\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°15}
\rhead{2018-2019}
\lfoot{}
\cfoot{Probabilités, fonction.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Vendredi 10 Mai 2019}
\end{center}
\vspace{10pt}

\section*{Exercice 1} 
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ : $U_1$ contient 2 boules blanches et 2 boules noires et $U_2$ contient
une boule blanche et 3 boules noires. On effectue des tirages avec remise d'une boule selon le
protocole suivant :
\begin{itemize}
\item le premier tirage se fait dans l'urne $U_1$
\item si le $n^{i\grave{e}me}$ tirage a donné une boule blanche (resp. noire), le $n+1$ ième tirage s'effectue dans l'urne $U_1$ (resp. $U_2$).
\end{itemize} 
On introduit les événements $B_n$ (resp $N_n$) "le $n^{i\grave{e}me}$ tirage donne une boule blanche (resp. noire) " et on note $p_n = P(B_n)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_1$ puis $p_2$.
\item Les événements $B_1$ et $B_2$ sont-ils indépendants ?
\item A l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que pour tout $n \in \N$, $p_{n+1} = \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{4}$.
\item En déduire $p_n$ en fonction de $n$ ; puis déterminer sa limite quand $n \to + \infty$.
\end{enumerate} 

\section*{Exercice 2}
On considère l'application $\varphi$ définie sur $\R^*_+$ par :
$$
\forall x \in \R_+^*, \quad \varphi(x) = \ln(x) - \ln(x+1) + \dfrac{1}{x}
$$
La courbe représentative de $\varphi$ sera notée $\mathscr{C}$. On rappelle que $\ln(2) \approx 0,7$ et $\ln(3) \approx 1,1$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $\varphi$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite. 
\item Déterminer la limite de $\varphi$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite. 
\item Prouver que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R_+^*$.
\item Montrer que $\varphi$ est strictement monotone sur $\R_+^*$.
\item Dresser le tableau de variation de $\varphi$ et y faire apparaître les limites de $\varphi$ en $0^+$ et $+ \infty$. 
\item Déterminer la convexité de $\varphi$ sur $\R_+^*$.
\item Déterminer l'équation de la tangente de $\varphi$ en $1$. On notera $(\Delta)$ la droite tangente à la courbe en $x=1$. 
\item En déduire que 
$$
\forall x \in \R_+^*, \quad \varphi(x) > -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}
$$
\item Tracer dans un même graphique les courbes $\mathscr{C}$ et $(\Delta)$. 
\item Montrer que l'équation $\varphi(x)=1$ possède une unique solution notée $\alpha$ et que :
$$
\dfrac{1}{3} < \alpha < \dfrac{1}{2}
$$
\item Proposer un programme Scilab permettant d'encadrer $\alpha$ dans un intervalle d'amplitude $10^{-2}$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3} %ESC 2008


Un joueur A dispose d'une pi\`{e}ce qui a la propri\'{e}t\'{e} de faire PILE
avec la probabilit\'{e} $\dfrac{1}{3}$.\newline
Un joueur B dispose d'une pi\`{e}ce qui a la propri\'{e}t\'{e} de faire PILE
avec la probabilit\'{e} $p\in ]0,1[$.\newline
Les r\'{e}sultats des lancers de ces pi\`{e}ces seront toujours suppos\'{e}s
ind\'{e}pendants.


Dans cette partie, on effectue le jeu suivant : \textit{Les joueurs A et B lancent leur pi\`{e}ce simultan\'{e}ment jusqu'%
\`{a} ce qu'au moins une des deux pi\`{e}ces donne PILE.\newline
Si A et B ont fait PILE simultan\'{e}ment, le jeu s'arr\^{e}te sans que
personne n'ait gagn\'{e} d'argent.\newline
Sinon, le premier \`{a} obtenir PILE s'arr\^{e}te et l'autre continue ses
lancers jusqu'\`{a} obtenir PILE \'{e}galement et paye un euro \`{a} son
adversaire \`{a} chacun des lancers de cette s\'{e}rie \textquotedblleft en
solitaire".}\newline
Par exemple, si A a obtenu PILE pour la premi\`{e}re fois \`{a} son $7$-i%
\`{e}me lancer et si B a obtenu PILE pour la premi\`{e}re fois \`{a} son $11$%
-i\`{e}me lancer, c'est B qui doit payer \`{a} A la somme de $4$ euros.%
\newline
On note $X$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de lancers effectu%
\'{e}s par le joueur A et $Y$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre
de lancers effectu\'{e}s par le joueur B et $Z=Y-X$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que les variables $X$ et $Y$ suivent des lois g\'{e}om\'{e}%
triques dont on donnera le param\`{e}tre.\newline
Pr\'{e}ciser $X(\Omega)$, $Y(\Omega)$ et les valeurs de $P(X=k)$, $P(Y=k)$, $%
E(X) $, $E(Y)$, $V(X)$ et $V(Y)$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E(Z)=\dfrac{1-3p}{p}$.

\item Montrer que \quad $\ds \sum_{k=1}^{+\infty} P(X=k)P(Y=k) = \frac{p}{%
1+2p}$ et en d\'{e}duire $P(Z=0)$.

\item Soit $n\in \N^{* }$. Montrer que $P(Z=n)=\ds%
\frac{p}{1+2p}(1-p)^{n}$ et en d\'{e}duire $P(Z>0)$.\newline
En d\'{e}duire $P(Z<0)$ puis interpr\'{e}ter les \'{e}v\'{e}nements $(Z=0)$, 
$(Z>0)$, $(Z<0)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}