\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°5}
\lfoot{}
\cfoot{Matrices, sommes et dénombrement.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 21 Novembre 2018}
\end{center}
\vspace{30pt}


\section*{Exercice 1}

\noindent\textbf{Première partie: Puissance de matrice}
\vspace{0.1cm}

Soit 
$M=\begin{pmatrix}
1/3&0&0\\
1/3&1/2&0\\
1/3&1/2&1
\end{pmatrix}$
, \;
$P=\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&-2\\
1&-1&1
\end{pmatrix}$
et
$Q=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}$
\begin{enumerate}
\item Justifier que $P$ est inversible et que $P^{-1} = Q$.
\item Calculer $D=P^{-1}MP$.
\item Montrer que $\forall n\geq 0, M^n=PD^nP^{-1}$.
\item Montrer que 
$M^n=
\begin{pmatrix}
(1/3)^n & 0&0\\
2(1/2)^{n}-2(1/3)^n& (1/2)^n&0\\
1-2(1/2)^{n}+(1/3)^n & 1-(1/2)^n&1
\end{pmatrix}$
\item Vérifier que la formule obtenue à la question précédente est vraie pour $n=0$ et $n=1$.
\end{enumerate}


\noindent\textbf{Deuxième Partie: Probabilités}
\vspace{0.1cm}

Soit une urne contenant trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2.
On procède à des tirages successifs dans cette urne en respectant le protocole suivant.

On tire une boule dans l'urne.
On remet alors la boule tirée, mais on retire de l'urne les boules ayant un numéro strictement supérieur à celui de la boule tirée. Et on passe au tirage suivant.

Par exemple, si on a tiré la boule numéro 1, on remet la boule numéro 1 dans l'urne mais on enlève la boule numéro 2 de l'urne. Ainsi, le tirage suivant se fera dans une urne contenant les boules numéro  0 et 1.

Pour $n\geq 0$, on note les événements suivants 

$A_n$ : à l'issue du $n$-ème tirage l'urne contient 3 boules.

$B_n$ : à l'issue du $n$-ème tirage l'urne contient 2 boules. 

$C_n$ : à l?issue du $n$-ème tirage l'urne contient 1 boule.

On note $a_n=P(A_n), b_n =P(B_n), c_n= P(C_n)$.

On pose 
$U_n=\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix}$. On remarque que $U_0=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que 
$U_1=\begin{pmatrix}
1/3\\
1/3\\
1/3
\end{pmatrix}$.
\item Justifiez que pour tout $n\geq 1$, $A_n, B_n, C_n$ est un système complet d'événements. 
\item 
En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que $\forall n\geq 0$, 
$U_{n+1}=MU_n$.
\item En déduire (par récurrence) que $\forall n\geq 0, U_n=M^nU_0$.
\item En déduire que 
$U_n=
\begin{pmatrix}
(1/3)^n\\
2(1/2)^n-2(1/3)^n\\
1-2(1/2)^n+(1/3)^n
\end{pmatrix}$.



\item
On note $D_n$ l'événement "le $n$-ième tirage est le premier tirage à l'issue du quel il n'y a plus qu'une boule dans l'urne".

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(D_1)$.
\item A l'aide de la formule des probas totales, montrer que $P(D_2)=5/18$.
\item A l'aide de la formule des probas totales, montrer que
$\forall n\geq 2$, $P(D_n)=2(1/2)^n-2(1/3)^n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 } %Ecricome ECE 2015

Soit $n \in \N$ et $\ds S_n = \sum_{k = 0}^n (2k+1)^3$. On propose 3 méthodes de calcul de $S_n$.
\begin{enumerate}
\item {\bf Première méthode}
\begin{enumerate}
\item Soit $k \in \entier{0,n}$. Développer $(2k+1)^3$. 
\item En déduire alors que $S_n = (n+1)^2 (2n^2 + 4n+1).$
\end{enumerate}
\item {\bf Deuxième méthode}
Montrer par récurrence que $S_n = (n+1)^2(2n^2 + 4n+1)$. 
\item {\bf Troisième méthode}
On introduit $\ds T_n = \sum_{k=0}^n (2k)^3$ et $\ds U_n = \sum_{k=0}^{2n+1} k^3$.
\begin{enumerate}
\item Comparer $S_n + T_n$ et $U_n$.
\item Calculer $T_n$ et $U_n$.
\item En déduire alors que $S_n = (n+1)^2 (2n^2 + 4n +1)$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3: Dénombrement} % ESC 1992


Joan va acheter trois livres de maths et deux bandes dessinées. Dans le magasin, il y a dix livres de maths et vingt bandes dessinées.

Dans cet exercice on prendra tout particulièrement soin de justifier les réponses et d'expliquer le raisonnement. 
\begin{enumerate}
\item De combien de façons Joan peut-il faire ses achats~?
\item De retour chez lui, Joan forme une pile avec ses nouveaux livres. De combien de façons peut-il le faire~?
\item Même question si Joan souhaite que ses livres de math se trouvent en bas de la pile, et ses bandes dessinées en haut.
\item Même question si Joan souhaite que ses livres de math se suivent dans la pile(mais pas nécessairement les bandes dessinées).
\end{enumerate}

\end{document}