\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°2}
\lfoot{}
\cfoot{Généralités sur les suites.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 3 Octobre 2018}
\end{center}
\vspace{30pt}


\section*{Exercice 1}

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{e^{2x} + 1}{e^{2x} - 1}$. 

{\bf A. \'Etude sur $]0,+\infty[$}
\begin{enumerate} 
\item \begin{enumerate}
	\item  Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
	\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que $f'(x) 	= \dfrac{-4e^{2x}}{(e^{2x} -1)^2}$ et déterminer son signe.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item  Montrer que pour tout $x$ de $\R^*$, $f(x) = 1 + \dfrac{2}{e^{2x} -1}$.
	\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
	\item Déterminer la limite de $f$ en $0$ par valeur strictement supérieure.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats précédents, dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0,+\infty[$. Déterminer le signe de $f$ sur $]0,+\infty[$.
\item Primitives de $f$ sur $]0,+\infty[$.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'ensemble de définition et la dérivée de la fonction $g$ définie par: 
	\[g(x) = \ln(e^{2x} - 1) - x.\]
	\item En déduire une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$.
	\item Déterminer la limite de $g$ en $0$ par valeur supérieure.
	\item En écrivant $e^{2x} - 1 = e^{2x}(1 - e^{-2x})$, déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
	\item Déterminer les variations de $g$ et dresser son tableau de variation. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

{\bf B. Construction de $\mathscr{C}$, la courbe représentative de $f$.}
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout $x$ non nul, $f(x) + f(-x) = 0$. En déduire les symétries de $\mathscr{C}$.
	\item Calculer $f(\ln(3))$ et $f'(\ln(3))$(on donnera leur valeur exacte). Donner l'équation de la droite $\Delta$ tangente à la courbe en $x = \ln(3)$. Construire la droite $\Delta$ et $\mathscr{C}$. On donne les valeurs approchées:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
ln(3) & 5/4 & 9/16 & 9/32 \\
\hline
1,1 & 1,2 & 0,6 & 0,3 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 2: \'Etude d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$} % Ecricome ECT 2004


Dans toute cette partie, on s'intéresse à la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par la relation de récurrence 
$$u_{n+1} = e \sqrt{u_n - 1} + 1 .$$
\begin{enumerate}
\item On \'etudie dans cette partie la fonction $f : x \to e \sqrt{x-1} +1$.
\begin{enumerate}
	\item Donner le domaine de définition de $f$.
	\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ et le signe de $f'$.
	\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ et tracer le tableau de variation.
	\item Résoudre l'équation $f(x) = x$. 
	\item Montrer que $f(x) \geq x \Leftrightarrow x \in [1; 1+e^2]$.
	\item Montrer que l'équation de la tangente à $f$ en $x = 1 + e^2$ est donnée par 
	$$ y = \dfrac{1}{2} x +  \dfrac{1}{2}(1+e^2).$$
\end{enumerate}
\item On considère $u_0 = 1 + e^2$. Montrer par récurrence que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est constante.
\item On cherche à déterminer une expression pour la suite $(u_n)_{n \in \N}$ lorsque $u_0 >1$. On pose alors 
$$ v_n = \ln(u_n - 1). $$
	\begin{enumerate}
	\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N$, $u_n >1$.
	\item Justifier que la suite $(v_n)_{n \in \N}$ est bien définie.  
	\item Montrer que $\forall n \in \N$, $v_{n+1} = 1 +  \dfrac{1}{2}v_n$ .
	\item On introduit la suite $(w_n)$ par $\forall n \in \N, w_n = v_n -2$.  Montrer que cette suite est une suite géométrique. 
	\item Exprimer $w_n$ puis $v_n$ en fonction de $n$ et de $v_0$. 
	\item En déduire $u_n$ en fonction de $n$ et de $u_0$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 : Récurrences}
Démontrer les résultats suivants par récurrences :
\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ pour tout $n\in \N$.
Démontrer que, pour tout $n \in N$, $0 < u_n <2$.
\item Soit $a\in \R^+$. Démontrer que pour tout $n \in \N$ on a $(1+a)^n  \geq 1 + na$. 
\item La suite de Fibonacci $(u_n)$ est défini par $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ et $u_0 = u_1 = 1$. Démontrer par récurrence (forte) que $\forall n \in \N, u_n \in \N$. 
\end{enumerate}
\end{document}