\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°6}
\lfoot{}
\cfoot{\'Etudes de fonctions.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 5 Décembre 2018}
\end{center}
\vspace{30pt}


\section*{Exercice 1} % Ecricome ECE 2013


On considère l'application $f$ définie sur $\R_+^*$ par :
\[
\forall x \in \R_+^*, \quad f(x) = \dfrac{x \ln(x) -1}{x}
\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ et la limite de $\dfrac{f(x)}{x}$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
\item Déterminer la dérivée de $f$ sur $\R_+^*$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$  en faisant apparaître les limites de $f$ en $0^+$ et $+ \infty$.
\item Prouver l'existence d'un unique réel $\alpha \in \R_+^*$ tel que :
\[ f(\alpha) = 0 \]
Justifier que $\alpha \in [1;e].$
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2: Dénombrement} % ESC 1992


Pour son vélo, Paul possède un antivol à code. Le code est une succession de trois chiffres compris entre $0$ et $9$.
\begin{enumerate}
\item Paul a oublié son code. Combien de combinaisons doit-il essayer \emph{dans le pire des cas} avant de retrouver la bonne~?
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code commence par un $8$.
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code se termine par un chiffre pair.
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code ne contient que des chiffres pairs.
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code ne contient que des chiffres impairs.
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code contient au moins un chiffre pair.
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code contient exactement un chiffre pair.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - \'Etude de fonction} %EMLyon 2011

On consid\`{e}re la fonction définie sur $]0; +\infty[$, $
f:x\longmapsto f\left(
x\right) =\left( x+\ln x\right) e^{x-1}. $

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in \left] 0;+\infty \right[ ,$ calculer $f^{\prime}\left(
x\right) .$

\item \'{E}tablir : $\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\quad \ln x+\frac{1}{x}>0 $
\item En d\'{e}duire : $
\forall x\in \left] 0;+\infty \right[ ,\quad x+\ln x+1+\frac{1}{x}>0. 
$ et le sens de variation de $f$


\item Dresser le tableau de variation de $f$. Calculer $f\left( 1\right) $ et $f^{\prime}\left( 1\right) .$

\item Pr\'{e}ciser la nature des asymptotes de la courbe repr\'{e}%
sentative $C$ de $f$ en 0.

\item Tracer l'allure de $C$. On pr\'{e}cisera et on tracera la tangente au point
d'abscisse $1.$

\end{enumerate}



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