\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°3}
\lfoot{}
\cfoot{Suites usuelles et probabilités.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 17 Octobre 2018}
\end{center}
\vspace{30pt}


\section*{Exercice 1}

Soit $(a_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $a_0 = -1$ et 
\begin{eqnarray*}
a_{n+1} & = & \dfrac{a_n}{3-2a_n}
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N, \; a_n < 0$.
\item \'Ecrire un script Scilab permettant de calculer le maximum et le minimum de $a_n$ pour $n \in \entier{0,100}$.  
\item On pose, pour tout $n \in \N$, $t_n = \dfrac{1}{a_n}$ . Pourquoi est-ce possible ?
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$, $t_{n+1} = 3 t_n -2$.
\item Trouver l'expression de $t_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire $a_n$ en fonction de $n$. 
\end{enumerate}
%
%On définit $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ par $a_0=0$ et $b_0 = 12$, puis pour $n \in \N$: 
%$$
%a_{n+1} = \dfrac{2a_n + b_n}{3} \quad \text{et} \quad b_{n+1} = \dfrac{a_n + 3b_n}{4}.
%$$
%\begin{enumerate}
%\item On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n \in \N$, par $u_n = b_n - a_n$. 
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme à préciser. 
%\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
%\end{enumerate}
%\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 4b_n + 3a_n$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la suite $(v_n)$ est constante.
%\item Préciser quelle est la valeur constante de $v_n$. 
%\end{enumerate}
%\item A l'aide des questions $1(b)$ et $2(b)$, calculer les expressions de $a_n$ et $b_n$ pour tout entier naturel $n$. 
%\item Calculer $S_n = b_0 + b_1 + \ldots + b_n$ en fonction de $n$. 
%\end{enumerate}

\section*{Exercice 2} %Ecricome ECE 2015

On considère la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ définie par $u_1 = 1$ et
$$
\forall n \in \N^*, \quad u_{n+1} = 1 - e^{-u_n}.
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ : $e^x \geq x+1$. Montrer que l'égalité a lieu si et seulement si $x =0$.
\item Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $u_n >0$.
\item Recopier et compléter le programme SCILAB suivant qui permet d'afficher les cents premiers termes de la suite. 
\begin{verbatim}
u = 1
for n = 1:99
    u = ...........
    disp(.........)
end
\end{verbatim}
\item\'Ecrire ce programme SCILAB et lancez le. Quelle conjecture peut-on faire quand à la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ ?
\item \'Etudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$.
\item \`A l'aide de la question $1.$ montrer que pour tout entier $n \geq 1$
$$
u_{n+1} \geq \dfrac{u_n}{1 + u_n}
$$
\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n \geq 1$, $u_n \geq \dfrac{1}{n}$.
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 3: Probabilités} % ESC 1992


Deux pi\`{e}ces (une chambre et la salle) $A$ et $B$ sont reli\'{e}es entre elles de la fa\c{c}on suivante: $A$ ouvre sur $B$ et $B$ ouvre sur l'extérieur. \\

Une gu\^{e}pe initialement (\`{a} l'instant 0) dans la pi\`{e}ce $A$ voudrait sortir \`{a} l'air libre. A chaque instant $n\in \Bbb{N}$ son trajet ob\'{e}it aux r\`{e}gles suivantes: \\

\begin{itemize}
\item  Lorsqu'elle est dans la pi\`{e}ce $A$ au temps $n,$ alors au temps $%
n+1$ elle reste en $A$ avec une probabilit\'{e} de $1/3$ et elle passe dans
la pi\`{e}ce $B$ avec une probabilit\'{e} de $2/3.$


\item  Lorsqu'elle est en $B$ au temps $n,$ alors au temps $n+1$ elle
retourne en $A$ avec une proabbilit\'{e} de $1/4,$ elle reste en $B$ avec
une probabilit\'{e} de $1/2$ et elle sort \`{a} l'air libre avec une
probabilit\'{e} de $1/4.$


\item  Enfin, lorsqu'elle est \`{a} l'air libre, elle ne revient plus.
\end{itemize}
\vspace{10pt}
Pour tout entier $n,$ on notera 
\begin{itemize}
\item $A_{n}$ l'\'{e}v\'{e}nement ''la gu\`{e}pe
est dans la pi\`{e}ce $A$ \`{a} l'instant $n$ '' 
\item $B_{n}.$ l'\'{e}v\'{e}nement ''la gu\`{e}pe
est dans la pi\`{e}ce $B$ \`{a} l'instant $n$ '' 
\item $D_{n}$ pour ''\^{e}tre dehors \`{a} l'instant $n$ '' 
\item $S_{n}$ l'\'{e}v\'{e}nement ''la gu\`{e}pe sort \`{a} l'instant $n$''.
\item $a_n = p(A_n)$, $b_n = p(B_n)$, $d_n = P(D_n)$ et $s_n = P(S_n)$.  
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item En cherchant les réponses dans l'énoncé, d\'{e}terminer les probabilit\'{e}s $a_{0},$ $b_{0},$ $s_{0},$ et $s_1$. 
\item Calculer $a_{1},$ $b_{1},$ et $s_{2}.$

\item  Sachant qu'\`{a} l'instant 2 elle est en $A,$ quelle est la
probabilit\'{e} qu'elle ait \'{e}t\'{e} en $B$ \`{a} l'instant $1?$


\item  Justifier que pour tout entier $n$ :

\begin{center}
$A_{n+1}=\left( A_{n}\cap A_{n+1}\right) \cup \left( B_{n}\cap
A_{n+1}\right) $ et $B_{n+1}=\left( A_{n}\cap B_{n+1}\right) \cup \left(
B_{n}\cap B_{n+1}\right) $
\end{center}


et en d\'{e}duire pour tout entier $n,$ les relations de r\'{e}currence
suivantes :

\begin{center}
$a_{n+1}=\frac{1}{3}a_{n}+\frac{1}{4}b_{n}$ et $b_{n+1}=\frac{2}{3}a_{n}+%
\frac{1}{2}b_{n}$
\end{center}

\item \'Ecrire un script scilab qui demande à l'utilisateur d'entrer un entier $n$ et calcule $a_n$ et $b_n$.  

\item Montrer que pour tout entier $n\in \Bbb{N}^{*},$ $b_{n}=2a_{n}.$

\item Montrer que $(a_n)_{n \in \N}$ est une suite géométrique.
\item  En d\'{e}duire pour $n\ge 1,$ l'expression de $a_{n}$ et de $b_{n}$
en fonction de $n.$

\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que pour tout entier $n\ge 2,$ $\displaystyle
s_{n}=\frac{1}{4}b_{n-1}$ et en d\'{e}duire $s_{n}$ en fonction de $n.$


\item  D\'{e}terminer la probabilit\'{e} que la gu\`{e}pe soit dehors \`{a}
l'instant 10. (on ne cherchera pas \`{a} simplifier le r\'{e}sultat)
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}