\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°16}
\rhead{2018-2019}
\lfoot{}
\cfoot{Probabilités, fonction.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Mardi 14 Mai 2019}
\end{center}
\vspace{10pt}

\section*{Exercice 1} 
\noindent Dans tout cet exercice, $N$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $3$. On dispose de deux urnes opaques $U_1$ et $U_2$, d'apparence identique et contenant chacune $N$ boules indiscernables au toucher. \\
L'urne $U_1$ contient $(N-1)$ boules blanches et une boule noire. \\
L'urne $U_2$ contient $N$ boules blanches.

\subsection*{I - Une première expérience aléatoire}

\noindent On choisit une des deux urnes au hasard (chaque urne a la même probabilité d'être choisie) et on tire dans l'urne choisie une par une les boules \textbf{sans remise} jusqu'à être en mesure de pouvoir connaître l'urne choisie. \\On note $Y$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de tirages ainsi effectués. \\
On note~:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $C_1$ l'événement " on choisit l'urne $U_1$ ".
\item[$\bullet$] $C_2$ l'événement " on choisit l'urne $U_2$ ".
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $j \in \llbracket 1, N \rrbracket$~:
\[ P_{C_1}(Y=j) = \frac{1}{N}. \]
\item Calculer $P_{C_2}(Y=j)$ pour tout entier $j \in \llbracket 1, N \rrbracket$. \\
    \emph{(On distinguera les cas $j=N$ et $1 \leqslant j \leqslant N-1$)}.
\item Montrer que~:
\[ P(Y=j) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{1}{2N} & \text{ si } j \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket \medskip  \\ \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2N} & \text{ si } j = N \end{array} \right. \]
\item Calculer l'espérance de $Y$.
\end{enumerate}

\subsection*{II - Une deuxième expérience aléatoire}

\noindent On effectue une succession infinie de tirages \textbf{avec remise} dans l'urne $U_1$. On admet qu'on obtient presque-sûrement au moins une boule blanche et au moins une boule noire lors de ces tirages. \\
On note $T$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de tirages nécessaires jusqu'à l'obtention d'au moins une boule noire et d'au moins une boule blanche. \\
On note $U$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées jusqu'à l'obtention d'au moins une boule noire et d'au moins une boule blanche. \\
Par exemple, si les tirages ont donné successivement~: noire, noire, noire, blanche, blanche, noire,\ldots, alors $T=4$ et $U=1$.
\begin{enumerate}
\item Préciser les valeurs prises par $T$.
\item Montrer soigneusement que pour tout entier $k \geqslant 2$,
\[ P(T=k) = \frac{1}{N} \left( \frac{N-1}{N} \right)^{k-1} + \frac{N-1}{N} \left( \frac{1}{N} \right)^{k-1}.\]
\item Montrer que la variable aléatoire $T$ admet une espérance que l'on calculera.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $P([U=1] \cap [T=2])$.
\item Calculer $P([U=1] \cap [T=k])$ pour tout entier $k \geqslant 3$.
\end{enumerate}
\item Soit $j$ un entier tel que $j \geqslant 2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P([U=j] \cap [T=j+1])$.
\item Que vaut $P([U=j]\cap [T=k])$ pour tout entier $k \geqslant 2$ tel que $k \neq j+1$~?
\end{enumerate}
\item Les variables aléatoires $T$ et $U$ sont-
elles indépendantes~?
\item Calculer $P(U=1)$ puis déterminer la loi de $U$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2} %EML 2018
\def\Rpstar{]0,+\infty[}
	\noindent Dans tout cet exercice, $f$ désigne la fonction définie sur $\Rpstar$ par~: 
		$$\forall x \in \Rpstar, \quad f(x) = x - \ln(x).$$
		
	\subsection*{Partie I~: \'Etude de la fonction $f$}
		\begin{enumerate}
			\item Dresser le tableau de variations de $f$ en précisant ses limites en 0 et en $+\infty$.
			\item Montrer que la fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ et étudier sa convexité sur $]0;+\infty[$.
			\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$, d'inconnue $x \in \Rpstar$, admet exactement deux solutions, que l'on note $a$ et $b$, t\\elles que $0 < a < 1 < b$.
			\item Montrer~: $b \in [2;4]$. On note $\ln(2) \approx 0,7$.
		\end{enumerate}

	\subsection*{Partie II~: \'Etude d'une suite}
		
		\noindent On pose~: $u_0 = 4$ et $\forall n \in \N, \, u_{n+1} = \ln(u_n) + 2$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est bien définie et que l'on a~: $\forall n \in \N, \quad u_n \in [b,+\infty[$.
			\item Déterminer la monotonie de la suite $(u_n)_{n \in \N}$. En déduire qu'\\elle converge et préciser sa limite.
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Montrer~: $\forall n \in \N, \, u_{n+1} - b \leq \dfrac 12 (u_n - b)$.
				\item En déduire~: $\forall n \in \N, \, 0 \leq u_n - b \leq \dfrac{1}{2^{n-1}}.$
			\end{enumerate}
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item \'Ecrire une fonction Scilab d'en-tête \tt{function u = suite(n)} qui, prenant en argument un entier $n$ de $\N$, renvoie la valeur de $u_n$.
				\item Recopier et compléter la ligne 3 de la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un réel \tt{epsilon} strictement positif, \\elle renvoie une valeur approchée de $b$ à \tt{epsilon} près.
				
				\noindent \hrulefill
				\begin{verbatim}
1. function b = valeur_approchee(epsilon)
2.	n = 0
3.	while ........
4.		n = n+1
5.	end 
6.	b = suite(n)
7. endfunction
				\end{verbatim}
				\noindent \hrulefill
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}

	\subsection*{Partie III~: \'Etude d'une fonction définie par une intégrale}
	
		\noindent On note $\Phi$ la fonction donnée par~: 
			$$\Phi(x) = \int_x^{2x} \frac{1}{f(t)}~dt.$$
			
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que $\Phi$ est bien définie et dérivable sur $\Rpstar$, et que l'on a~: 
				$$\forall x \in \Rpstar, \quad \Phi'(x) = \frac{\ln(2)-\ln(x)}{(x-\ln(x))(2x-\ln(2x))}.$$
			\item En déduire les variations de $\Phi$ sur $\Rpstar$.
			\item Montrer~: $\forall x \in \Rpstar$, $0 \leq \Phi(x) \leq x$.
			\item
			\begin{enumerate}
				\item Montrer que $\Phi$ est prolongeable par continuité en 0. \\
					On note encore $\Phi$ la fonction ainsi prolongée. Préciser alors $\Phi(0)$.
				\item Montrer~: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \Phi'(x) = 0$.\\
					On admet quer la fonction $\Phi$ est alors dérivable en 0 et que $\Phi'(0) = 0$.
			\end{enumerate}
			\item On donne $\Phi(2) \approx 1,1$ et on admet que $\displaystyle \li_{x \to +\infty} \Phi(x) = \ln(2) \approx 0,7$.\\
				Tracer l'allure de la courbe représentative de $\Phi$ ainsi que la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
	

		\end{enumerate}

\section*{Exercice 3} %EML 2013

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2.\\
On considère une urne $\mathcal{U}$ contenant $n$ boules numérotées de 1 à $n$ et indiscernables au toucher.\\
On effectue une suite de tirages d'une boule avec remise de la boule dans l'urne $\mathcal{U}$.\\

Pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 1, on note $Z_k$ la variable aléatoire égale au nombre de numéros distincts obtenus au cours des $k$ premiers tirages et on note $E(Z_k)$ l'espérance de $Z_k$.

\subsection*{Partie I} 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de la variable $Z_1$ et la loi de la variable $Z_2$.\\
En déduire $E(Z_1)$ et $E(Z_2)$.
\item Soit $k$ un entier supérieur ou égal à 1.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\mathrm{P}(Z_k=1)$ et déterminer $\mathrm{P}(Z_k=k)$.
\item Montrer, pour tout $\ell\in [[1,n]]$ : $\mathrm{P}(Z_{k+1}=\ell)=\dfrac{\ell}{n}\mathrm{P}(Z_k=\ell)+\dfrac{n-\ell+1}{n}\mathrm{P}(Z_k=\ell-1)$.
    \item En déduire : $E(Z_{k+1})=\dfrac{n-1}{n}E(Z_k)+1$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_k)_{k\geqslant 1}$ de terme général $v_k=E(Z_k)-n$ est une suite géométrique.
\item En déduire, pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 1 : $E(Z_k)=n\left(1-\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^k\right)$.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II}

On suppose maintenant que $n=4$; ainsi l'urne $\mathcal{U}$ contient 4 boules numérotées de 1 à 4.\\
Soit $k$ un entier supérieur ou égal à 4. On se propose de déterminer la loi de $Z_k$.
\begin{enumerate}
\item Rappeler la valeur de $\mathrm{P}(Z_k=1)$. Déterminer $\mathrm{P}(Z_k\geq 5)$.
\item Montrer : $\mathrm{P}(Z_k=2)=6\dfrac{2^k-2}{4^k}$.
\item On note, pour tout $i$ de $[[1;4]]$, $A_i$ l'événement : 
\begin{center} " la boule numéro $i$ n'a pas été obtenue au cours des $k$ premiers tirages".
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer : $\mathrm{P}(Z_k\leqslant 3)=4\mathrm{P}(A_1)-6\mathrm{P}(A_1\cap A_2)+4\mathrm{P}(A_1\cap A_2\cap A_3)$.
\item Calculer, $\mathrm{P}(A_1)$, $\mathrm{P}(A_1\cap A_2)$ et $\mathrm{P}(A_1\cap A_2\cap A_3)$.
\item En déduire : $\mathrm{P}(Z_k\leqslant 3)$, puis $P(Z_k=3)$ et $P(Z_k=4)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}