda y} \\ 
{x-2y-2z=\lambda z}%
\end{array}%
\right. $ où $\lambda \in \mathbb{R}.$

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $\lambda $, le système $(E_{\lambda })$ est-il de
Cramer ?

\item Résoudre le système selon les valeurs de $\lambda $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Fonctions et Variables aléatoires } %ESCP 2002 revu et adapté

Terrassé par la perte de son fidèle ami Osorno emporté par la déesse Mapuche, et chassé du Villarica par les flammes noires de sa récente éruption, notre jeune condor Puyehue décida de réaliser un voyage initiatique à travers les Andes. Celui-ci  l'amena à rencontrer une jeune condor nommée Chiloé. Et aujourd'hui il songe à sa descendance. Il faut savoir que le condor se reproduit de la manière suivante, il a 2 descendants avec probabilité $p\in]0,1[$, et 0 descendant avec probabilité $1 - p$. On note $X_n$ le nombre de descendants de Puyehue à la $n-ieme$ génération. On s'intéresse à $P(X_n = 0)$, c'est à dire à la probabilité que la lignée de Puyehue soit éteinte à la $n-ieme$ génération.
\begin{enumerate}
\item
Soit $f(x)=px^2+1-p$ une fonction définie sur $[0,1]$ et soit $(u_n)_n$ la suite définie par $\begin{cases}
u_0=0\\
u_{n+1}=f(u_n)
\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item
Tracer le tableau de variations complet de $f$.
\item
En déduire par récurrence que $\forall n\in\N, u_n\in[0,1]$.
\item
Montrer par récurrence que la suite $(u_n)_n$ est croissante.
\item
En déduire que $(u_n)_n$ converge. On note $\ell$ sa limite. 
\item
Montrer que si $p\leq 1/2$, $\ell=1$.
\item
Montrer que si $p>1/2$, $\ell=\frac{1}{p}-1$ (on pourra au préalable montrer que si $p>1/2,u_n\leq \frac{1}{p}-1,\forall n\geq 0$).

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item
On remarque que $X_0=1$. Déterminer la loi de $X_1$ et $X_2$.
\item
Montrer que $(X_1=0,X_1=2) $ est un système complet d'événements. 
\item
Justifier que $P_{X_1=2}(X_{n+1}=0)=P(X_n=0)^2$.
\item
Montrer en utilisant la FPT que 
$$
P(X_{n+1}=0)=1-p+pP(X_n=0)^2.
$$
\item
En déduire alors $\lim\limits_{n\to+\infty}P(X_n=0)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}




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